Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 12b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (Created page with "Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat: <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </m...") |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (2 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | I övning 12a) hade vi fått följande delfaktorisering av <math> P(x)\,</math> : | |
| − | <math> P(x) = x^4 | + | <math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+3)\cdot (x-3) \cdot Q(x) \\ |
| + | & = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) | ||
| + | \end{align} </math> | ||
| − | + | För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet: | |
| − | <math> Q(x) = x^2 | + | <math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math> |
| − | + | Därför sätter vi upp ekvationen: | |
| − | <math> | + | <math> x^2 + 3\,x + 2 = 0 </math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Vietas formler ger : | Vietas formler ger : | ||
| − | <math> \begin{align} x_1 + x_2 & = - | + | <math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -3 \\ |
| − | x_1 \cdot x_2 & = | + | x_1 \cdot x_2 & = 2 |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = | + | Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = -1\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> ur dessa relationer. |
Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | ||
| − | <math> Q(x)= x^2 | + | <math> Q(x)= x^2 + 3\,x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2) </math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | Detta resultat ger den fullständiga faktoriseringen av <math> P(x)\, </math>: | |
| − | <math> P(x) = x^4 | + | <math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) </math> |
Nuvarande version från 22 september 2012 kl. 17.00
I övning 12a) hade vi fått följande delfaktorisering av \( P(x)\,\) \[ \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+3)\cdot (x-3) \cdot Q(x) \\ & = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) \end{align} \]
För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet\[ Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 \]
Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 + 3\,x + 2 = 0 \]
Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -3 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]
Det är enkelt att få lösningarna \( x_1 = -1\, \) och \( x_2 = -2\, \) ur dessa relationer.
Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här\[ Q(x)= x^2 + 3\,x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2) \]
Detta resultat ger den fullständiga faktoriseringen av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \]
