Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 12a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(En mellanliggande version av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
Låt oss kalla polynomet <math> P(x)\,</math>:s två nollställen som har samma absolutbelopp, men olika förtecken, för <math> a\, </math>. Detta innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:
+
Att polynomet <math> P(x)\,</math> har två nollställen <math> a\, </math> och <math> -a\, </math> innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:
  
<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\
+
:<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\
                                                              & = (x^2-a^2) \cdot Q(x)
+
                                                                & = (x^2-a^2) \cdot Q(x)
      \end{align} </math>
+
        \end{align} </math>
  
 
där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:
 
där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:
  
<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math>
+
:<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math>
  
 
Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här:
 
Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här:
  
<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math>
+
:<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math>
  
 
Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:
 
Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:
  
<math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18  = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\
+
:<math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18  = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\
 
                     & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d =  \\
 
                     & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d =  \\
 
                     & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d  
 
                     & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d  
Rad 22: Rad 22:
 
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
 
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
  
<math> \begin{align}    b & = 1    \\
+
:<math> \begin{align}    b & = 1    \\
 
                         c & = 3    \\
 
                         c & = 3    \\
 
                 d + a^2\,b & = -7  \\
 
                 d + a^2\,b & = -7  \\
Rad 31: Rad 31:
 
Genom insättning av <math> c = 3\, </math> i den 4:e ekvationen får vi:
 
Genom insättning av <math> c = 3\, </math> i den 4:e ekvationen får vi:
  
<math> \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27          \\
+
:<math> \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27          \\
 
                       a^2        & = {27 \over 3} \\
 
                       a^2        & = {27 \over 3} \\
 
                       a^2        & = 9            \\
 
                       a^2        & = 9            \\
Rad 46: Rad 46:
 
De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:
 
De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:
  
<math> \begin{align} a & = 3  \\
+
:<math> \begin{align} a & = 3  \\
                    b & = 1  \\
+
                      b & = 1  \\
                    c & = 3           \\
+
                      c & = 3 \\
                    d & = 2
+
                      d & = 2
 
         \end{align}</math>
 
         \end{align}</math>
  
Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>:
+
Polynomet <math> P(x)\,</math>:s två nollställen som har samma absolutbelopp <math> a=3\, </math>, men olika förtecken, blir då:
 +
 
 +
:<math> \begin{align} x_1 & = 3  \\
 +
                      x_2 & = -3  \\
 +
        \end{align}</math>
 +
 
 +
Och polynomet <math> Q(x)\, </math> blir:
  
 
<math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>
 
<math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>
  
Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:
+
Sammanfattningsvis kan delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> skrivas så här:
  
 
<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>
 
<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>

Nuvarande version från 29 september 2014 kl. 10.51

Att polynomet \( P(x)\,\) har två nollställen \( a\, \) och \( -a\, \) innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \):

\[ \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ & = (x^2-a^2) \cdot Q(x) \end{align} \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:

\[ Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d \]

Dessutom måste vi bestämma \( a\, \). Då kan vi skriva \( P(x)\,\):s delfaktorisering så här:

\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) \]

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:

\[ \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d \end{align}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{align} b & = 1 \\ c & = 3 \\ d + a^2\,b & = -7 \\ - a^2\,c & = -27 \\ - a^2\,d & = -18 \end{align}\]

Genom insättning av \( c = 3\, \) i den 4:e ekvationen får vi:

\[ \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\ a^2 & = {27 \over 3} \\ a^2 & = 9 \\ a & = 3 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 3\, \) i den sista ekvationen får vi\[ \begin{align} - 3^2\,d & = -18 \\ - 9\,d & = -18 \\ d & = 2 \end{align}\]

De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:

\[ \begin{align} a & = 3 \\ b & = 1 \\ c & = 3 \\ d & = 2 \end{align}\]

Polynomet \( P(x)\,\):s två nollställen som har samma absolutbelopp \( a=3\, \), men olika förtecken, blir då:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = -3 \\ \end{align}\]

Och polynomet \( Q(x)\, \) blir\[ Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 \]

Sammanfattningsvis kan delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) skrivas så här\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) \]