Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 12a"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (6 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | Att polynomet <math> P(x)\,</math> har två nollställen <math> a\, </math> och <math> -a\, </math> innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>: | |
| − | <math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ | + | :<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ |
| − | + | & = (x^2-a^2) \cdot Q(x) | |
| − | + | \end{align} </math> | |
där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma: | där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma: | ||
| − | <math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math> | + | :<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math> |
Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här: | Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här: | ||
| − | <math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math> | + | :<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math> |
Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna: | Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna: | ||
| − | <math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\ | + | :<math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\ |
& = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ | & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ | ||
& = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d | & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger: | Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger: | ||
| − | <math> \begin{align} | + | :<math> \begin{align} b & = 1 \\ |
| − | + | c & = 3 \\ | |
| − | + | d + a^2\,b & = -7 \\ | |
| − | 2\,c | + | - a^2\,c & = -27 \\ |
| − | + | - a^2\,d & = -18 | |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Genom insättning av <math> | + | Genom insättning av <math> c = 3\, </math> i den 4:e ekvationen får vi: |
| − | <math> \begin{align} | + | :<math> \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\ |
| − | + | a^2 & = {27 \over 3} \\ | |
| − | + | a^2 & = 9 \\ | |
| + | a & = 3 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Genom insättning av <math> | + | Genom insättning av <math> a = 3\, </math> i den sista ekvationen får vi: |
| − | <math> \begin{align} | + | <math> \begin{align} - 3^2\,d & = -18 \\ |
| − | + | - 9\,d & = -18 \\ | |
| − | + | d & = 2 | |
| − | + | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | + | De andra ekvationerna bekräftar våra resultat: | |
| − | <math> \begin{align} | + | :<math> \begin{align} a & = 3 \\ |
| − | + | b & = 1 \\ | |
| + | c & = 3 \\ | ||
| + | d & = 2 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | + | Polynomet <math> P(x)\,</math>:s två nollställen som har samma absolutbelopp <math> a=3\, </math>, men olika förtecken, blir då: | |
| − | + | :<math> \begin{align} x_1 & = 3 \\ | |
| + | x_2 & = -3 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Och polynomet <math> Q(x)\, </math> blir: | ||
| − | <math> Q(x) = x^2 | + | <math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math> |
| − | + | Sammanfattningsvis kan delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> skrivas så här: | |
| − | <math> P(x) = x^4 | + | <math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math> |
Nuvarande version från 29 september 2014 kl. 10.51
Att polynomet \( P(x)\,\) har två nollställen \( a\, \) och \( -a\, \) innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \):
\[ \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ & = (x^2-a^2) \cdot Q(x) \end{align} \]
där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:
\[ Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d \]
Dessutom måste vi bestämma \( a\, \). Då kan vi skriva \( P(x)\,\):s delfaktorisering så här:
\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) \]
Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:
\[ \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d \end{align}\]
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
\[ \begin{align} b & = 1 \\ c & = 3 \\ d + a^2\,b & = -7 \\ - a^2\,c & = -27 \\ - a^2\,d & = -18 \end{align}\]
Genom insättning av \( c = 3\, \) i den 4:e ekvationen får vi:
\[ \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\ a^2 & = {27 \over 3} \\ a^2 & = 9 \\ a & = 3 \end{align}\]
Genom insättning av \( a = 3\, \) i den sista ekvationen får vi\[ \begin{align} - 3^2\,d & = -18 \\ - 9\,d & = -18 \\ d & = 2 \end{align}\]
De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:
\[ \begin{align} a & = 3 \\ b & = 1 \\ c & = 3 \\ d & = 2 \end{align}\]
Polynomet \( P(x)\,\):s två nollställen som har samma absolutbelopp \( a=3\, \), men olika förtecken, blir då:
\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = -3 \\ \end{align}\]
Och polynomet \( Q(x)\, \) blir\[ Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 \]
Sammanfattningsvis kan delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) skrivas så här\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) \]
