Skillnad mellan versioner av "1.5 Lösning 7a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Created page with "Vi inför obekanten <math> x\, </math> som antal år som behövs för att startkapitalet fördubblats. Efter 1 år finns det på kontot: <math> 5\,000 \cdot x </math> Efter 2 ...")
 
m
 
(11 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
Vi inför obekanten <math> x\, </math> som antal år som behövs för att startkapitalet fördubblats.  
+
<math> 7\%\,</math> årsränta innebär en förändringsfaktor på <math> 1,07\, </math> per år.
  
−
Efter 1 år finns det på kontot: <math> 5\,000 \cdot x </math>
+
Efter <math> \, 1 \,</math> år finns det <math> \;\,5\,000 \cdot 1,07 </math> på kontot.
  
−
Efter 2 år finns det på kontot: <math> (5\,000 \cdot x) \cdot x = 5\,000 \cdot x^2 </math>
+
Efter <math> \, 2 \,</math> år finns det <math> (5\,000 \cdot 1,07) \cdot 1,07 \, = \, 5\,000 \cdot (1,07)^2 </math> på kontot.
 +
::::::::::<math> \cdots </math>
 +
Efter <math> \, x \,</math> år finns det <math> (5\,000 \cdot 1,07) \cdot 1,07) \cdots 1,07 \, = \, 5\,000 \cdot (1,07)^x </math> på kontot, om <math> \, x \,</math> är antalet år efter insättningen.
  
−
<math> \cdots </math>
+
Att startkapitalet fördubblas innebär att det efter <math> \, x \, </math> år finns <math> \, 10\,000 \, </math> kr på kontot, vilket ger följande ekvation:
  
−
Efter 10 år finns det på kontot: <math> 5\,000 \cdot x \cdot x \cdot\,\cdots\,\cdot x = 5\,000 \cdot x^{10} </math>
+
:<math>\begin{align} 5\,000 \cdot (1,07)^x & = 10\,000  \\
 +
                                  (1,07)^x & = 2        \\
 +
      \end{align}</math>
  
−
Fördubbling ger följande potensekvation som löses med rotdragning:
+
Detta är en exponentialekvation.
−
 
+
−
<math>\begin{align} 5\,000 \cdot x^{10} & = 10\,000                          \\
+
−
                                x^{10} & = 2  \qquad  & | \; \sqrt[10]{\;\;} \\
+
−
                      \sqrt[10]{x^{10}} & = \sqrt[10]{2}                      \\
+
−
                                    x  & = \sqrt[10]{2}                      \\
+
−
      \end{align}</math>
+
−
 
+
−
För att kunna beräkna <math> \sqrt[10]{2} </math> går vi över från rotnotation till potens med bråktal som exponent:
+
−
 
+
−
:::<math>\begin{align} x  & = \sqrt[10]{2}  \quad  & | \; \sqrt[10]{\;\;} \; \text{samma som} \; (\;\;\;)^{1 \over 10} \\
+
−
                    x & = 2^{1 \over 10}                  \\
+
−
          \end{align}</math>
+
−
 
+
−
I räknaren beräknas <math> 2^{1 \over 10} </math> genom att mata in: <big> 2 ^ (1/10) </big>. Vi får:
+
−
 
+
−
:::<math> x = 1,0718\, </math>
+
−
 
+
−
En förändringsfaktor på <math> 1,0718\, </math> innebär en ökning med <math> 7,18 %\, </math>.
+
−
 
+
−
Eftersom <math> x\, </math> var förändringsfaktorn för ett år, är <math> 7,18 %\, </math> bankens årsränta.
+

Nuvarande version från 8 juli 2015 kl. 10.43

\( 7\%\,\) årsränta innebär en förändringsfaktor på \( 1,07\, \) per år.

Efter \( \, 1 \,\) år finns det \( \;\,5\,000 \cdot 1,07 \) på kontot.

Efter \( \, 2 \,\) år finns det \( (5\,000 \cdot 1,07) \cdot 1,07 \, = \, 5\,000 \cdot (1,07)^2 \) på kontot.

\[ \cdots \]

Efter \( \, x \,\) år finns det \( (5\,000 \cdot 1,07) \cdot 1,07) \cdots 1,07 \, = \, 5\,000 \cdot (1,07)^x \) på kontot, om \( \, x \,\) är antalet år efter insättningen.

Att startkapitalet fördubblas innebär att det efter \( \, x \, \) år finns \( \, 10\,000 \, \) kr på kontot, vilket ger följande ekvation:

\[\begin{align} 5\,000 \cdot (1,07)^x & = 10\,000 \\ (1,07)^x & = 2 \\ \end{align}\]

Detta är en exponentialekvation.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.5_Lösning_7a&oldid=25952"