Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 11b"
Taifun (Diskussion | bidrag) (Created page with "Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat: <math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math> I 10 a) hade v...") |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera | + | Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat: |
| − | <math> x^ | + | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math> |
| − | I | + | I 11 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till: |
| − | <math> Q(x) = x^2 - | + | <math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math> |
| − | + | Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då: | |
| − | <math> x^ | + | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math> |
| − | + | För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen: | |
| − | <math> \ | + | <math> x^2 - 9\,x + 20 = 0 </math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | Vietas formler ger : | |
| − | <math>\begin{align} | + | <math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-9) = 9 \\ |
| − | + | x_1 \cdot x_2 & = 20 | |
| − | + | \end{align}</math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = 4\, </math> och <math> x_2 = 5\, </math> ur dessa relationer. | |
Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | ||
| − | <math> Q(x)= x^2 - | + | <math> Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) </math> |
| − | Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av | + | Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början: |
| − | <math> x^ | + | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math> |
| − | får vi följande fullständig faktorisering av | + | får vi följande fullständig faktorisering av 4:e gradspolynomet: |
| − | <math> x^ | + | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) </math> |
Nuvarande version från 22 september 2012 kl. 17.02
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]
I 11 a) hade vi bestämt \( Q(x)\, \) till\[ Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 \]
Delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) blir då\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) \]
För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även \( Q(x)\, \) faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 9\,x + 20 = 0 \]
Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-9) = 9 \\ x_1 \cdot x_2 & = 20 \end{align}\]
Det är enkelt att få lösningarna \( x_1 = 4\, \) och \( x_2 = 5\, \) ur dessa relationer.
Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här\[ Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) \]
Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]
får vi följande fullständig faktorisering av 4:e gradspolynomet\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) \]
