Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 10b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat: | Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat: | ||
| − | <math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math> | + | :<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math> |
I 10 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till: | I 10 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till: | ||
| − | <math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math> | + | :<math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math> |
För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen: | För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen: | ||
| Rad 11: | Rad 11: | ||
<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math> | <math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math> | ||
| − | Vietas formler ger : | + | Vietas formler ger: |
| − | <math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ | + | :<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ |
x_1 \cdot x_2 & = 2 | x_1 \cdot x_2 & = 2 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| Rad 19: | Rad 19: | ||
Det är inte så enkelt att få lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här: | Det är inte så enkelt att få lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här: | ||
| − | <math>\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0 \\ | + | :<math>\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0 \\ |
x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2} \\ | x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2} \\ | ||
x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25} \\ | x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25} \\ | ||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: [[ | + | I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: [[Ekvationer#Nackdelen_med_Vieta|<strong><span style="color:blue">Nackdelen med Vietas formler</span></strong>]]. |
Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | ||
| − | <math> Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16) </math> | + | :<math> Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16) </math> |
Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början: | Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början: | ||
| − | <math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math> | + | :<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math> |
får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet: | får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet: | ||
| − | <math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16) </math> | + | :<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16) </math> |
Nuvarande version från 19 maj 2018 kl. 22.31
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat:
\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) \]
I 10 a) hade vi bestämt \( Q(x)\, \) till:
\[ Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 \]
För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även \( Q(x)\, \) faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]
Vietas formler ger:
\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]
Det är inte så enkelt att få lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här:
\[\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0 \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm 6,34 \\ x_1 & = 12,84 \\ x_2 & = 0,16 \\ \end{align}\]
I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: Nackdelen med Vietas formler.
Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här:
\[ Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16) \]
Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början:
\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) \]
får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet:
\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16) \]
