Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 10a"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 36: | Rad 36: | ||
Genom insättning av <math> b = -13\, </math> i den tredje får vi: | Genom insättning av <math> b = -13\, </math> i den tredje får vi: | ||
| − | <math> \begin{align} c - 4\,b & = | + | <math> \begin{align} c - 4\,b & = 54 \\ |
| − | c - 4\cdot(- | + | c - 4\cdot(-13) & = 54 \\ |
| − | c + | + | c + 52 & = 54 \\ |
| − | c & = | + | c & = 2 |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat: | Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat: | ||
| − | <math> \begin{align} - 4\,c & = - | + | <math> \begin{align} - 4\,c & = -8 \\ |
| − | - 4\cdot | + | - 4\cdot 2 & = -8 |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Därmed har vi bestämt polynomet <math>Q(x)</math>: | + | Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>: |
| − | <math> Q(x) = x^2 - | + | <math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Nuvarande version från 19 september 2012 kl. 09.59
Eftersom \( (x-4)\, \) är en av polymets faktorer kan vi skriva följande ansats\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot {\rm (ett\ 2:a\ gradspolynom)} \]
Vi betecknar det okända 2:a gradspolynomet med \( Q(x)\, \). Den allmänna formen för ett 2:a gradspolynom är\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]
där a, b och c är koefficienter som vi måste bestämma. Sätter vi in denna form i ansasten ovan får vi\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) \]
Vi vet från teoridelen att två polynom är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer. För att kunna genomföra denna jämförelse av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 & = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x - 4\,a\,x^2 - 4\,b\,x - 4\,c = \\ & = a\,x^3 + (b-4a)\,x^2 + (c-4b)\,x - 4c \end{align}\]
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} a & = 1 \\ b - 4\,a & = -17 \\ c - 4\,b & = 54 \\ - 4\,c & = -8 \end{align}\]
Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra ekvationen får vi\[ \begin{align} b - 4\cdot 1 & = -17 \\ b - 4 & = -17 \\ b & = -17 + 4 \\ b & = -13 \end{align}\]
Genom insättning av \( b = -13\, \) i den tredje får vi\[ \begin{align} c - 4\,b & = 54 \\ c - 4\cdot(-13) & = 54 \\ c + 52 & = 54 \\ c & = 2 \end{align}\]
Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat\[ \begin{align} - 4\,c & = -8 \\ - 4\cdot 2 & = -8 \end{align}\]
Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 \]