Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 11"

Versionen från 21 november 2010 kl. 18.36 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m ← Äldre redigering		Nuvarande version från 7 februari 2011 kl. 09.22 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m
(3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1:		Rad 1:
	Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken:		Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken:
−	::<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2                    & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\	+	<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2                    & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad \\
	{1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2}                    & & \qquad | \cdot 2            \\		{1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2}                    & & \qquad | \cdot 2            \\
	(x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1)        & = 3                            & & \qquad | - 3                \\		(x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1)        & = 3                            & & \qquad | - 3                \\
−	(x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3    & = 0                                                            \\	+	(x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3    & = 0                                                            \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Nu ser man att uttrycket <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:		Nu ser man att uttrycket <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:
−	:::::::::::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>	+	::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>
−	Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man 2:e gradsekvationen <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln:	+	Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man 2:e gradsekvationen <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln:
	:::::<math>\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0                    \\		:::::<math>\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0                    \\

---

Nuvarande version från 7 februari 2011 kl. 09.22

Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken

$$\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad \\ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 & = 0 \\ \end{align}$$

Nu ser man att uttrycket $x^2 + 4\,x + 1$ förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:

$$t = x^2 + 4\,x + 1$$

Ersätter man i 4:e gradsekvationen $(x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 = 0$ enligt substitutionen ovan $x^2 + 4\,x + 1$ med $\displaystyle t$ får man 2:e gradsekvationen $t^2 + 2\,t - 3 = 0$ som kan lösas med pq-formeln:

$$\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 \\ t_{1,2} & = - 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\ t_{1,2} & = - 1 \pm 2 \\ t_1 & = 1 \\ t_2 & = - 3 \\ \end{align}$$

Sätter vi först $t_1 = 1$ tillbaka i substitutionen ovan får vi:

$$\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1 & & \qquad\qquad\quad | - 1 \\ x^2 + 4\,x & = 0 \\ \end{align}$$

Eftersom detta är en 2:e gradsekvation som saknar konstant term kan vi genom att bryta ut x på vänsterledet och använda nollproduktmetoden lösa den enkelt:

$$\begin{align} x\;(x + 4) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ x_2 & = - 4 \\ \end{align}$$

Sätter vi sedan $t_2 = - 3$ tillbaka i substitutionen ovan får vi:

$$\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3 & & | + 3 \\ x^2 + 4\,x + 4 & = 0 \\ x_{3,4} & = - 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\ x_3 & = - 2 \\ \end{align}$$

Sammanfattningsvis kan vi ange att ekvationen

${1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1)$

har lösningarna

$$\displaystyle x_1 = 0$$

$\displaystyle x_2 = -4$

$\displaystyle x_3 = -2$