Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 8c"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Man hittar lösningarna <math> z_1 = - {1\over 7}\,</math> och <math> z_2 = - {1\over 7}\,</math> eftersom | + | Man hittar dubbelroten <math> z = - {1\over 7}\,</math> eller, om man så vill, "lösningarna" <math> z_1 = - {1\over 7}\,</math> och <math> z_2 = - {1\over 7}\,</math> eftersom |
| − | <math> \begin{align} - {1\over 7} | + | <math> \begin{align} (- {1\over 7}) + (- {1\over 7}) & = - {1\over 7} - {1\over 7} = - {2\over 7} \\ |
| − | + | (-{1\over 7})\cdot(-{1\over 7}) & = {1\over 49} | |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | <math> | + | Därför har normalformen <math> z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} </math> faktoriseringen <math> \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) </math> och därmed det ursprungliga polynomet <math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> följande faktorisering: |
| − | ::::::<math> = ( | + | <math> 49 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = 7\cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot 7 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = </math> |
| + | |||
| + | ::::::<math> = (7\,z+1)\cdot (7\,z+1) = (7\,z+1)^2 </math> | ||
Kontroll: | Kontroll: | ||
| − | <math> ( | + | <math> (7\,z+1)^2 = 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> enligt kvadreringsregeln. |
Nuvarande version från 14 oktober 2011 kl. 13.04
För att faktorisera polynomet \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \) beräknar vi dess nollställen\[ 49\,z^2 + 14\,z + 1 = 0 \]
För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform\[\begin{align} 49\,z^2 + 14\,z + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 49 \\ z^2+{14\over 49}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ \end{align}\]
Normalformen ger Vietas formler\[ \begin{align} z_1 + z_2 & = - {2\over 7} \\ z_1 \cdot z_2 & = {1\over 49} \end{align}\]
Man hittar dubbelroten \( z = - {1\over 7}\,\) eller, om man så vill, "lösningarna" \( z_1 = - {1\over 7}\,\) och \( z_2 = - {1\over 7}\,\) eftersom
\( \begin{align} (- {1\over 7}) + (- {1\over 7}) & = - {1\over 7} - {1\over 7} = - {2\over 7} \\ (-{1\over 7})\cdot(-{1\over 7}) & = {1\over 49} \end{align}\)
Därför har normalformen \( z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} \) faktoriseringen \( \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \) och därmed det ursprungliga polynomet \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \) följande faktorisering\[ 49 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = 7\cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot 7 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = \]
- \[ = (7\,z+1)\cdot (7\,z+1) = (7\,z+1)^2 \]
Kontroll\[ (7\,z+1)^2 = 49\,z^2 + 14\,z + 1 \] enligt kvadreringsregeln.
