Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 8c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Created page with "För att faktorisera polynomet <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math> beräknar vi dess nollställen: <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 </math> För att kunna använda Vietas formler må...")
 
m
 
(4 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
För att faktorisera polynomet <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math> beräknar vi dess nollställen:  
+
För att faktorisera polynomet <math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> beräknar vi dess nollställen:  
  
−
<math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 </math>
+
<math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 = 0 </math>
  
 
För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform:
 
För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform:
  
−
<math>\begin{align} 9\,x^2 - 6\,x + 1               & = 0  \qquad  & | \;  / \, 9 \\
+
<math>\begin{align} 49\,z^2 + 14\,z + 1                 & = 0  \qquad  & | \;  / \, 49 \\
−
                      x^2-{6\over 9}\,x+{1\over 9} & = 0                         \\
+
                        z^2+{14\over 49}\,z+{1\over 49} & = 0                           \\
−
                      x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} & = 0                         \\
+
                        z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} & = 0                             \\
 
       \end{align}</math>
 
       \end{align}</math>
  
 
Normalformen ger Vietas formler:
 
Normalformen ger Vietas formler:
  
−
<math> \begin{align} x_1   +  x_2 & = {2\over 3}  \\
+
<math> \begin{align} z_1   +  z_2 & = - {2\over 7}  \\
−
                     x_1 \cdot x_2 & = {1\over 9}
+
                     z_1 \cdot z_2 & = {1\over 49}
 
       \end{align}</math>
 
       \end{align}</math>
  
−
Man hittar lösningarna <math> x_1 = {1\over 3}\,</math> och <math> x_2 = {1\over 3}\,</math> eftersom
+
Man hittar dubbelroten <math> z = - {1\over 7}\,</math> eller, om man så vill, "lösningarna" <math> z_1 = - {1\over 7}\,</math> och <math> z_2 = - {1\over 7}\,</math> eftersom
  
−
<math> \begin{align} {1\over 3}   +  {1\over 3} & = {2\over 3}  \\
+
<math> \begin{align} (- {1\over 7}) + (- {1\over 7}) & = - {1\over 7} -  {1\over 7} = - {2\over 7}  \\
−
                    {1\over 3}\cdot {1\over 3} & = {1\over 9}
+
                      (-{1\over 7})\cdot(-{1\over 7}) & = {1\over 49}
 
       \end{align}</math>
 
       \end{align}</math>
  
−
Därför har normalformen <math> x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} </math> faktoriseringen <math> \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) </math> och därmed det ursprungliga polynomet <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math> följande faktorisering:
+
Därför har normalformen <math> z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} </math> faktoriseringen <math> \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) </math> och därmed det ursprungliga polynomet <math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> följande faktorisering:
  
−
<math> 9 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = 3\cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot 3 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = </math>
+
<math> 49 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = 7\cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot 7 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = </math>
  
−
::::::<math> = (3\,x-1)\cdot (3\,x-1) =  (3\,x-1)^2 </math>  
+
::::::<math> = (7\,z+1)\cdot (7\,z+1) =  (7\,z+1)^2 </math>  
  
 
Kontroll:
 
Kontroll:
  
−
<math> (3\,x-1)^2 = 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math> enligt kvadreringsregeln.
+
<math> (7\,z+1)^2 = 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> enligt kvadreringsregeln.

Nuvarande version från 14 oktober 2011 kl. 13.04

För att faktorisera polynomet \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \) beräknar vi dess nollställen\[ 49\,z^2 + 14\,z + 1 = 0 \]

För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform\[\begin{align} 49\,z^2 + 14\,z + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 49 \\ z^2+{14\over 49}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ \end{align}\]

Normalformen ger Vietas formler\[ \begin{align} z_1 + z_2 & = - {2\over 7} \\ z_1 \cdot z_2 & = {1\over 49} \end{align}\]

Man hittar dubbelroten \( z = - {1\over 7}\,\) eller, om man så vill, "lösningarna" \( z_1 = - {1\over 7}\,\) och \( z_2 = - {1\over 7}\,\) eftersom

\( \begin{align} (- {1\over 7}) + (- {1\over 7}) & = - {1\over 7} - {1\over 7} = - {2\over 7} \\ (-{1\over 7})\cdot(-{1\over 7}) & = {1\over 49} \end{align}\)

Därför har normalformen \( z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} \) faktoriseringen \( \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \) och därmed det ursprungliga polynomet \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \) följande faktorisering\[ 49 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = 7\cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot 7 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = \]

\[ = (7\,z+1)\cdot (7\,z+1) = (7\,z+1)^2 \]

Kontroll\[ (7\,z+1)^2 = 49\,z^2 + 14\,z + 1 \] enligt kvadreringsregeln.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.3_Lösning_8c&oldid=5788"