Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 13"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (10 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt{{1 \over 24^2} + {1 \over 12}} \\ | x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt{{1 \over 24^2} + {1 \over 12}} \\ | ||
x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt{{1 \over 24^2} + {4\cdot 12 \over 24^2}} \\ | x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt{{1 \over 24^2} + {4\cdot 12 \over 24^2}} \\ | ||
| − | + | x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt{{49 \over 24^2}} \\ | |
| − | + | x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm {7 \over 24} \\ | |
| − | + | x_1 & = {1 \over 3} \\ | |
| + | x_2 & = -{1 \over 4} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
---- | ---- | ||
| − | Prövning av <math> x_1 = | + | Prövning av <math> x_1 = {1 \over 3} </math>: |
| − | VL: <math> \ | + | VL: <math> 6\cdot {1 \over 3} = 2 </math> |
| − | <math> | + | HL: <math> 1 - \sqrt{36\cdot \left({1 \over 3}\right)^2 - {1 \over {1 \over 3}}} = 1 - \sqrt{36\cdot {1 \over 9} - 3} = 1 - \sqrt{4 - {3}} = 1 - 1 = 0 </math> |
| − | + | VL <math>\not=</math> HL <math> \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 3} </math> är en falsk rot. | |
| − | + | ||
| − | VL <math>\not=</math> HL <math> \Rightarrow\, x_1 = | + | |
---- | ---- | ||
| − | Prövning av <math> x_2 = | + | Prövning av <math> x_2 = -{1 \over 4} </math>: |
| − | VL: <math> \ | + | VL: <math> 6\cdot \left(-{1 \over 4}\right) = -{3 \over 2} </math> |
| − | <math> | + | HL: <math> 1 - \sqrt{36\cdot \left(-{1 \over 4}\right)^2 - {1 \over -{1 \over 4}}} = 1 - \sqrt{36\cdot {1 \over 16} + 4} = 1 - \sqrt{{9\over4} + 4} = </math> |
| − | + | <math> = 1 - \sqrt{{9\over4} + {16\over4}} = 1 - \sqrt{{25\over4}} = 1 - {5\over2} = {2\over2} - {5\over2} = -{3 \over 2} </math> | |
| − | VL = HL <math> \Rightarrow\, x_2 = | + | VL = HL <math> \Rightarrow\, x_2 = -{1 \over 4} </math> är en sann rot. |
| − | Svar: <math> x = | + | Svar: <math> x = -{1 \over 4} </math> är rotekvationens enda lösning. |
Nuvarande version från 10 april 2011 kl. 17.53
\(\begin{align} 6\;x & = 1 - \sqrt{36\;x^2 - {1 \over x}} & & \qquad | - 1 \\ 6\;x - 1 & = - \sqrt{36\;x^2 - {1 \over x}} & & \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ (6\,x - 1)^2 & = 36\,x^2 - {1 \over x} \\ 36\,x^2 - 12\,x + 1 & = 36\,x^2 - {1 \over x} & & \qquad | - 36\,x^2 \\ - 12\,x + 1 & = - {1 \over x} & & \qquad | \cdot x \\ - 12\,x^2 + x & = - 1 & & \qquad \\ 12\,x^2 - x - 1 & = 0 & & \qquad | \; /\;12 \\ x^2 - {1 \over 12}\,x - {1 \over 12} & = 0 \\ x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt{{1 \over 24^2} + {1 \over 12}} \\ x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt{{1 \over 24^2} + {4\cdot 12 \over 24^2}} \\ x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm \sqrt[[:Mall:49 \over 24^2]] \\ x_{1,2} & = {1 \over 24} \pm {7 \over 24} \\ x_1 & = {1 \over 3} \\ x_2 & = -{1 \over 4} \\ \end{align}\)
Prövning av \( x_1 = {1 \over 3} \):
VL\[ 6\cdot {1 \over 3} = 2 \]
HL\[ 1 - \sqrt{36\cdot \left({1 \over 3}\right)^2 - {1 \over {1 \over 3}}} = 1 - \sqrt{36\cdot {1 \over 9} - 3} = 1 - \sqrt{4 - {3}} = 1 - 1 = 0 \]
VL \(\not=\) HL \( \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 3} \) är en falsk rot.
Prövning av \( x_2 = -{1 \over 4} \):
VL\[ 6\cdot \left(-{1 \over 4}\right) = -{3 \over 2} \]
HL\[ 1 - \sqrt{36\cdot \left(-{1 \over 4}\right)^2 - {1 \over -{1 \over 4}}} = 1 - \sqrt{36\cdot {1 \over 16} + 4} = 1 - \sqrt{{9\over4} + 4} = \]
\( = 1 - \sqrt{{9\over4} + {16\over4}} = 1 - \sqrt[[:Mall:25\over4]] = 1 - {5\over2} = {2\over2} - {5\over2} = -{3 \over 2} \)
VL = HL \( \Rightarrow\, x_2 = -{1 \over 4} \) är en sann rot.
Svar\[ x = -{1 \over 4} \] är rotekvationens enda lösning.
