Skillnad mellan versioner av "1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(40 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 12: Rad 12:
  
  
−
[[Media: Lektion 10 Kontin diskreta funktioner Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 10 Kontinuerliga & diskreta funktioner</span></b>]]
+
<big>
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
 
I matematiken betyder <b><span style="color:red">diskret</span></b> åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.
 
I matematiken betyder <b><span style="color:red">diskret</span></b> åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.
  
Rad 20: Rad 18:
  
 
"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.
 
"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
</big>
 +
 
  
−
<div class="exempel">
 
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Diskret funktion</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Diskret funktion</span></b> ==
 +
<div class="ovnA">
 
<big>
 
<big>
 
<table>
 
<table>
Rad 63: Rad 62:
 
<math> y = 3\;{\color{Red} n} </math> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret funktion</span></b></div> &nbsp;&nbsp; därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret mängd</span></b></div> &nbsp;&nbsp; nämligen alla <b><span style="color:red"> heltal </span></b> <math> {\color{Red} n} \geq 0\, </math>.  
 
<math> y = 3\;{\color{Red} n} </math> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret funktion</span></b></div> &nbsp;&nbsp; därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret mängd</span></b></div> &nbsp;&nbsp; nämligen alla <b><span style="color:red"> heltal </span></b> <math> {\color{Red} n} \geq 0\, </math>.  
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel -->
+
</div>
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
<big>
 
I matematiken betyder <b><span style="color:red">kontinuerlig</span></b> sammanhängande och är motsatsen till diskret.
 
I matematiken betyder <b><span style="color:red">kontinuerlig</span></b> sammanhängande och är motsatsen till diskret.
  
Rad 72: Rad 71:
  
 
En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.
 
En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
</big>
 +
 
  
−
<div class="exempel">
 
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kontinuerlig funktion</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kontinuerlig funktion</span></b> ==
 +
<div class="ovnC">
 
<big>
 
<big>
 
<table>
 
<table>
Rad 114: Rad 114:
 
därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">kontinuerlig mängd</span></b></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;nämligen alla <b><span style="color:red"> reella tal</span></b> <math> {\color{Red} x} \geq 0\, </math>.
 
därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">kontinuerlig mängd</span></b></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;nämligen alla <b><span style="color:red"> reella tal</span></b> <math> {\color{Red} x} \geq 0\, </math>.
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel -->
+
</div>
−
 
+
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
−
Kontinuerliga funktioner används ofta som matematiska modeller för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Diskret_matematik <b><span style="color:blue">Diskret matematik</span></b>]. Mängdlära, grafteori, kombinatorik och talteori som tas upp i Matte 5 är typiska ämnen i Diskret matematik.
+
Kontinuerliga funktioner används ofta som matematiska modeller för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin
  
−
Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html <b><span style="color:blue">Leonardo Pisano Fibonacci</span></b>] år 1202 formulerade i sin bok [http://liberabaci.blogspot.se/ <b><span style="color:blue">Liber abaci</span></b>] (Boken om räknekonsten). Uppgiften handlar om kaniners fortplantning:
+
som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Diskret_matematik <b><span style="color:blue">Diskret matematik</span></b>]. Talteori, mängdlära  och kombinatorik är typiska ämnen i Diskret matematik som behandlas i Matte 5.
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="ovnE">
+
−
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Fibonaccis problem</span></b> ===
+
−
<big>
+
−
Ett kaninpar föder från den andra månaden av sin tillvaro
+
−
 
+
−
ett nytt par varje månad. Samma gäller för de nya paren.
+
−
 
+
−
Hur många par kommer det att finnas om ett år?
+
−
</big>
+
 
</div>
 
</div>
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 
−
De två första månaderna finns det <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns <math> \, {\color{Red} 2} \, </math> kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det <math> \, {\color{Red} 5} \, </math> par i månad 5 osv. <math> \cdots </math>.
 
  
−
Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på kaninpopulationen när tiden går. Antalet kaninpar för varje månad bildar en s.k. [http://matmin.kevius.com/serier.php <b><span style="color:blue">talföljd</span></b>] som kallas för:
+
== <b><span style="color:#931136">[[Fibonaccis talföljd|<span style="color:blue">Exempel 3 Fibonaccis talföljd</span>]] </span></b> ==
−
<div class="ovnE">
+
−
[http://sv.wikipedia.org/wiki/Fibonaccital <b><span style="color:blue">Fibonaccitalen</span></b>] <math> \qquad {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 2}, \; {\color{Red} 3}, \; {\color{Red} 5}, \; {\color{Red} 8}, \; {\color{Red} {13}}, \; {\color{Red} {21}}, \; \ldots \quad </math></div>
+
  
−
Undersöker man denna talföljd noga kan man upptäcka följande mönster:
+
<br>
−
</div> <!-- tolv3 -->
+
−
 
+
−
<div class="ovnE">
+
−
=== <b><span style="color:#931136">Mönster för fibonaccitalen:</span></b> ===
+
−
<big>Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.</big>
+
−
</div>
+
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
+
−
Vi kan använda detta mönster för att bygga en <i>algoritm</i> för beräkning av fibonaccitalen.
+
−
 
+
−
En <b><span style="color:red">algoritm</span></b> är ett specificerat tillvägagångssätt för att lösa ett problem. Läs [http://www.taifun.se/images/stories/pdf/Csharp_1_Vad_ar_en_algoritm.pdf <b><span style="color:blue">här</span></b>] mer om algoritmer.
+
−
 
+
−
Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra jobbet. T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning. 
+
−
</div> <!-- tolv3a http://sv.wikipedia.org/wiki/Algoritm -->
+
−
 
+
−
 
+
−
== <b><span style="color:#931136">Algoritm för fibonaccitalen i Excel</span></b> ==
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
+
−
Följande algoritm beskriver hur man kan använda Excel för att låta datorn beräkna fibonaccitalen:
+
−
<div class="ovnC"> <!-- ovnE -->
+
−
{{#NAVCONTENT:Klicka här för att följa algoritmen.|Algoritm i Excel}}
+
−
</div> <!-- ovnE -->
+
−
 
+
−
I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">övning 6</span></b>]] kommer du att behöva använda denna algoritm för att låta datorn beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen.
+
−
 
+
−
Här är de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen beräknade:
+
−
 
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
  <td>
+
−
:{| class="wikitable"
+
−
|-
+
−
! Antal månader || Antal kaninpar
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 1}\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 2}\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 3}\, </math> ||align=center| <math> 2\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 4}\, </math> ||align=center| <math> 3\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 5}\, </math> ||align=center| <math> 5\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 6}\, </math> ||align=center| <math> 8\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 7}\, </math> ||align=center| <math> 13\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 8}\, </math> ||align=center| <math> 21\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} 9}\, </math> ||align=center| <math> 34\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} {10}}\, </math> ||align=center| <math> 55\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} {11}}\, </math> ||align=center| <math> 89\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> {\color{Red} {12}}\, </math> ||align=center| <math> 144\, </math>
+
−
|}
+
−
</td>
+
−
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  Med denna värdetabell kan vi rita grafen
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  till höger som illustrerar fibonaccitalens
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  snabba tillväxt. Den horisontella axeln
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  visar antal månader och den vertikala
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  antal kaninpar.
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; 
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; 
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; 
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; 
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; 
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  Fibonaccitalen bildar en <b><span style="color:red">diskret funktion</span></b>
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  därför att dess definitionsmängd är <b><span style="color:red">heltal</span></b>,
+
−
 
+
−
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  bestående av månaderna <math> \, {\color{Red} 1}</math><b><span style="color:red">-</span></b><math>{\color{Red} {12}}</math>.
+
−
  </td>
+
−
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  [[Image: Fibonacci 465p.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
 
+
−
Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu äntligen kan besvara den inledande frågan:
+
−
 
+
−
Det kommer att finnas <math> \, 144 \, </math> kaninpar om ett år.
+
−
</div> <!-- tolv4 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
== <b><span style="color:#931136">Fibonaccis funktion</span></b> ==
+
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
−
När vi beräknade fibonaccitalen konstaterade vi redan att de bildar en funktion. Vi beräknade värdetabellen och ritade även grafen till denna funktion. Men vad är dess formel? För att kunna formulera formeln inför vi följande beteckningar:
+
−
 
+
−
::::<math> n \, = \, {\rm Antalet\;månader} </math>
+
−
 
+
−
::::<math> F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n </math>
+
−
 
+
−
De första två fibonaccitalen tar vi från värdetabellen ovan. Det är <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 1 \, </math>. Resten <math>-</math> [http://www.wolframalpha.com/input/?i=fibonacci+function <b><span style="color:blue">Fibonaccis funktion</span></b>] som följer <math>-</math> är en översättning till matematiskt språk av det mönster vi upptäckte tidigare och lade till grund för beräkningsalgoritmen:
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
−
====== <b><span style="color:#931136">Fibonaccis rekursionsformel</span></b> ======
+
−
 
+
−
<math>  F(n) \; = \; \begin{cases} 1                    & \mbox{om} \quad n = 1                                    \\
+
−
                                  1                    & \mbox{om} \quad n = 2 \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal}  \\
+
−
                                  F(n-1) \; + \; F(n-2) & \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots                  \\
+
−
                    \end{cases}
+
−
</math>
+
−
:
+
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
Så här brukar man skriva för att för en och samma funktion definiera olika uttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske blir det enklare att förstå definitionen ovan om vi skriver den på följande förenklat sätt: 
+
−
 
+
−
:::::<math>\begin{array}{rcl}  F(1) & = & 1  \\
+
−
                              F(2) & = & 1  \\
+
−
                              F(n) & = & F(n-1) \; + \; F(n-2) \qquad \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots
+
−
          \end{array}</math>
+
−
 
+
−
De första raderna i definitionen ovan säger att de första två fibonaccitalen är <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 1 </math>. Den andra raden säger att det <math> \, n</math>-te fibonaccitalet är summan av de två föregående, vilket är mönstret vi upptäckte tidigare.
+
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
== <b><span style="color:#931136">Fibonaccifunktionens egenskaper</span></b> ==
+
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+
−
Egenskapen att vara en <b><span style="color:red">diskret</span></b> hade vi redan konstaterat för Fibonaccis funktion. Detta pga dess definitionsmängd var heltal: antalet kaninpar.
+
−
 
+
−
En annan intressant egenskap är att Fibonaccis funktion är <b><span style="color:red">rekursiv</span></b>, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, genom att ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på raden i definitionen:
+
−
 
+
−
:::::<math> F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) </math>
+
−
 
+
−
I en vanlig funktion står <math> F(n) \, </math> till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln <math> n \, </math> till höger. Men här står <math> \, F(n) \, </math> på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första <math> F(1) = 1 \, </math> och <math> F(2) = 1 \, </math>, s.k. <b><span style="color:red">startvärden</span></b>, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att <math> F(n) \, </math> anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därav namnet Fibonaccis rekursionsformel.
+
−
 
+
−
Fibonaccis funktion har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken. En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>] se [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">övning 6</span></b>]]. En annan är följande vacker formel som upptäcktes först 1718 <math>-</math> mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen <math>-</math> och som ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital:
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
−
====== <b><span style="color:#931136">Explicit formel för fibonaccitalen</span></b> ======
+
−
 
+
−
<math> \displaystyle F(n) \; = \; {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math>
+
−
:
+
−
</div>
+
  
  
−
I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_11|<b><span style="color:blue">övning 11</span></b>]] får du till uppgift att bevisa den, vilket görs genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln. Den är i själva verket lösningen till rekursionsformeln när denna uppfattas och behandlas som en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Differensekvation <b><span style="color:blue">differensekvation</span></b>] <math>-</math> något som studeras inom Diskret matematik.
 
−
</div> <!-- tolv6 -->
 
  
  
Rad 323: Rad 154:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 1 juli 2024 kl. 11.25

        <<  Förra demoavsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.

Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) och inte heller mellan de andra heltalen.

"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.


Exempel 1 Diskret funktion

En torghandlare säljer ägg för \( \, 3 \) kr per styck.

\( {\color{Red} 1} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 2} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 3} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \qquad \cdots \)

\( {\color{Red} n} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\( y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} \)
         Diskret prisfunktion agg.jpg         Grafen till prisfunktionen visar priset \( y \, \) i kr (vertikal axel)

        som en funktion av antalet \( {\color{Red} n} \, \) (horisontell axel).


        Grafen till en diskret funktion ritas med separerade

        punkter och inte med en genomdragen linje.


        För att rita en diskret funktions graf måste man

        lyfta pennan.

\( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\; \color{Red} n \, \) är antalet ägg.

\( y = 3\;{\color{Red} n} \) är en
diskret funktion
   därför att dess definitionsmängd är en
diskret mängd
   nämligen alla heltal \( {\color{Red} n} \geq 0\, \).


I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret.

De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.


Exempel 2 Kontinuerlig funktion

En annan torghandlare säljer färskpressad

granatäppeljuice för \( \, 30 \) kr per liter.

Av samma anledning som i Exempel 1 är

prisfunktionen här:

\( y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} \)

\( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\;\;\; \color{Red} x \, \) är mängden i liter.

\( y = 30\;{\color{Red} x} \) är en
kontinuerlig funktion
         Kontinuerlig prisfunktion ris.jpg         Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \)

        som en funktion av mängden \( {\color{Red} x} \) (i liter).


        Grafen till en kontinuerlig funktion ritas med en

        genomdragen linje och inte med separerade punkter.


        En kontinuerlig funktions graf kan man rita

        utan att lyfta pennan.

därför att dess definitionsmängd är en
kontinuerlig mängd
    nämligen alla reella tal \( {\color{Red} x} \geq 0\, \).

Kontinuerliga funktioner används ofta som matematiska modeller för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin

som heter Diskret matematik. Talteori, mängdlära och kombinatorik är typiska ämnen i Diskret matematik som behandlas i Matte 5.


Exempel 3 Fibonaccis talföljd





Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=SKRjz2aTqCY

http://www.youtube.com/watch?v=cvnG0YWPLjQ

http://www.sigma8.se/dokument/TabyFriskola_Amnesrapport_OK_2012.pdf

http://www03.edu.fi/svenska/oppimateriaalit/arkimatematiikkaa/fibona.html

http://paranormal.se/topic/det_gyllene_snittet.html

http://www.math.fau.edu/MathCircle_at_FAU/MC130713Problems.pdf





Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner&oldid=29389"