Skillnad mellan versioner av "Potenser"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| << Repetitioner]]}} | {{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| << Repetitioner]]}} | ||
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar | + | {{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}} |
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom >> ]]}} | {{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom >> ]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
| Rad 265: | Rad 265: | ||
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> == | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv6 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv6 --> | ||
| − | Potenser med | + | Potenser med [[1.1_Talbegreppet#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">rationella</span></b>]] exponenter (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter. |
| − | + | ||
| − | + | ||
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter: | Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter: | ||
Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 11.15
| << Repetitioner | Genomgång | Övningar | 1:a avsnitt: Polynom >> |
Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Polynom. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.
Repetition om potenser
 |
Exempel på potens:
Potens = upprepad multiplikation av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger. |
OBS! Förväxla inte begreppen: \( \, 2\,^3 \, \) är själva potensen, medan \( \, {\color{Red} 3} \, \) är exponenten och \( \, {\color{green} 2}\, \) förstås basen.
Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:
\( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).
Exempel
Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)
Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
- OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!
Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
För att förstå den snabbare lösningen se Potenslagarna.
Generellt:
Potenser med positiva exponenter
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:
- Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)
Potenslagarna
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
Dessa lagar gäller för potenser där baserna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal.
Exempel på första potenslagen
Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)
Lösning:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)
Snabbare:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
Exempel på andra potenslagen
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)
Snabbare:
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten \( \, 0 \, \):
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller \( \, 0 \, \). Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.
Potenser med negativa exponenter
Potens med negativ exponent: \( \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \) Invertera potensen med positiv exponent. Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \; \).
|
Andra exempel:
|
Generellt:
Påstående:
Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)
Bevis:
- \( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
Potenser med exponenten \( \, 0 \, \)
Exempel:
\( \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad \)
Generellt:
Påstående:
Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)
Av raderna ovan följer påståendet:
- \( a^0 \; = \; 1 \)
I båda föregående påståenden ska alltid gälla: \( \quad x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \quad \).
Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:
Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.
Nollte potensen bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som \( \, 0 \, \) är övergången mellan positiva och negativa tal:
Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?
- \[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
- \[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
- \[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]
Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Potenser med rationella exponenter
Potenser med rationella exponenter (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
Påstående:
Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)
Bevis:
Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:
- \( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)
Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur \( \, a \):
\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; \) Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).
Av raderna ovan följer:
- \( \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)
I följande ska alltid gälla: \( \quad m, n \, \) heltal och \( \, n \, \neq 0 \quad \).
Påstående:
Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)
Bevisidé:
Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):
Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:
- \( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)
Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur \( \, a \):
\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).
Av raderna ovan följer:
- \( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)
Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
Potensekvationer
Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .
- Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
- Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Alternativt med potens med rationell exponent:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad & | \; \text{3:e potenslagen på VL} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som potenser med rationella exponenter.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
Copyright © 2010-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
