Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
(116 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
Rad 3: | Rad 3: | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
{{Selected tab|[[1.1 Om tal|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[1.1 Om tal|Genomgång]]}} | ||
− | {{Not selected tab|[[1.1 Övningar | + | {{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Tal|Övningar]]}} |
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning|Nästa avsnitt >> ]]}} | {{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning|Nästa avsnitt >> ]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
+ | <!-- [[Media: Lektion 1 Om tal Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 1 Om tal</span></b>]] --> | ||
− | + | == <b><span style="color:#931136">Vad är ett tal egentligen?</span></b> == | |
− | + | ||
− | == <b><span style="color:#931136"> | + | |
<div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | ||
− | |||
− | Vad är | + | <table> |
+ | <tr> | ||
+ | <td> [[Image: Tre katter_80.jpg]] </td> | ||
+ | <td> <math> \quad </math> </td> | ||
+ | <td> Vad är det <b><span style="color:red">gemensamma</span></b> <br/><br/> <math> \qquad\qquad </math> hos <br/><br/> | ||
+ | tre katter och tre hundar? </td> | ||
+ | <td> <math> \quad </math> </td> | ||
+ | <td> [[Image: Tre hundar_80.jpg]] <math>\qquad\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]] </td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
+ | Om vi bortser från själva katter och hundar så är det <b><span style="color:red">antalet</span> 3</b> som är gemensamt för båda mängder. | ||
− | + | Vi kan generalisera: | |
+ | <div class="border-divblue"> | ||
+ | <b><span style="color:red">Antalet</span></b> saker och ting som finns i en mängd, kallas för <b><span style="color:red">talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b>.</div> | ||
+ | Eller: | ||
+ | <div class="border-divblue"> | ||
+ | <b><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b> är det gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> objekt.</div> | ||
− | + | Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''? Det löser inget problem. | |
+ | Frågan ''Vad <b><span style="color:red">är</span></b> tal?'' är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting. | ||
− | + | Det handlar i själva verket om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Man bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar). | |
− | + | Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet <b><span style="color:red">tal</span></b>. Läs mer om abstraktion på länken nedan: | |
</div> <!-- tolv1 --> | </div> <!-- tolv1 --> | ||
== <b><span style="color:#931136">Abstraktion</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Abstraktion</span></b> == | ||
− | <div class="ovnE"> | + | <table> |
− | {{#NAVCONTENT:Läs här om abstraktion.|Abstraktion}} | + | <tr> |
− | </div> | + | <td> [[Image:Fig111.gif]] </td> |
− | + | <td> <math> \qquad </math> </td> | |
+ | <td> <math> \qquad </math> </td> | ||
+ | <td> <div class="ovnE"><big> | ||
+ | {{#NAVCONTENT:Läs här om abstraktion.|Abstraktion}}</big> | ||
+ | </div> </td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> == | ||
Rad 58: | Rad 71: | ||
t.ex. <math> \, 4 - 4 = 0 \, </math>. Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och <math> 0 </math>, kallad: | t.ex. <math> \, 4 - 4 = 0 \, </math>. Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och <math> 0 </math>, kallad: | ||
− | <div class="border-divblue">Naturliga tal: [[Image: Naturliga tal_16.gif]]</div> | + | <div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Naturliga tal:</span></b> [[Image: Naturliga tal_16.gif]]</div> |
Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex. | Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex. | ||
Rad 64: | Rad 77: | ||
<math> \, 4 - 5 = -1 </math>. Så uppstår ytterligare en ny talmängd: | <math> \, 4 - 5 = -1 </math>. Så uppstår ytterligare en ny talmängd: | ||
− | <div class="border-divblue">Heltal: [[Image: Heltal_16.gif]]</div> | + | <div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Heltal:</span></b> [[Image: Heltal_16.gif]]</div> |
Division av två heltal med varandra, t.ex. <math> \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, </math> leder till tal i bråkform, även kallade: | Division av två heltal med varandra, t.ex. <math> \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, </math> leder till tal i bråkform, även kallade: | ||
</td> | </td> | ||
<td> | <td> | ||
− | <div class="border-divblue">De olika taltyperna är delmängder av varandra | + | <big><b><span style="color:red"> Lökmodell:</span></b></big> |
+ | <div class="border-divblue">De olika taltyperna är delmängder av varandra.</div> | ||
Rad 75: | Rad 89: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
− | <div class="border-divblue">Rationella tal: [[Image: Rationella tal_60.jpg]]</div> | + | <div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Rationella tal:</span></b> [[Image: Rationella tal_60.jpg]]</div> |
− | + | Rationella tal är [[1.5_Bråkräkning|<b><span style="color:blue">tal i bråkform</span></b>]] och kan alltid skrivas i decimalform. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform. | |
<b>Exempel:</b> Drar man roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots </math> | <b>Exempel:</b> Drar man roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots </math> | ||
Rad 83: | Rad 97: | ||
<math> \sqrt{2} \, </math> kan inte anges i bråkform <math>-</math> är inget rationellt tal <math>-</math> därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period). | <math> \sqrt{2} \, </math> kan inte anges i bråkform <math>-</math> är inget rationellt tal <math>-</math> därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period). | ||
− | Sådana tal kallas <b><span style="color:red">irrationella</span></b> och | + | Sådana tal kallas för <b><span style="color:red">irrationella tal</span></b> och är decimaltal med en oändlig [[1.3 Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling|<b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>]]. <math> \sqrt{2} \, </math>, <math> \sqrt{3} \, </math> och talet <math> \, \pi \, </math> är exempel på irrationella tal. |
+ | |||
+ | Matematiskt exakt talat, är <math> \, \sqrt{2} \, </math> [[2.3 Gränsvärde|<b><span style="color:blue">gränsvärdet (limes)</span></b>]] av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig <math> \, \sqrt{2} </math>. Gränsvärdet själv är inte längre rationellt. Därför inför man en ny talmängd, de irrationella talen. | ||
Följande ny taltyp uppstår: | Följande ny taltyp uppstår: | ||
− | <div class="border-divblue">Reella tal: De rationella talen tillsammans med alla irrationella.</div> | + | <div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Reella tal:</span></b> De rationella talen tillsammans med alla irrationella.</div> |
Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen. | Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen. | ||
Rad 95: | Rad 111: | ||
För att lösa detta dilemma införs en ny symbol <math> \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; </math> med egenskapen <math> \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; </math> med vars hjälp den nya talmängden definieras: | För att lösa detta dilemma införs en ny symbol <math> \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; </math> med egenskapen <math> \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; </math> med vars hjälp den nya talmängden definieras: | ||
− | <div class="border-divblue">Komplexa tal: Alla tal av formen <math> \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad </math> med <math> \quad a, b \; = \; </math> reella tal.</div> | + | <div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Komplexa tal:</span></b> Alla tal av formen <math> \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad </math> med <math> \quad a, b \; = \; </math> reella tal.</div> |
Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå. Symbolen <math> \, {\color{Red} i} \, </math> är ett exempel på en sådan [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]]. | Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå. Symbolen <math> \, {\color{Red} i} \, </math> är ett exempel på en sådan [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]]. | ||
Rad 103: | Rad 119: | ||
== <b><span style="color:#931136">Vårt talsystem <math>-</math> det decimala positionssystemet</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Vårt talsystem <math>-</math> det decimala positionssystemet</span></b> == | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv4a --> | <div class="tolv"> <!-- tolv4a --> | ||
− | Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]], ändå en konkret form som | + | Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]], ändå en konkret form som alla förstår. |
Man pratar om ''representation av tal''. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller ''representera'' tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. <b><span style="color:red">decimala positionssystemet</span></b>. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder. | Man pratar om ''representation av tal''. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller ''representera'' tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. <b><span style="color:red">decimala positionssystemet</span></b>. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder. | ||
Rad 141: | Rad 157: | ||
När vi behandlar [[1.3_Decimaltal#Exempel_1|<b><span style="color:blue">decimaltal</span></b>]] kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad. | När vi behandlar [[1.3_Decimaltal#Exempel_1|<b><span style="color:blue">decimaltal</span></b>]] kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad. | ||
− | |||
− | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
Rad 260: | Rad 274: | ||
<b><big><span style="color:#931136">Summa</span></big> = resultat av addition:</b> | <b><big><span style="color:#931136">Summa</span></big> = resultat av addition:</b> | ||
− | + | <math> \;\; 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} </math> | |
---- | ---- | ||
<b><big><span style="color:#931136">Differens</span></big> = resultat av subtraktion:</b> | <b><big><span style="color:#931136">Differens</span></big> = resultat av subtraktion:</b> | ||
− | + | <math> \;\; 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} </math> | |
---- | ---- | ||
<b><big><span style="color:#931136">Produkt</span></big> = resultat av multiplikation:</b> | <b><big><span style="color:#931136">Produkt</span></big> = resultat av multiplikation:</b> | ||
− | + | <math> \;\; 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;} </math> <big><b><span style="color:red">faktorer</span></b></big> <math> {\rm\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} </math> | |
---- | ---- | ||
<b><big><span style="color:#931136">Kvot</span></big> = resultat av division:</b> | <b><big><span style="color:#931136">Kvot</span></big> = resultat av division:</b> | ||
− | + | <math> \;\; 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} </math> | |
</div> <!-- border-div2 --> | </div> <!-- border-div2 --> | ||
Rad 295: | Rad 309: | ||
− | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 30 december 2022 kl. 13.08
Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Vad är ett tal egentligen?
|
Vad är det gemensamma tre katter och tre hundar? |
|
|
Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet 3 som är gemensamt för båda mängder.
Vi kan generalisera:
Eller:
Men är detta inte bara att byta ut ordet tal mot ett annat: antal? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är antal? Det löser inget problem.
Frågan Vad är tal? är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi gör när vi räknar antalet saker och ting.
Det handlar i själva verket om tankeprocessen som bakom ligger bakom räknandet.
Denna tankeprocess kallas för abstraktion: Man bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).
Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet tal. Läs mer om abstraktion på länken nedan:
Abstraktion
Olika typer av tal
Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal, Så räknar vi antal objekt i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Alla dessa tal är >0, medan själva 0 får man först genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. 4−4=0. Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och 0, kallad: Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex. 4−5=−1. Så uppstår ytterligare en ny talmängd: Division av två heltal med varandra, t.ex. 1/3=13 leder till tal i bråkform, även kallade: |
Lökmodell: De olika taltyperna är delmängder av varandra.
|
Rationella tal är tal i bråkform och kan alltid skrivas i decimalform. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform.
Exempel: Drar man roten ur 2 kommer man till: √2=1,4142135623730950488016887…
√2 kan inte anges i bråkform − är inget rationellt tal − därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).
Sådana tal kallas för irrationella tal och är decimaltal med en oändlig icke-periodisk decimalutveckling. √2, √3 och talet π är exempel på irrationella tal.
Matematiskt exakt talat, är √2 gränsvärdet (limes) av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig √2. Gränsvärdet själv är inte längre rationellt. Därför inför man en ny talmängd, de irrationella talen.
Följande ny taltyp uppstår:
Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen.
Löser man t.ex. ekvationen x2+1=0 får man x=√−1 som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger −1. Vi säger: ekvationen saknar reell lösning.
För att lösa detta dilemma införs en ny symbol i=√−1 med egenskapen i2=−1 med vars hjälp den nya talmängden definieras:
Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet − fast på högre nivå. Symbolen i är ett exempel på en sådan abstraktion.
Vårt talsystem − det decimala positionssystemet
Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av abstraktion, ändå en konkret form som alla förstår.
Man pratar om representation av tal. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. decimala positionssystemet. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder.
Det har visat sig genom historien att detta är det enklaste sättet att representera tal. Det känns naturligt att ta sina 10 fingrar till hjälp när man räknar i huvudet, vilket endast är möjligt om talsystemet är decimalt:
Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen 10 (på latin: deci). Det finns andra talsystem som bygger på andra baser vilket tas upp i avsnittet Talsystem med olika baser.
Så kan alla tal större än 9, alla negativa tal samt alla decimaltal skrivas med hjälp av de första 10 naturliga talen (med minustecknet och decimalkommat). Detta blir möjligt genom att ge siffrorna 0-9:s position i talen ett visst värde.
Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna 0-9 i talet som bestämmer siffrornas värde.
I det decimala positionssystemet har varje position ett 10 gånger större värde än positionen till höger.
Praktiska slutsatser ur denna regel
- 235⋅10=2350
- 235⋅10=2350
- 235⋅100=23500
- 235⋅100=23500
- 235⋅1000=235000
- 235⋅1000=235000
Att multiplicera med 10 innebär att förstora med faktorn 10. För heltal innebär det att lägga till 0 till höger om talet.
Att multiplicera med 100 innebär att förstora med faktorn 100. För heltal innebär det att lägga till 00 till höger om talet.
Att multiplicera med 1000 innebär att förstora med faktorn 1000. För heltal innebär det att lägga till 000 till höger om talet. Osv.
När vi behandlar decimaltal kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad.
De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar:
Följande exempel visar hur en siffras position bestämmer dess värde: |
|
|
Exempel 1
Skriv talet 7142 som en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) gånger 10-potenser".
Ange även talets entals-, tiotals-, hundratals- och tusentalssiffra. Förklara varför vårt talsystem är decimalt.
Lösning:
Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med 10-potenser läs avsnittet om Potenser. Kom speciellt ihåg att 100=1 enligt potenslagarna.
Siffran 2 i talet 7142 är talets ental och har det minsta värdet, nämligen 2⋅1=2. Sedan följer de andra med stigande värden.
Nästa siffra 4 till vänster är talets tiotal och har värdet 4⋅10=40.
Nästa siffra 1 till vänster är talets hundratal och har värdet 1⋅100=100.
Siffran 7 längst till vänster är talets tusental och har det högsta värdet, nämligen 7⋅1000=7000.
Exempel 2
Ange siffrornas värde i talet 312. Beräkna talets värde utgående från siffrornas värden.
Skriv även talet som en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) gånger 10-potenser".
Lösning:
Första siffran 3 är pga sin position ett hundratal och har därför värdet värdet 3⋅100 dvs 300.
Siffran 1 är ett tiotal och har därför värdet 1⋅10 dvs 10.
Siffran 2 är ett ental och har därför värdet 2⋅1 dvs 2.
Siffran 2 är ett ental och har därför värdet 2⋅1 dvs 2.
Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till 300+10+2=312. Mera utförligt:
- 3⋅100+1⋅10+2⋅1=3⋅102+1⋅101+2⋅100=300+10+2=312
Man säger att 312 är ett sätt − det decimala positionssystemets sätt − att representera dvs visa talets värde.
I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för 100 skrivit 102, vilket betyder 10⋅10, istället för 10 skrivit 101 och istället för 1 skrivit 100. Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) gånger 10-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen 10. På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas − bara att basen 10 byts ut mot andra baser.
Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:
Exempel 3
Ange talet 5689 som en summa av termer med 10-potenser.
Lösning:
- 5689=5⋅1000+6⋅100+8⋅10+9⋅1=5⋅103+6⋅102+8⋅101+9⋅100
Här en uppgift av en annan typ:
Exempel 4
Siffrorna i talet 96038 ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära 40000 som möjligt.
Lösning:
- De två siffrorna närmast 4 (första siffran i 40000) är 3 och 6.
- Om vi börjar med siffran 6 skulle den ge värdet 60000 som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare 40000. Därför bestämmer vi oss att stanna under 40000, då blir den första siffran i det tal vi söker, 3. Då får vi 30000.
- För att komma så nära 40000 som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen 9. Då får vi 39000. Den näst största siffran är 8. Då blir det 39800. Slutligen är bara 6 och 0 kvar, så att det blir 39860.
Summa − Differens − Produkt − Kvot
De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkneoperationer. Deras resultat kallas för:
Summa = resultat av addition:
12+4=16där12och4ärtermeroch16summan.
Differens = resultat av subtraktion:
12−4=8där12och4ärtermeroch8differensen.
Produkt = resultat av multiplikation:
12⋅4=48där12och4är faktorer och48produkten.
Kvot = resultat av division:
12/4=3där12ärtäljaren,4nämnarenoch3kvoten.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=slqBCVthYKQ
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
https://www.mathsisfun.com/associative-commutative-distributive.html
http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.