Skillnad mellan versioner av "1.5 Bråkräkning"

Nuvarande version från 13 september 2019 kl. 10.10

Genomgång

Tal i bråkform

$\qquad\quad$

Bråkstrecket betyder division:

$\quad\; \displaystyle \frac{{\color{Limegreen} 3}}{{\color{Red} 4}} \; = \; {\color{Limegreen} 3} \, / \, {\color{Red} 4} \; = \; 0,75$

Generellt:

Alla tal i bråkform kan skrivas i decimalform, men inte tvärtom.

T.ex. $\quad\sqrt{2} = 1,4142135623730950488\ldots \quad$ kan inte anges i bråkform eftersom det har en oändlig icke-periodisk decimalutveckling.

Alla tal som kan skrivas i bråkform kallas för rationella. De som inte kan skrivas i bråkform kallas för irrationella, se Olika typer av tal.

Blandad form

Skriv bråket $\; \frac{7}{2} \;$ till blandad form:

$\quad \displaystyle \frac{7}{\color {Red} 2} \; = \; 7 \, / \, \color {Red} 2 \; = \; \color {Limegreen} 3 \,, {\rm rest} \; 1 \; = \; \boxed{\color {Limegreen} 3 \,\frac{1}{\color {Red} 2}} \quad$

$\quad$ Eller använd miniräknare:

$\quad \displaystyle \frac{7}{\color {Red} 2} \; = \; 7 \, / \, \color {Red} 2 \; = \quad\; 3,5 \quad\; = \; \color {Limegreen} 3 \,\frac{1}{\color {Red} 2} \quad$

OBS!

I blandade former står mellan heltalet och

bråket ett osynligt + : $\quad \displaystyle \color {Limegreen} 3 \,\frac{1}{\color {Red} 2} \; = \; \color {Limegreen} 3$ + $\displaystyle \frac{1}{\color {Red} 2} \quad$

Läs därför: "Tre och en halv"

Omvänt:

Skriv blandade formen till bråk:

$\quad \displaystyle \boxed{\color {Limegreen} 3\,\frac{1}{\color {Red} 2}} \;\; = \;\; \frac{\color {Limegreen} 3 \, \cdot \color {Red} 2 \quad + \quad 1}{\color {Red} 2} \;\; = \;\; \frac{7}{\color {Red} 2}$

$\quad$ Därför att:

$\quad \displaystyle \color {Limegreen} 3\,\frac{1}{\color {Red} 2} \; = \; \color {Limegreen} 3 \; + \; \frac{1}{\color {Red} 2} = \frac{\color {Limegreen} 3}{1} + \frac{1}{\color {Red} 2} \; =$

$\qquad\;\;\, \displaystyle \; = \; \frac{\color {Limegreen} 3 \cdot \color {Red} 2}{1 \cdot \color {Red} 2} \; + \; \frac{1}{\color {Red} 2} \; = \; \frac{6}{\color{Red} 2} \; + \; \frac{1}{\color{Red} 2} \; = \; \frac{7}{\color{Red} 2}$

Regeln för att skriva en blandad form till bråk:

$\quad \displaystyle \color {Limegreen} a\;\frac{b}{\color {Red} c} \quad = \quad \frac{\color {Limegreen} a \, \cdot \color {Red} c \quad + \quad b}{\color {Red} c} \quad$

Förkortning av bråk

Förkorta bråken så långt som möjligt:

1) $\quad \displaystyle \frac{2}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{\color{Red} 2}}{2 \cdot \cancel{\color{Red} 2}} \; = \; \frac{1}{2}$

2) $\quad \displaystyle \frac{6}{9} \; = \; \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} \; = \; \frac{2 \cdot \cancel{\color{Red} 3}}{3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} \; = \; \frac{2}{3}$

3) $\quad \displaystyle \frac{10}{15} \; = \; \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} \; = \; \; \frac{2 \cdot \cancel{\color{Red} 5}}{3 \cdot \cancel{\color{Red} 5}} \; = \; \frac{2}{3}$

4) $\quad \displaystyle \frac{8}{24} \; = \; \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 4}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 12} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 2}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 6} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 1}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 3} \, = \, \frac{1}{3}$

Metoden:

Hitta en gemensam faktor hos täljaren och nämna-

ren. Dividera både täljaren och nämnaren med

samma gemensamma faktor.

Rekommendation:

Förkorta alltid ett bråk när det är möjligt för att få

mindre tal och därmed minska risken för felräknning.

Förlängning av bråk

Förläng bråken:

1) $\quad \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 \cdot {\color{Red} 3}}{4 \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; \frac{9}{12}$

2) $\quad \displaystyle \frac{2}{3} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Red} 4}}{3 \cdot {\color{Red} 4}} \; = \; \frac{8}{12}$

3) $\quad \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 \cdot {\color{Red} 5}}{4 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; \frac{15}{20} \; = \; \frac{15 \cdot {\color{Red} 5}}{20 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; \frac{75}{100}$

4) $\quad \displaystyle {1 \over 8} \; = \; {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {5 \over 40} \; = \; {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {25 \over 200} \; =$

$\qquad\quad\; \displaystyle = \; {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {125 \over 1\,000}$

Metoden:

Multiplicera täljaren och nämnaren med samma tal.

Slutsats:

Både förkortning och förlängning bibehåller

bråkets värde.

När ska man förlänga bråk?

1) Jämförelse av bråk:

Ex.: Vilket av bråken är större $\quad \displaystyle \frac{3}{4} \quad$ eller $\quad \displaystyle \frac{2}{3} \quad$ ?

Det kan man bara avgöra genom att förlänga dem till sam-

ma nämnare, se Förlängnng av bråk, ex. 1 och 2:

$\qquad\;\; \displaystyle \frac{9}{12} \, > \, \frac{8}{12} \qquad \implies \qquad\displaystyle \frac{3}{4} \, > \, \frac{2}{3}$

2) Addition av bråk med olika nämnare:

Se nedan: Fall 2 Bråk med olika nämnare.

Addition och subtraktion av bråk

Fall 1 Bråk med samma nämnare

$\quad \displaystyle \frac{1}{\color{Red} 5} \; + \; \frac{3}{\color{Red} 5} \; = \; \frac{4}{\color{Red} 5}$

$\quad \displaystyle \frac{11}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{5}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2}$

$\quad \displaystyle \frac{5}{\color{Red} {11}} + \frac{13}{\color{Red} {11}} - \frac{9}{\color{Red} {11}} = \frac{5+13-9}{\color{Red} {11}} = \frac{9}{\color{Red} {11}} \quad$

Regeln för add./subtr. av bråk med samma nämnare:

Bibehåll och ta över den gemensamma

nämnaren. Addera/subtrahera täljarna.

Fall 2 Bråk med olika nämnare

$\quad \displaystyle \frac{1}{2} \; + \; \frac{1}{3} \; = \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{2 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 2}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 2}} \; = \;$

$\qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{3}{\color{Red} 6} \; + \; \frac{2}{\color{Red} 6} \; = \; \frac{5}{\color{Red} 6}$

$\quad \displaystyle \frac{2}{3} \; + \; \frac{1}{5} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Limegreen} 5}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 5}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{5 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; = \;$

$\qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{10}{\color{Red} {15}} \; + \; \frac{3}{\color{Red} {15}} \; = \; \frac{13}{\color{Red} {15}}$

$\quad \displaystyle \frac{7}{4} \; - \; \frac{5}{3} \; = \; \frac{7 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{4 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; - \; \frac{5 \cdot {\color{Limegreen} 4}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \;$

$\qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{21}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{20}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1}{\color{Red} {12}} \quad$

Regeln för add./subtr. av bråk med olika nämnare:

Förläng bråken så att de får en gemen-

sam nämnare (oftast nämnarnas produkt).

Använd regeln för add./subtr. av bråk

med samma nämnare.

Multiplikation av bråk

$\quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \cdot \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \; = \; \frac{3}{8}$

$\quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \cdot \; \frac{4}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} \; = \; \frac{8}{21}$

$\quad \displaystyle \frac{3}{4} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} \; = \; \frac{6}{12} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2}$

Regeln för multiplikation av bråk:

Multiplicera:	täljarna	med	varandra,
	nämnarna	med	varandra.

Allmän regel för redovisning av bråkuppgifter:

Förkorta dina svar så långt som möjligt.

Division av bråk

$\quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \Big/ \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1}{2} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{4}{3}}} \; = \; \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \; = \; \frac{4}{6} \; = \;$

$\qquad\qquad\; \displaystyle \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 2}{\cancel{2} \cdot 3} \; = \; \frac{2}{3}$

$\quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \Big/ \; \frac{5}{7} \; = \; \frac{2}{3} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{7}{5}}} \; = \; \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} \; = \; \frac{14}{15}$

$\quad \displaystyle \frac{4}{7} \; \Big/ \; \frac{3}{5} \; = \; \frac{4}{7} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{5}{3}}} \; = \; \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 3} \; = \; \frac{20}{21}$

Regeln för division av bråk:

Ersätt $/$ med ${\color{Red} {\cdot}}$ och invertera det bråk som

man skulle dividera med (dvs det andra).

Använd regeln för multiplikation av bråk.

Att invertera t.ex. $\, \displaystyle \frac{3}{4} \,$ ger $\, \displaystyle {\color{Red} {\frac{4}{3}}} \;$ .

Dubbelbråk

$\;\; \displaystyle \frac{\frac{{\color{Red} 2}}{{\color{Limegreen} 5}}}{\frac{{\color{Limegreen} 4}}{{\color{Red} 9}}}$ $\displaystyle \; = \; \frac{{\color{Red} 2} \cdot {\color{Red} 9}}{{\color{Limegreen} 5} \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 9}{5 \cdot 2 \cdot \cancel{2}} \; = \; \frac{9}{5 \cdot 2} \; = \; \frac{9}{10}$

$\;\;$ Förkorta även på vägen till svaret om möjligt.

Regeln för dubbelbråk:

Ta de "yttersta" ( $\, {\color{Red} 2} \,$ och $\, {\color{Red} 9} \,$ ) till täljaren.

Ta de "innersta" ( $\, {\color{Limegreen} 5} \,$ och $\, {\color{Limegreen} 4} \,$ ) till nämnaren.

Heltal som bråk

$\qquad \displaystyle 9 \; = \; \frac{9}{1} \qquad$

Generellt:

Alla heltal kan skrivas i bråkform

genom att ge dem nämnaren $\, {\color{Red} 1} \,$ .

Bråk gånger heltal

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{1} \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 1} \; = \; \frac{2 \cdot 3 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3}} \; = \; 6$

Snabbare:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3} \; = \; \frac{18}{3} \; = \; 6$

$\displaystyle 2 \cdot \frac{5}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 5}{7} \; = \; \frac{10}{7}$

Regel:

Ta täljaren $\times$ heltalet, bibehåll nämnaren.

Bråkdel av ett tal

Bestäm $\; \displaystyle \frac{5}{6} \;$ av $\; 12 \;$ .

$\quad \displaystyle \frac{5}{6} \;$ ${\color {Red} {\cdot}}$ $\; \displaystyle 12 \; = \; \frac{5 \cdot 12}{6} \; = \; \frac{5 \cdot 2 \cdot \cancel{6}}{\cancel{6}} \; = \; 10 \quad$

Regel:

Översätt av till gånger.

Bestäm $\; \displaystyle \frac{4}{5} \;$ av $\; \displaystyle \frac{7}{8} \;$ .

$\quad \displaystyle \frac{4}{5} \;$ ${\color {Red} {\cdot}}$ $\; \displaystyle \frac{7}{8} \; = \; \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 8} \; = \; \frac{\cancel{4} \cdot 7}{5 \cdot 2 \cdot \cancel{4}} \; = \; \frac{7}{10} \quad$