|
|
| (41 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| | + | __NOTOC__ |
| | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" |
| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | |
| − | {{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <math> \pmb{\gets} </math> Förra avsnitt]]}} | + | {{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| << Förra avsnitt]]}} |
| | {{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}} | | {{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}} |
| | {{Not selected tab|[[1.3.1_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}} | | {{Not selected tab|[[1.3.1_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}} |
| | {{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}} | | {{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}} |
| − | {{Not selected tab|[[1.7 Potenser|Nästa demoavsnitt <math> \pmb{\to} </math>]]}} | + | {{Not selected tab|[[1.5 Bråkräkning|Nästa demoavsnitt >> ]]}} |
| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | | | |
| − | [[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Decimaltal</span></strong>]]
| |
| − | __NOTOC__ <!-- __TOC__ -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Tal mellan två heltal</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
| |
| − | Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">heltal</span></strong>]].
| |
| − |
| |
| − | För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Vårt_talsystem|<strong><span style="color:blue">det decimala positionssystemet</span></strong>]].
| |
| − | </div> <!-- tolv4a -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue"> <!-- <div class="ovnE"> -->
| |
| − |
| |
| − | [[Image: Decimaltal_60a.jpg]]
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
| |
| − | Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Om tal, Exempel 1</span></strong>]].
| |
| − |
| |
| − | Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
| |
| − | </div> <!-- tolv1 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − | Bestäm decimalernas <strong><span style="color:red">värden</span></strong> i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.
| |
| − |
| |
| − | <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>
| |
| − |
| |
| − | :Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> är en <strong><span style="color:#93C800">tiondel</span></strong>ssiffra och har därmed <strong><span style="color:red">värdet</span></strong> <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \;\;\;\; = \, {\color{Red}{0,1}} \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | :Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> är en <strong><span style="color:#93C800">hundradel</span></strong>ssiffra och har därmed <strong><span style="color:red">värdet</span></strong> <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \;\; = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | :Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> är en <strong><span style="color:#93C800">tusendel</span></strong>ssiffra och har därmed <strong><span style="color:red">värdet</span></strong> <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:
| |
| − |
| |
| − | :::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
| |
| − | </big></div> <!-- exempel1 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <big>Här dyker upp samma [[1.1_Om_tal#Praktiska_slutsatser_ur_denna_regel|<b><span style="color:blue">regel</span></b>]] som gällde för heltal, i en annan skepnad:
| |
| | <div class="border-divblue"> | | <div class="border-divblue"> |
| − | I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger <span style="color:red">mindre värde</span> än positionen till <span style="color:red">vänster</span>.
| |
| − | </div></big>
| |
| | | | |
| | + | Om heltal läs [[1.1_Om_tal#Exempel_1|<b><span style="color:blue">här.</span></b>]] |
| | | | |
| − | <big>Praktiska slutsatser ur denna regel:</big>
| |
| | | | |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
| |
| | <big> | | <big> |
| − | ::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,1 \, = \, 23\,{\bf{\color{Red},}}\,5178 </math> | + | [[Image: Decimaltal_60a.jpg]] |
| | | | |
| − | ::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,01 \, = \, 2\,{\bf{\color{Red},}}\,35178 </math>
| |
| | | | |
| − | ::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,001 \, = \, 0\,{\bf{\color{Red},}}\,235\,178 </math>
| |
| | | | |
| − | Att multiplicera med <math> \, 0,1 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förminska</span></b> med faktorn <math> \, 10 \, </math> och därmed att flytta decimaltecknet <math> \, 1 \, </math> position till <b><span style="color:red">vänster</span></b>.
| + | Tiondelssiffran <math> \quad\, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har <b><span style="color:red">värdet</span></b> <small><math> \, {\color{Red}{0,1}} \, </math></small>. |
| | | | |
| − | Att multiplicera med <math> \, 0,01 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förminska</span></b> med faktorn <math> \, 100 \, </math> och därmed att flytta decimaltecknet <math> \, 2 \, </math>positioner till <b><span style="color:red">vänster</span></b>.
| + | Hundradelssiffran <math> {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har <b><span style="color:red">värdet</span></b> <small><math> \, {\color{Red}{0,07}} \, </math></small>. |
| | | | |
| − | Att multiplicera med <math> \, 0,001 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förminska</span></b> med faktorn <math> \, 1\,000 \, </math> och därmed att flytta decimaltecknet <math> \, 3 \, </math> positioner till <b><span style="color:red">vänster</span></b>. Osv.
| + | Tusendelssiffran <math> \;\, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har <b><span style="color:red">värdet</span></b> <small><math> \, {\color{Red}{0,008}} \, </math></small>. |
| − | </big></div> <!-- exempel2 --> | + | </big> |
| | | | |
| | + | <math> 235 \, + \, {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} = \boxed{235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}}} </math> |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Kan ett heltal vara decimaltal?</span></b> ==
| |
| | | | |
| − | <big>Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?</big>
| + | == <b><span style="color:#931136">Exempel på viktiga decimaltal</span></b> == |
| − | | + | <br> |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
| + | <div class="ovnE"> |
| − | | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> == | + | |
| − | <big>
| + | |
| − | Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.
| + | |
| − | | + | |
| − | <strong><span style="color:#931136">Svar:</span></strong>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<span style="color:black"><math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.</span>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.
| + | |
| − | | + | |
| − | ::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva<span style="color:black">:</span> <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
| + | |
| − | </big></div> <!-- exempel3 -->
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
| + | |
| − | Detta är bara ett exempel på följande generell egenskap:
| + | |
| − | <div class="border-divblue">
| + | |
| − | Alla heltal är decimaltal, men inte tvärtom.
| + | |
| − | </div> <!-- divblue --> | + | |
| − | | + | |
| − | Praktiskt taget kan man tillfoga till alla heltal ett decimaltecken följt av nollor, så att man ser att heltalet också är decimaltal. Ett annat sätt att uttrycka det är att betrakta talen som mängder:
| + | |
| − | | + | |
| − | Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></strong>]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.
| + | |
| − | | + | |
| − | En praktisk konsekvens av Exempel <b><span style="color:#931136">3</span></b> är följande regel:
| + | |
| − | <div class="border-divblue">
| + | |
| − | Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> följer efter nollorna.
| + | |
| − | </div> <!-- divblue -->
| + | |
| − | </div> <!-- tolv3 -->
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Placering av decimaltal på tallinjen</span></b> ==
| + | |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv4 --> | + | |
| − | Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
| + | |
| − | </div> <!-- tolv4 -->
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
| + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
| + | |
| − | <big>
| + | |
| − | Vilket decimaltal pekar pilen på? <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]
| + | |
| − | | + | |
| − | <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]
| + | |
| − | | + | |
| − | <strong><span style="color:#931136">Förklaring:</span></strong>
| + | |
| − | | + | |
| − | :::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
| + | |
| − | :::* Skalans minsta steg på tallinjen är<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
| + | |
| − | :::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
| + | |
| − | :::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet<span style="color:black">:</span> <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
| + | |
| − | </big></div> <!-- exempel4 -->
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
| + | |
| − | Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
| + | |
| − | </div> <!-- tolv4 -->
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel -->
| + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Viktiga decimaltal</span></b> ==
| + | |
| − | <big>
| + | |
| | <table> | | <table> |
| | <tr> | | <tr> |
| | <td> | | <td> |
| − | :::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>
| + | <math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math> |
| | | | |
| − | :::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>
| + | <math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math> |
| | | | |
| − | :::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
| + | <math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math> |
| | </td> | | </td> |
| | + | <td> <math> \qquad\qquad </math> </td> |
| | <td> | | <td> |
| − | ::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>
| + | <math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math> |
| − | | + | |
| − | ::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
| + | |
| − | </td>
| + | |
| − | <td>
| + | |
| − | ::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
| + | |
| − | </td>
| + | |
| − | <td>
| + | |
| − | ::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>
| + | |
| | | | |
| | + | <math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math> |
| | | | |
| | + | <math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math> |
| | </td> | | </td> |
| | </tr> | | </tr> |
| | </table> | | </table> |
| − | </big> | + | <math> \qquad\quad \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math> |
| − | </div> <!-- exempel --> | + | |
| | | | |
| | + | <math> \qquad\quad \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math> |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
| |
| − | I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper: decimaltal med s.k.
| |
| − | :* <strong><span style="color:red">ändlig decimalutveckling</span></strong>, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math> och alla decimaltal i de två första kolumnerna ovan.
| |
| − | :* <strong><span style="color:red">periodisk decimalutveckling</span></strong>, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den tredje kolumnen.
| |
| − | :* <strong><span style="color:red">icke-periodisk decimalutveckling</span></strong>, t.ex. <math> \, \pi \, = \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den fjärde kolumnen.
| |
| | | | |
| − | De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></strong>]].
| + | == <b><span style="color:#931136">Avrundningsregeln</span></b> == |
| − | | + | <br> |
| − | Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
| + | <div class="border-divblue"> |
| − | </div> <!-- tolv5 -->
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Ändlig decimalutveckling</span></b> == | + | |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv6 --> | + | |
| − | Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|<strong><span style="color:blue">regeln</span></strong>]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | Ändliga decimalutvecklingar kan alltid skrivas om till bråk. Omvänt kan bråk alltid skrivas om till ändliga eller periodiska decimalutvecklingar.
| + | |
| − | | + | |
| − | För att skriva decimaltal till bråk skrivs decimaltalet som ett bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och <strong><span style="color:red">förkortas</span></strong> så långt som möjligt:
| + | |
| − | </div> <!-- tolv6 -->
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel5 --> | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ==
| + | |
| | <big> | | <big> |
| − | <b><span style="color:#931136">a)</span></b> Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform. | + | Om siffran <u>efter</u> avrundningssiffran är: |
| | + | </big> |
| | | | |
| − | Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>
| + | <math> \quad\; 0, \, 1, \, 2, \, 3 \; {\rm eller} \; 4 , \quad </math> avrunda <b><span style="color:red">nedåt</span></b>. |
| | | | |
| − | <b><span style="color:#931136">b)</span></b> Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform. | + | <math> \quad\; 5, \, 6, \, 7, \, 8 \; {\rm eller} \; 9 , \quad </math> avrunda <b><span style="color:red">uppåt</span></b>. |
| | | | |
| − | Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>
| + | Avrundningssiffran är den siffra efter vilken |
| − | </big></div> <!-- exempel5 -->
| + | |
| | | | |
| | + | alla decimaler ska kapas av. |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
| |
| − | Omvänt: För att skriva bråk till decimaltal <strong><span style="color:red">förlängs</span></strong> bråket med målet att åstadkomma en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren. Är detta möjligt kan ändlig decimalutveckling uppnås. Annars är endast periodisk decimalutveckling möjlig som kan åstadkommas med metoder liknande [[1.3_Decimaltal#Exempel_7|<strong><span style="color:blue">Exempel 7</span></strong>]].
| |
| − | </div> <!-- tolv7 -->
| |
| | | | |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel6 -->
| + | == <b><span style="color:#931136">Värdesiffror</span></b> == |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> == | + | <br> |
| − | <big> | + | <div class="border-divblue"> |
| − | <b><span style="color:#931136">a)</span></b> Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal. | + | |
| | | | |
| − | Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math> | + | {|class="wikitable" |
| | + | ! Tal !! Antal <b><span style="color:red">värdesiffror</span></b> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \qquad 3,14 \quad </math> || align="center"|<b>Tre</b> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \qquad 0,05 \quad </math> || align="center"|<b>En</b> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \qquad 0,072 \quad </math> || align="center"|<b>Två</b> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \qquad 0,40300 \quad </math> || align="center"|<b>Fem</b> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \qquad 1,006 \, </math> || align="center"|<b>Fyra</b> |
| | + | |} |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | <b><span style="color:#931136">b)</span></b> Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.
| |
| | | | |
| − | Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
| + | == <b><span style="color:#931136">Från decimaltal till bråk</span></b> == |
| − | </big></div> <!-- exempel6 --> | + | <br> |
| | + | <div class="ovnC"> |
| | + | <big>Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.</big> |
| | | | |
| | + | <b>Lösning:</b> |
| | | | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Periodisk decimalutveckling</span></b> ==
| + | <math> 0,75 \, = \, \displaystyle {75 \over 100} \, = \, {15 \cdot \cancel{\color{Red} 5} \over 20 \cdot \cancel{\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = </math> |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
| + | |
| − | Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för <strong><span style="color:red">period</span></strong>. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.
| + | |
| | | | |
| − | Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning:
| + | <math> \qquad\; = \; \displaystyle {3 \cdot \cancel{\color{Red} 5} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} 5}} \; = \; {3 \over 4} </math> |
| − | </div> <!-- tolv6 -->
| + | |
| | | | |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel7 -->
| + | <b>Metoden: |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 7</span></b> ==
| + | |
| − | <big>
| + | |
| − | <b><span style="color:#931136">a)</span></b> Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.
| + | |
| | | | |
| − | <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math> | + | 1.</b> Skriv som bråk med <math> 10</math>-potens i nämnaren. |
| | | | |
| − | <span style="color:#F2F2F2">Lösning:</span> <math> \quad\;\;\, \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>
| + | <b>2. <span style="color:red">Förkorta</span></b> bråket så långt som möjligt. |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | ::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>
| |
| | | | |
| − | :::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math> | + | == <b><span style="color:#931136">Från bråk till decimaltal</span></b> == |
| | + | <br> |
| | + | <div class="ovnC"> |
| | + | <big>Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> som decimaltal.</big> |
| | | | |
| − | :::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>
| + | <b>Lösning:</b> |
| | | | |
| − | <b><span style="color:#931136">b)</span></b> Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal. | + | <math> \displaystyle {3 \over 4} \; = \; {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {15 \over 20} \; = \; {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \displaystyle {75 \over 100} \; = </math> |
| | | | |
| − | <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>
| + | <math> \quad\; = \; 0,75 </math> |
| | | | |
| − | Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:
| + | <b>Metoden: |
| | | | |
| − | :::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math> | + | 1. <span style="color:red">Förläng</span></b> bråket tills nämnaren blir en <math> 10</math>- |
| | | | |
| − | Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här. | + | potens. |
| − | </big></div> <!-- exempel7 -->
| + | |
| | | | |
| | + | <b>2.</b> Skriv resultatet från <b>1</b> till decimaltal. |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Icke-periodisk decimalutveckling</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
| |
| − | Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period), t.ex.:
| |
| | | | |
| − | :::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math> | + | == <b><span style="color:#931136">Periodisk decimalutveckling</span></b> == |
| | + | <br> |
| | + | <div class="ovnA"> |
| | + | <big>Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.</big> |
| | | | |
| − | Detta decimaltal är en icke-periodisk decimalutveckling, för det har inte bara oändligt många decimaler. Det har framför allt inga grupper av siffror som upprepas, dvs det har ingen period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.
| + | <b>Lösning:</b> |
| | | | |
| − | Därmed är <math> \sqrt{2} \, </math> inget rationellt utan ett irrationellt tal, se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></strong>]]. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal.
| + | <math> 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \quad {\rm (I)} </math> |
| | | | |
| − | Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<strong><span style="color:blue"><big><math> \, \pi </math></big></span></strong>]]. Det finns oändligt många irrationella tal. Inget sådant kan skrivas i bråkform.
| + | <math> \underline{\;1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \quad {\rm (II)} </math> |
| | | | |
| − | Det enda sättet att praktiskt hantera dem är att avrunda dem. Hur man gör det och lite mer visas i underavsnittet [[1.3.1_Avrundning_och_värdesiffror|<strong><span style="color:blue">Avrundning och värdesiffror</span></strong>]].
| + | Vi bildar <math> \; {\rm (I)-(II)} </math><span style="color:black">:</span> |
| − | </div> <!-- tolv7 -->
| + | |
| | | | |
| | + | <math> (10-1) \cdot 0,333\,\ldots = \; 3 </math> |
| | | | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
| + | <math> \quad\;\;\; 9 \quad\, \cdot \, 0,333\ldots = \; 3 </math> |
| | | | |
| − | https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html
| + | <math> \qquad\; 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math> |
| | | | |
| − | http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M
| + | <math> \qquad\; 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math> |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3
| |
| | | | |
| − | https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM
| + | <div class="border-divblue"> |
| | | | |
| | + | {|class="wikitable" |
| | + | ! Tal !! <b><span style="color:red">Perioden</span></b> !! Skrivsätt |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \;\; 0,333\,333\,\ldots </math> || align="center"|<b>3</b> || align="center"|<math> 0,\bar{3} </math> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \;\; 0,666\,666\,\ldots </math> || align="center"|<b>6</b> || align="center"|<math> 0,\bar{6} </math> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \;\; 0,18181818\,\ldots </math> || align="center"|<b>18</b> || align="center"|<math> 0,\overline{18} </math> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \;\; 1,16666666\,\ldots </math> || align="center"|<b>6</b> || align="center"|<math> 1,1\bar{6} </math> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \;\; 0,09090909\,\ldots </math> || align="center"|<b>09</b> || align="center"|<math> 0,\overline{09} </math> |
| | + | |- |
| | + | |align="left"|<math> \;\; 0,045454545\,\ldots </math> || align="center"|<b>45</b> || align="center"|<math> 0,0\overline{45} </math> |
| | + | |} |
| | + | </div> |
| | | | |
| | | | |
| Rad 303: |
Rad 185: |
| | | | |
| | | | |
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
