Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 9d"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (En mellanliggande version av samma användare visas inte) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
<math> h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, </math> | <math> h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, </math> | ||
| + | |||
<math> \, = \, \displaystyle {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = </math> | <math> \, = \, \displaystyle {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = </math> | ||
| − | <math> = \, 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} </math> | + | <math> \, = \, \displaystyle{2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} </math> |
Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; </math> och höjden <math> \; \displaystyle h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \; </math>. | Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; </math> och höjden <math> \; \displaystyle h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \; </math>. | ||
Därmed är det också bevisat att <math> \; \displaystyle r \, = \, 2 \cdot h \, </math>. | Därmed är det också bevisat att <math> \; \displaystyle r \, = \, 2 \cdot h \, </math>. | ||
Nuvarande version från 3 juli 2015 kl. 20.46
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \) i bivillkoret från a):
\( h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, \)
\( \, = \, \displaystyle {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \)
\( \, = \, \displaystyle{2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \)
Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; \) och höjden \( \; \displaystyle h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \; \).
Därmed är det också bevisat att \( \; \displaystyle r \, = \, 2 \cdot h \, \).
