Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 11.15

<< Repetitioner

Genomgång

Övningar

1:a avsnitt: Polynom >>

Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Polynom. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.

Repetition om potenser

Exempel på potens:

\[ 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8\]

Potens = upprepad multiplikation

av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

OBS! Förväxla inte begreppen: \( \, 2\,^3 \, \) är själva potensen, medan \( \, {\color{Red} 3} \, \) är exponenten och \( \, {\color{green} 2}\, \) förstås basen.

Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:

\( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).

Exempel

Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)

Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

För att förstå den snabbare lösningen se Potenslagarna.

Generellt:

Potenser med positiva exponenter

Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:

Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:

\( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)

Potenslagarna

Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)

Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)

Dessa lagar gäller för potenser där baserna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal.

Exempel på första potenslagen

Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)

Lösning:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)

Snabbare:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)

Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.

Exempel på andra potenslagen

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)

Snabbare:

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)

Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten \( \, 0 \, \):

Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller \( \, 0 \, \). Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.

Potenser med negativa exponenter

Potens med negativ exponent:

\( \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \)

Invertera potensen med positiv exponent.

Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \; \).

Andra exempel:

\[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]

\[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]

\[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]

Generellt:

Påstående:

Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)

Bevis:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.

Potenser med exponenten \( \, 0 \, \)

Exempel:

\( \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad \)

Generellt:

Påstående:

Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)

I båda föregående påståenden ska alltid gälla: \( \quad x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \quad \).

Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:

Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.

Nollte potensen bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som \( \, 0 \, \) är övergången mellan positiva och negativa tal:

Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]

\[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]

\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]

\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.

Potenser med rationella exponenter

Potenser med rationella exponenter (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.

Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:

Påstående:

Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

Bevis:

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur \( \, a \):

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; \) Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).

Av raderna ovan följer:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

I följande ska alltid gälla: \( \quad m, n \, \) heltal och \( \, n \, \neq 0 \quad \).

Påstående:

Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)

Bevisidé:

Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur \( \, a \):

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).

Av raderna ovan följer:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:

Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.

Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).

Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.

Potensekvationer löses genom rotdragning.

Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.

För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt med potens med rationell exponent:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad & | \; \text{3:e potenslagen på VL} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som potenser med rationella exponenter.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar

Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 11.15

Repetition om potenser

Exempel

Potenser med positiva exponenter

Potenslagarna

Exempel på första potenslagen

Exempel på andra potenslagen

Potenser med negativa exponenter

Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)

Potenser med exponenten \( \, 0 \, \)

Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)

Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

Potenser med rationella exponenter

Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)

Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Potensekvationer

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 1b

Matematik 3c

Sök

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|<-- Till Polynom]]}}
+{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
 {{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
+{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
-<!-- [[Media: Lektion 9 Potenslagarna.pdf|Lektion 9 Potenser]] -->
-__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
-== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
-<div class="exempel">
-[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
-:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
-:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
+<big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big>
-</div>  <!-- exempel -->
+== <b><span style="color:#931136">Repetition om potenser</span></b> ==
+<table>
+<tr>
+  <td>[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
+  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="border-divblue">
+<big>Exempel på potens:
-<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8</math>
-Det vanliga felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med att ta upphöjt till.
-Hjärnan associerar <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> till multiplikationstabellen och väljer blind <math> \, 6 \, </math>. I själva verket är <math> \, 2\,^3 \, </math> ingen [[1.1_Om_tal#Summa_.5C.28-.5C.29_Differens_.5C.28-.5C.29_Produkt_.5C.28-.5C.29_Kvot|<strong><span style="color:blue">produkt</span></strong>]] utan en potens.
+<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b>
-</div> <!-- tolv1 -->
+av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
+</big></div></td>
+</tr>
+</table>
-== <b><span style="color:#931136">Potensbegreppet</span></b> ==
-<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
-Ett uttryck av formen <math> \, a\,^x \, </math> läses <math> \, {\color{Red} a} </math> <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong><math> \, {\color{Red} x} \, </math> och kallas för &nbsp;<strong><span style="color:red">potens</span></strong>. <math> \, a\, </math> heter <strong><span style="color:red">basen</span></strong> och <math> \, x \, </math> <strong><span style="color:red">exponenten</span></strong>.
+<big>
+<b><span style="color:red">OBS!</span></b>&nbsp;&nbsp; Förväxla inte begreppen<span style="color:black">:</span> <math> \, 2\,^3 \, </math> är själva potensen, medan <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är <b><span style="color:red">exponenten</span></b> och  <math> \, {\color{green} 2}\, </math> förstås <b><span style="color:green">basen</span></b>.
-Om exponenten <math> \, {\color{Red} x} \, </math> är ett positivt heltal och basen <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> \, a^{\color{Red} x} \, </math> definieras som:
+Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att<span style="color:black">:</span>
+<math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.2_R%C3%A4kneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F <b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]).
+</big>
-::::<big><math> a^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} </math></big>
+<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
+=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
+<big>
+Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
-Så <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \, </math> kan uppfattas som en förkortning för upprepad multiplikation av <math> 2\, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger (jfr. [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<strong><span style="color:blue">upprepad addition</span></strong>]]).
-</div> <!-- tolv1 -->
+<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
-<div class="exempel12"> <!-- exempel12 -->
+:::::::::::::::::OBS! &nbsp; Förenkla alltid först, räkna sedan!
-==== <span style="color:#931136">Exempel:</span> ====
-::::<big><math> a^2 = a \cdot a </math></big>
+Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
-::::<big><math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math></big>
+För att förstå den snabbare lösningen se [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]].
+</big>
+</div>  <!-- exempel1 -->
-Om vi nu multiplicerar dessa två potenser med varandra och använder potensens definition, får vi:
-::::<big><math> a^2 \cdot a^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a^{\color{Red} 5}</math></big>
+<big>Generellt:</big>
-Vi kan sammanfatta till:
+== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> ==
-::::<big><math> a^2 \cdot a^3 \; = \; a^{2+3} = \; a^5</math></big>
+<div class="ovnE">
-</div> <!-- exempel12 -->
+Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> med <b><span style="color:red">positiv</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
+:::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
-<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+:::::<big><math> \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
-Detta är ett exempel på en allmän lag, den första potenslagen. Det finns flera sådana:
+</div>
-</div> <!-- tolv2 -->
 == <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
-<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
-Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">rationella tal</span></strong>]] (bråktal) och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>):
-</div> <!-- tolv3 -->
+<div class="border-divblue">
-<div class="border-div2"><big>
 <b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
 ----
-<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
+<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
 ----
 <b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
 ----
-<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
+<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
+----
+<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 ----
-<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
+<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
 ----
-<b><span style="color:#931136">Lagen om rationell exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \qquad\qquad </math></big>
+<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
+</div>
-<b><span style="color:#931136">Specialfall <small><math>m=1</math></small> (<math>n</math>-te roten):</span></b> <big><math> \qquad\qquad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \qquad\qquad </math></big>
-</big></div> <!-- border-div2 -->
+<big>
+Dessa lagar gäller för potenser där baserna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal.
+</big>
-<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
-För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter <math> \, x \, </math> och <math> \, y </math>. Men potenslagarna gäller även för negativa och rationella exponenter som behandlas längre fram. I Lagen om negativ exponent antas <math> \, x > 0 </math>.
-</div> <!-- tolv3a -->
+<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
+=== <b><span style="color:#931136">Exempel på första potenslagen</span></b> ===
+<big>
+Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
-== <b><span style="color:#931136">Bevis(idéer) av några potenslagar</span></b> ==
-<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
-'''Påstående (Första potenslagen)''':
+<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b>
-::::<big><math> a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} </math></big>
+::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
-'''Bevisidé''':
+Snabbare:
-Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} </math></big>
+</big>
+</div> <!-- exempel2 -->
-::::<big><math> a^{\color{Red} x} \cdot a^{\color{Red} y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} y}\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x+y}}\;\times} \; = \; a^{{\color{Red} {x+y}}} </math></big>
-----
+<big>
+Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
+</big>
-'''Påstående (Andra potenslagen)''':
+<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
+=== <b><span style="color:#931136">Exempel på andra potenslagen</span></b> ===
+<big>
-::::<big><math> \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} </math></big>
+::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
-'''Bevisidé''':
+Snabbare:
-Potensens definition ger:
+::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
+</big>
+</div> <!-- exempel3 -->
-::::<big><math> \displaystyle {a^{\color{Red} x} \over a^{\color{Red} y}} \; = \; \displaystyle {\overbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}^{{\color{Red} x}\;\times} \; \over \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} y}\;\times}} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x-y}}\;\times} \; = \; a^{{\color{Red} {x-y}}} </math></big>
-Det sista bråket har förkortats så mycket som möjligt.
+<big>
-</div> <!-- tolv1 -->
+Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten <math> \, 0 \, </math>:
+Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller <math> \, 0 \, </math>. Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.
+</big>
-<div class="exempel12"> <!-- exempel12 -->
-==== <span style="color:#931136">Exempel:</span> ====
+== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+<div class="exempel">
+[[Image: Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg]]
+</div>
-::::<big><math> \displaystyle {a\,^5 \over a\,^3} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
-Det sista bråket har förkortats med <math> \, a \cdot a \cdot a </math>. Vi kan sammanfatta till:
+<table>
+<tr>
+  <td><div class="ovnC">
+<big>Potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>
-::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5-3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
+<math> \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math>
-</div> <!-- exempel12 -->
+<b><span style="color:red">Invertera</span></b> potensen med positiv exponent.
-<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+----
-'''Påstående (Lagen om nollte potens)''':
-::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} \; </math>.
+</big></div>
+</td>
+  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="ovnE">
+<big>Andra exempel<span style="color:black">:</span></big>
+::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
+::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
+::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
+</div>
+</td>
+</tr>
+</table>
+<big>Generellt:</big>
+<div class="ovnC">
+'''Påstående''':
+<div class="border-divblue">
+===== <b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent</span></b> <math> \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} </math> =====
+</div> <!-- border-divblue -->
 '''Bevis''':
-Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
+::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
-::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
+In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 = a^0 \; </math>.
-Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
+In den andra likheten har vi använt andra potenslagen<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; </math>.
-::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
+Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
+</div>
-Av raderna ovan följer påståendet:
-::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+== <b><span style="color:#931136">Potenser med exponenten <math> \, 0 \, </math></span></b> ==
-</div> <!-- tolv4 -->
+<big>Exempel:</big>
-== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+<div class="ovnE">
-<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
+<big><math> \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad </math>
+</big></div>
-'''Påstående (Lagen om negativ exponent)''':
-::::<big><math> a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} </math></big>
+<big>Generellt:</big>
+<div class="ovnC">
+'''Påstående''':
+<div class="border-divblue">
+===== <b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens</span></b> <math> \quad a^0 \; = \; 1 \; </math> =====
+</div> <!-- border-divblue -->
 '''Bevis''':
-Påståendet kan bevisas genom att använda den ovan bevisade lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:
+Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
-::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
+::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
-Vi får påståendet, fast baklänges.
+Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
-</div> <!-- tolv4a -->
+::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
-<div class="exempel12"> <!-- exempel2 -->
+Av raderna ovan följer påståendet:
-==== <span style="color:#931136">Exempel på potenser med negativa exponenter</span> ====
-::::<math> \;\; a^{-1} = {1 \over a^1} = {1 \over a} </math>
+::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+</div>
-::::<math> \;\; a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math>
-::::<math> \;\; a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math>
+<big>I båda föregående påståenden ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 \quad </math>.
-</div> <!-- exempel2 -->
-<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:
-Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:
-</div> <!-- tolv5 -->
+Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.
-<div class="exempel12"> <!-- exempel3 -->
+<b><span style="color:red">Nollte potensen</span></b> bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som <math> \, 0 \, </math> är övergången mellan positiva och negativa tal:
-==== <span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span> ====
+</big>
-::::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
-::::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
+== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
-::::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
+<div class="ovnE">
+::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
-::::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
+::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
-::::<math> \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} </math>
+::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
-::::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
+::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
-::::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
+::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} </math>
-::::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
+::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
-::::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
+::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
-Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
-</div> <!-- exempel3 -->
+::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
-<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">multiplikationens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>.
-Jämför med:
-</div> <!-- tolv5 -->
+Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+</div>
-<div class="exempel12"> <!-- exempel3 -->
-==== <span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span> ====
-::::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
+== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
+<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+Potenser med [[1.1_Talbegreppet#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">rationella</span></b>]] exponenter (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
-::::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
+Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
-::::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
+'''Påstående''':
-::::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
+<div class="border-divblue">
+===== <b><span style="color:#931136">Lagen om kvadratroten</span></b> <math> \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math> =====
+</div> <!-- border-divblue -->
-::::<math> \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} </math>
+'''Bevis''':
-::::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
+Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 2} </math></big> två gånger med sig själv och använder första potenslagen:
-::::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
+:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
-::::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
+Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
-::::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
+<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; </math></big> Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
-Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att additionens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
-</div> <!-- exempel3 -->
+:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math></big>
-== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
-<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
-Potenser med rationella exponenter är bara ett annat sätt att skriva (högre) rötter.
+I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>.
-'''Påstående (<math> n</math>-te roten)''':
+'''Påstående''':
-:::<big><math> a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; </math></big> <math> , \qquad n\neq 0 </math>
+<div class="border-divblue">
+===== <b><span style="color:#931136">Lagen om högre rötter</span></b> <math> \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} </math> =====
+</div> <!-- border-divblue -->
 '''Bevisidé''':
-Vi tar specialfallet <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+Vi visar påståendet för specialfallet <math> \, n=3 </math>:
+Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:
 :::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
-Definitionen för 3:e roten ur <math> a </math> är<span style="color:black">:</span>
+Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
-<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> a </math>.
+<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
-Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger <math> a </math>, just <math> a </math> <big><math>^{1 \over 3} </math></big>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur <math> a </math>:
+Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
 :::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>
-Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>:
+Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
+<div class="border-divblue">
+===== <b><span style="color:#931136">Lagen om rationell exponent</span></b> <math> \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math> =====
+</div> <!-- border-divblue -->
-'''Påstående (Rationell exponent)''':
+Tabellen över [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
-:::<big><math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math></big>
 </div> <!-- tolv6 -->
@@ Rad 279: / Rad 330: @@
 Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
-::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas <strong><span style="color:red">potensfunktioner</span></strong>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.
+::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas för <b><span style="color:red">potensfunktioner</span></b>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.
-::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas <strong><span style="color:red">potensekvationer</span></strong>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.
+::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas för <b><span style="color:red">potensekvationer</span></b>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.
-I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i basen. Potensekvationer löses genom <strong><span style="color:red">rotdragning</span></strong>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i <b><span style="color:red">basen</span></b>.
+<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom <b><span style="color:red">rotdragning</span></b>.</div>
+Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
+För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
 :::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
@@ Rad 290: / Rad 347: @@
                     \end{align}</math>
-Alternativt (med rationell exponent):
+Alternativt med potens med rationell exponent:
 :::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
-                    (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
+                    (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}  \qquad  & | \; \text{3:e potenslagen på VL}  \\
                 x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
                                    x  & = 2                              \\
                     \end{align}</math>
-Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<strong><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></strong>]].
+De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<b><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></b>]].
 </div> <!-- tolv7 -->
@@ Rad 319: / Rad 378: @@
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.