Skillnad mellan versioner av "1.2 Räkneordning"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(49 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Om tal|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Om tal| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[1.2 Räkneordning|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[1.2 Räkneordning|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Räkneordning|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Räkneordning|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Diagnosprov i Matte 1c kap 1 Aritmetik|Diagnosprov kap 1]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Decimaltal|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 2 Rakneordning Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 2 Räkneordning</span></b>]] -->
  
−
[[Media: Lektion 2 Rakneordning Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 2 Räkneordning</span></strong>]]
 
−
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
 
 
== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
−
<div class="exempel">
+
<div class="ovnE">
 
[[Image: Hur raknar du 20a.jpg]]
 
[[Image: Hur raknar du 20a.jpg]]
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 </math>
 
  
−
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>
+
<b><span style="color:red">Vanligt fel:</span></b> <math> \quad\;\;\, 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 </math>
 +
 
 +
<b>Rätt<span style="color:black">:</span></b> <math> \qquad\qquad 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>
  
 
</div>  <!-- exempel -->
 
</div>  <!-- exempel -->
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
−
Men varför är <math> \, 21 \, </math> rätt och <math> \, 45 \, </math> fel?  
+
Men varför är <math> \, 21 \, </math> rätt och <math> \, 45 \, </math> fel? Pga följande regel som är en överenskommelse mellan matematiker i hela världen:
−
 
+
</div> <!-- tolv1 -->
−
Om du lärt dig räkneordning vet du att räkneordningen inte alltid följer skrivordningen utan snarare följande regel:
+
−
 
+
  
 
<div class="border-divblue"><b>Multiplikation går före addition.</b></div>
 
<div class="border-divblue"><b>Multiplikation går före addition.</b></div>
  
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1a -->
 +
Denna regel används när båda räkneoperationerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade.
  
−
Denna regel används när båda räkneoperationerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade. Man säger: Operationen <math> \, \cdot\;</math> har högre prioritet än operationen <math> \, + \, </math> dvs <math> \, \cdot\;</math> måste alltid räknas före <math> \, + \, </math> varför <math> \, 3 \, </math> gånger <math> \, 5 \, </math> måste räknas först och <math> \, 6 \, + \, 15 \, </math> sedan.  
+
Operationen <math> \, \cdot\;</math> har högre prioritet än operationen <math> \, + \, </math> dvs <math> \, \cdot\;</math> måste alltid räknas före <math> \, + \, </math> varför <math> \, 3 \, </math> gånger <math> \, 5 \, </math> måste räknas först och <math> \, 6 \, + \, 15 \, </math> sedan.  
  
 
Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.
 
Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.
Rad 39: Rad 40:
 
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
  
−
<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, </math> kan uppfattas som:
+
<b>Ex.:</b> <math> \qquad\qquad 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>
  
−
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>
+
<b>Varför?</b> <math> \qquad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, </math> kan uppfattas som<span style="color:black">:</span> <math> \qquad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>
  
−
I själva verket är <math> \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; </math> en förkortning för <strong><span style="color:red">upprepad addition</span></strong> av <math> \, 5 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
+
När vi sedan lägger till <math> \, 6 \, + \, </math> i början och ersätter <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math> med <math> \, 5 \, + \, 5 \, + \, 5 \, </math> ser vi att <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> inte längre finns med i räkneprocessen<span style="color:black">:</span>
−
 
+
−
När vi sedan fortsätter genom att lägga till <math> \, 6 \, + \, </math> ser vi att <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> inte längre finns med i räkneprocessen, om vi skriver ut förkortningen <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>:
+
  
 
:::<math> 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>
 
:::<math> 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>
  
−
Här kan man inte längre räkna fel, för <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen utan endast en information om att <math> \, 5 \, </math> ska adderas <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv.
+
Därför är det fel att addera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>.  
  
−
Därför det är fel att addera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>.  
+
<math>{\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; </math> kan uppfattas som en förkortning för <b><span style="color:red">upprepad addition</span></b> av <math> \, 5 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
  
−
Vi förstår prioritetsregeln <math> \; \cdot \; </math> går före <math> \; + \; </math> genom att se multiplikationen som vad den egentligen är, nämligen en upprepad addition i förkortad form.
+
<math> {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att <math> \, 5 \, </math> ska adderas <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv.
  
−
På köpet får man insikten om att multiplikation inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition <math>-</math> en tanke som kan vidareföras:
+
Vi förstår prioritetsregeln <math> \; \cdot \; </math> går före <math> \; + \; </math> bättre genom att tolka multiplikationen som en upprepad addition.
  
−
Samma sak är det nämligen med <strong><span style="color:red">division</span></strong>. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast <strong><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></strong>. När vi t.ex. räknar <math> 30 \, / \, 5 \, </math> görs i själva verket följande:
+
Tanken kan vidareföras: Även <b><span style="color:red">division</span></b> kan tolkas som <b><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></b>. När vi t.ex. räknar <math> 30 \, / \, 5 \, </math> kan vi skriva så här<span style="color:black">:</span>
  
 
:::::<math> 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
 
:::::<math> 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
  
−
Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå [[Teoretisk_förklaring|<strong><span style="color:blue">varför man inte får dividera med 0</span></strong>]].
+
Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå [[Varför_är_division_med_0_inte_definierad%3F#Teoretisk_f.C3.B6rklaring|<b><span style="color:blue">varför man inte får dividera med 0</span></b>]].
 
</div> <!-- tolv2 -->
 
</div> <!-- tolv2 -->
  
Rad 69: Rad 68:
  
  
−
<div class="border-div2">[[Image: De 4 raknesattens prioritetsregler 20.jpg]]</div>
+
<div class="border-divblue">[[Image: De 4 raknesattens prioritetsregler 20.jpg]]</div>
  
  
Rad 87: Rad 86:
 
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 </math>
 
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 </math>
  
−
Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna <math> \, 12 \, - \, 2 \, </math>. Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:
+
Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna <math> \, 12 \, - \, 2 \, </math>. Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12</math>
 
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12</math>
  
−
Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Beakta uppgiftens redovisning som en <strong><span style="color:red">kedja av likheter</span></strong> för att visa alla mellansteg. Likhetstecknets korrekta användning innebär att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet <math> \, 12 \, </math> upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med <math> \, 12 \, </math> förrän i det allra sista steget.
+
Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Beakta uppgiftens redovisning som en <b><span style="color:red">kedja av likheter</span></b> för att visa alla mellansteg. Likhetstecknets korrekta användning innebär att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet <math> \, 12 \, </math> upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med <math> \, 12 \, </math> förrän i det allra sista steget.
 
<!-- Genom skicklig användning av räkneordning kan man minimera räknearbetet. -->
 
<!-- Genom skicklig användning av räkneordning kan man minimera räknearbetet. -->
 
</div>
 
</div>
Rad 99: Rad 98:
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
  
−
Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:
+
Här har vi ett lite större uttryck med parenteser<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4</math>
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4</math>
  
−
Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande:  
+
Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
  
−
Men även följande lösning är helt korrekt:
+
Men även följande lösning är helt korrekt<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
Rad 120: Rad 119:
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
  
−
'''Problem:''' Beräkna utan miniräknare:  
+
'''Problem:''' Beräkna utan miniräknare<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math>
 
:::<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math>
Rad 135: Rad 134:
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
  
−
'''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:  
+
'''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math>
 
:::<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math>
Rad 141: Rad 140:
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
:::<math> \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 =  </math>
+
:::<math> \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 \, = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 =  </math>
  
−
:::<math> = 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 </math>
+
:::<math> = \, 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 </math>
  
 
Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med <math> \, 2 \, </math> genomförd.
 
Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med <math> \, 2 \, </math> genomförd.
Rad 149: Rad 148:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Parenteser och osynliga multiplikationstecken</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Osynliga parenteser</span></b> ==
−
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
+
<div class="ovnE">
−
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången.
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
−
Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få <math> \, 45 \, </math>:
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad\quad </math></td>
 +
  <td><math> \displaystyle{2+6 \over 3+1} </math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<b><span style="color:red">Vanligt fel med digitalt verktyg:</span></b> <math> \quad 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \,  5 </math>
  
−
::::<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math>
+
Rätt med digitalt verktyg<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \color{Red}(2 + 6\color{Red}) / \color{Red}(3 + 1\color{Red}) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>
  
−
Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger <math> \, 5 \, </math> så att man får <math> \, 45 \, </math>. Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här:
+
Rätt med papper & penna<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle \qquad\quad\ {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 </math>
 +
</div>
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
Det finns två symboler för division som gör samma sak: Divisionstecknet som t.ex. i <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> och bråkstrecket som i <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math>.
  
−
::::<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math>
+
Skillnaden är att <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> är en <b><span style="color:red">operation</span></b>, nämligen att dividera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> är ett <b><span style="color:red">tal</span></b> i bråkform. Båda ger <math> \, 2 </math>, operationens resultat och bråket förkortat.
  
−
Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.
+
Förklaringen för felet i exemplet ovan är "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare <math> \, 6+2 \, </math> och nämnare <math> \, 3+1 \, </math> i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. I det rätta svaret på papper (ovan) har vi synliggjort de "osynliga" parenteserna.
  
−
Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här:
+
Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> och nämnaren <math>3+1</math>, men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är ''hela'' <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> som ska delas med ''hela'' <math> \, 3 \, + \, 1</math>.
  
−
::::<math>(6+3)\;5</math>
+
Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska<span style="color:black">:</span>
  
−
Detta ger samma värde <math> \, 9 \, </math> gånger <math> \, 5 \, = \, 45 \, </math> som ovan.
+
::::<math> {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>  
  
−
Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecknet, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket <math> \, (6+3)\;5 \, </math> är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas.
+
I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Annars blir det ett annat uttryck och ett annat resultat<span style="color:black">:</span>
−
</div> <!-- tolv4 -->
+
  
 +
::::<math>2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1  \, = \, 5 </math>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Bråkstreck inkluderar parentes</span></b> ==
+
Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
−
Det finns två symboler för division: Själva divisionstecknet som t.ex. i <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> och bråkstrecket som i <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> vars resultat är det samma, nämligen <math> \, 2 \, </math>. Skillnaden är att <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> är en operation, nämligen att dividera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> är ett tal, närmare bestämt ett tal i bråkform. Detta var ett enkelt exempel. Men hur blir det när flera operationer blir inblandade i ett uttryck som involverar bråkstrecket?
+
  
−
<div class="exempel">
+
'''Slutsats:'''
−
===== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> =====
+
</div> <!-- tolv5 -->
 +
<div class="border-divblue"><b>Bråkstreck inkluderar parentes.</b></div>
  
−
::::<math> 2+6 \over 3+1 </math>
 
  
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \,  5 </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Parenteser och osynliga multiplikationstecken</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången.
  
−
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! (2 + 6) / (3 + 1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>
+
Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få <math> \, 45 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
Speciellt vanligt är detta fel när man direkt matar in <math> \, 2 + 6 / 3 + 1 \, </math> i kalkylatorn och får det felaktiga resultatet <math> \,  5 \, </math> i displayen.
+
::::<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math>
−
</div> <!-- exempel -->
+
  
−
Förklaringen är igen vissa "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare <math> \, 6+2 \, </math> och nämnare <math> \, 3+1 \, </math> i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. Synliggör man dessa "osynliga" parenteser i uttrycket ovan ser det ut så här:
+
Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger <math> \, 5 \, </math> så att man får <math> \, 45 \, </math>. Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här<span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math> {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 </math>  
+
::::<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math>
  
−
Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> och nämnaren <math>3+1</math>, men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är ''hela'' <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> som ska delas med ''hela'' <math>3+1</math>.
+
Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.
  
−
Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska:
+
Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här<span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math> {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>  
+
::::<math>(6+3)\;5</math>
  
−
I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Det blir nämligen ett helt annat uttryck och därmed ett helt annat resultat om man gör det:
+
Detta ger samma värde <math> \, 9 \, </math> gånger <math> \, 5 \, = \, 45 \, </math> som ovan.
  
−
::::<math>2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1  \, = \, 5 </math>
+
Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecknet, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket <math> \, (6+3)\;5 \, </math> är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas.  
−
 
+
</div> <!-- tolv4 -->
−
Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".
+
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
  
  
 
== <b><span style="color:#931136">Sammanfattning</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Sammanfattning</span></b> ==
−
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+
<div class="border-divblue">
 
När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:
 
När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:
  
Rad 216: Rad 222:
  
 
3. Sist additioner och subtraktioner.
 
3. Sist additioner och subtraktioner.
−
</div> <!-- tolv6 -->
+
</div>
  
  
 
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 +
https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html
  
 
https://www.youtube.com/watch?v=lFxztfJ2bq4
 
https://www.youtube.com/watch?v=lFxztfJ2bq4
Rad 237: Rad 245:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 4 januari 2021 kl. 09.55

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Hur räknar du?

Hur raknar du 20a.jpg

Vanligt fel: \( \quad\;\;\, 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 \)

Rätt: \( \qquad\qquad 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \)

Men varför är \( \, 21 \, \) rätt och \( \, 45 \, \) fel? Pga följande regel som är en överenskommelse mellan matematiker i hela världen:

Multiplikation går före addition.

Denna regel används när båda räkneoperationerna \( \, + \, \) och \( \, \cdot\;\) är inblandade.

Operationen \( \, \cdot\;\) har högre prioritet än operationen \( \, + \, \) dvs \( \, \cdot\;\) måste alltid räknas före \( \, + \, \) varför \( \, 3 \, \) gånger \( \, 5 \, \) måste räknas först och \( \, 6 \, + \, 15 \, \) sedan.

Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.


Varför går multiplikation före addition?

Ex.: \( \qquad\qquad 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \)

Varför? \( \qquad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, \) kan uppfattas som: \( \qquad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \)

När vi sedan lägger till \( \, 6 \, + \, \) i början och ersätter \( \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, \) med \( \, 5 \, + \, 5 \, + \, 5 \, \) ser vi att \( \, {\color{Red} 3} \, \) inte längre finns med i räkneprocessen:

\[ 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \]

Därför är det fel att addera \( \, 6 \, \) med \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, \).

\({\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; \) kan uppfattas som en förkortning för upprepad addition av \( \, 5 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

\( {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att \( \, 5 \, \) ska adderas \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv.

Vi förstår prioritetsregeln \( \; \cdot \; \) går före \( \; + \; \) bättre genom att tolka multiplikationen som en upprepad addition.

Tanken kan vidareföras: Även division kan tolkas som upprepad subtraktion. När vi t.ex. räknar \( 30 \, / \, 5 \, \) kan vi skriva så här:

\[ 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]

Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå varför man inte får dividera med 0.


De fyra räknesättens prioritetsregler


De 4 raknesattens prioritetsregler 20.jpg


Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion.

Addition har samma prioritet som subtraktion.

Multiplikation har samma prioritet som division.


Exempel 1

Vad ger följande uttryck?

\[ 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \]

Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna \( \, 12 \, - \, 2 \, \). Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna \( \, + \, \) och \( \, \cdot\;\) är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:

\[ 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12\]

Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Beakta uppgiftens redovisning som en kedja av likheter för att visa alla mellansteg. Likhetstecknets korrekta användning innebär att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet \( \, 12 \, \) upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med \( \, 12 \, \) förrän i det allra sista steget.


Exempel 2

Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:

\[(50+14)-8\cdot3+4\]

Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande:

\[(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]

Men även följande lösning är helt korrekt:

\[(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]

Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än \( \, + \, \) så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas \( \, 8 \, \) gånger \( \, 3 \, \) först och dras av sedan från \( \, 64 \, \). Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna \(64-8\) utan tar först \( \, 8 \, \) gånger \( \, 3 \, \).

Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp parenteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.


Exempel 3

Problem: Beräkna utan miniräknare:

\[24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4\]

Lösning:

\[24\,-\,(8-4)\,-\,36/6\,+\,5\,\cdot\,4\;=\;24\,-\,4\,-\,6\,+\,20\;=\;20\,-\,6\,+\,20\;=\;14\,+\,20\;=\;34\]

Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.


Exempel 4

Problem: Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:

\[\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 \]

Lösning:

\[ \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 \, = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = \]
\[ = \, 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 \]

Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen \(9/3\) för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med \( \, 2 \, \) genomförd.


Osynliga parenteser

Exempel: \( \qquad\quad \) \( \displaystyle{2+6 \over 3+1} \)

Vanligt fel med digitalt verktyg: \( \quad 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 \)

Rätt med digitalt verktyg: \( \qquad\qquad \color{Red}(2 + 6\color{Red}) / \color{Red}(3 + 1\color{Red}) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 \)

Rätt med papper & penna: \( \displaystyle \qquad\quad\ {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 \)

Det finns två symboler för division som gör samma sak: Divisionstecknet som t.ex. i \( \, \displaystyle {6/3} \, \) och bråkstrecket som i \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \).

Skillnaden är att \( \, \displaystyle {6/3} \, \) är en operation, nämligen att dividera \( \, 6 \, \) med \( \, 3 \, \), medan \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \) är ett tal i bråkform. Båda ger \( \, 2 \), operationens resultat och bråket förkortat.

Förklaringen för felet i exemplet ovan är "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare \( \, 6+2 \, \) och nämnare \( \, 3+1 \, \) i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. I det rätta svaret på papper (ovan) har vi synliggjort de "osynliga" parenteserna.

Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren \( \, 2 \, + \, 6 \, \) och nämnaren \(3+1\), men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är hela \( \, 2 \, + \, 6 \, \) som ska delas med hela \( \, 3 \, + \, 1\).

Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska:

\[ {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 \]

I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Annars blir det ett annat uttryck och ett annat resultat:

\[2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 \]

Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".

Slutsats:

Bråkstreck inkluderar parentes.


Parenteser och osynliga multiplikationstecken

Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången.

Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få \( \, 45 \, \):

\[(6+3)\cdot5=9\cdot5=45\]

Parentesen tvingar oss här att först räkna \(6+3\) och sedan fortsätta med gånger \( \, 5 \, \) så att man får \( \, 45 \, \). Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här:

\[6+(3\cdot5)=6+15=21\]

Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som kan utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.

Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här:

\[(6+3)\;5\]

Detta ger samma värde \( \, 9 \, \) gånger \( \, 5 \, = \, 45 \, \) som ovan.

Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecknet, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket \( \, (6+3)\;5 \, \) är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas.


Sammanfattning

När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:

1. Lös upp eventuella parenteser först, dvs räkna deras innehåll.

2. Sedan tar du multiplikationer och divisioner.

3. Sist additioner och subtraktioner.


Internetlänkar

https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html

https://www.youtube.com/watch?v=lFxztfJ2bq4

http://matematikvideo.se/lektioner/prioriteringsreglerna/

http://www.matteguiden.se/rakneregler/

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html





Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.2_Räkneordning&oldid=29081"