Skillnad mellan versioner av "2.5 Fördjupning till Deriveringsregler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (13 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[2. | + | {{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde| << Förra demoavsnitt]]}} |
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}} | {{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}} | ||
{{Selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}} | {{Selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa demoavsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | [[Media: Lektion | + | [[Media: Lektion 17 Deriveringsregler I Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 17 Deriveringsregler I</span></b>]] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | [[Media: Lektion 18 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 18 Deriveringsregler II</span></b>]] | ||
| + | __NOTOC__ | ||
== <b><span style="color:#931136">Bevis av deriveringsreglerna</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Bevis av deriveringsreglerna</span></b> == | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | ||
| Rad 21: | Rad 20: | ||
Av praktiska skäl behandlas användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av reglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt. | Av praktiska skäl behandlas användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av reglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt. | ||
| − | Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i [[Media: Centralt_innehall_Ma3c.pdf|<strong><span style="color:blue">Skolverkets kursplan för Matematik 3c</span></strong>]] och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver derivatans definition och gränsövergången med | + | Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i [[Media: Centralt_innehall_Ma3c.pdf|<strong><span style="color:blue">Skolverkets kursplan för Matematik 3c</span></strong>]] och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver derivatans definition och gränsövergången med limes. |
Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt: | Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt: | ||
| Rad 43: | Rad 42: | ||
'''Påstående:''' | '''Påstående:''' | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"> |
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b> | <b>Derivatan av en konstant är 0.</b> | ||
| − | Om <math> | + | Om <math> \; f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math> |
| − | då <math> | + | då <math> \; f\,'(x) = 0 </math>. |
| − | + | </div> | |
'''Bevis:''' | '''Bevis:''' | ||
| Rad 73: | Rad 72: | ||
'''Påstående:''' | '''Påstående:''' | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"> |
<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b> | <b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b> | ||
| Rad 79: | Rad 78: | ||
då <math> f\,'(x) \; = \; k </math> | då <math> f\,'(x) \; = \; k </math> | ||
| − | + | </div> | |
'''Bevis:''' | '''Bevis:''' | ||
| Rad 85: | Rad 84: | ||
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = k\cdot x + m </math> kan vi skriva: | Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = k\cdot x + m </math> kan vi skriva: | ||
| − | <math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k </math> | + | <math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot {\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}} \over {\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}}} = \lim_{h \to 0} \, k = k </math> |
Att <math> f(x+h) = k\cdot (x+h) + m </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= k\cdot x + m </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | Att <math> f(x+h) = k\cdot (x+h) + m </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= k\cdot x + m </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | ||
| Rad 94: | Rad 93: | ||
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan: | För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan: | ||
| − | :<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 </math> | + | :<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\,{\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}} \over {\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}}} = \lim_{h \to 0} \, (-8) = -8 </math> |
Att <math> f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= -8\,x + 9 </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | Att <math> f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= -8\,x + 9 </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | ||
| Rad 103: | Rad 102: | ||
'''Påstående:''' | '''Påstående:''' | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"> |
<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b> | <b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b> | ||
| Rad 109: | Rad 108: | ||
då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math> | då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math> | ||
| − | + | </div> | |
'''Bevis:''' | '''Bevis:''' | ||
| Rad 167: | Rad 166: | ||
'''Påstående:''' | '''Påstående:''' | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"> |
Om <math> \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} </math> | Om <math> \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} </math> | ||
då <math> \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} </math> | då <math> \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| − | + | </div> | |
| Rad 183: | Rad 182: | ||
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} </math> | :<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| − | '''Alternativt''' (med | + | '''Alternativt''' (med regeln om derivatan av en potens): Se [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]]. |
| Rad 189: | Rad 188: | ||
'''Påstående:''' | '''Påstående:''' | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"> |
Om <math> f(x) \; = \; \sqrt{x} </math> | Om <math> f(x) \; = \; \sqrt{x} </math> | ||
då <math> f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> | då <math> f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> | ||
| − | + | </div> | |
| − | '''Bevis''' (med | + | '''Bevis''' (med regeln om derivatan av en potens): Se [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]] |
| Rad 203: | Rad 202: | ||
'''Påstående:''' | '''Påstående:''' | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"> |
<b>En polynomfunktion deriveras termvis:</b> | <b>En polynomfunktion deriveras termvis:</b> | ||
| Rad 210: | Rad 209: | ||
då <math> f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 </math> | då <math> f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 </math> | ||
| − | + | </div> | |
| Rad 222: | Rad 221: | ||
För polynomfunktionen <math> f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 </math> blir derivatan: | För polynomfunktionen <math> f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 </math> blir derivatan: | ||
| − | :::::::<math> | + | :::::::<math> \; f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 </math> |
</div> <!-- exempel4 --> | </div> <!-- exempel4 --> | ||
| Rad 229: | Rad 228: | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv4 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv4 --> | ||
| − | Följande | + | Följande [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">regel om derivatan av en potens</span></strong>]] ställde vi upp i genomgången: |
</div> <!-- tolv4 --> | </div> <!-- tolv4 --> | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"><big> |
| − | <b> | + | <b>Regeln om derivatan av en potens:</b> |
Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math> | Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math> | ||
| Rad 246: | Rad 245: | ||
Beviset av denna regel genomfördes ovan för heltalen <math> \, n = 0, \, 1, \, 2 \, </math>: För <math> \, n = 0 \, </math> blir potensen <math> \, 1 \, </math> och därmed konstant. För <math> \, n = 1 \, </math> blir potensen <math> \, x \, </math> och därmed linjär. Och för <math> \, n = 2 \, </math> blir potensen <math> \, x^2 \, </math> och därmed kvadratisk. | Beviset av denna regel genomfördes ovan för heltalen <math> \, n = 0, \, 1, \, 2 \, </math>: För <math> \, n = 0 \, </math> blir potensen <math> \, 1 \, </math> och därmed konstant. För <math> \, n = 1 \, </math> blir potensen <math> \, x \, </math> och därmed linjär. Och för <math> \, n = 2 \, </math> blir potensen <math> \, x^2 \, </math> och därmed kvadratisk. | ||
| − | För ett generellt bevis för inte bara alla hela utan även alla rationella tal <math> \, n \, </math> måste man utveckla uttrycket <math> \, (x\,+\,h)\,^n \, </math> och genomföra gränsövergången med | + | För ett generellt bevis för inte bara alla hela utan även alla rationella tal <math> \, n \, </math> måste man utveckla uttrycket <math> \, (x\,+\,h)\,^n \, </math> och genomföra gränsövergången med limes, vilket kräver matematiska kunskaper som ligger utanför kursplanen för Matte 3. |
</div> <!-- tolv5 --> | </div> <!-- tolv5 --> | ||
| Rad 256: | Rad 255: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 30 januari 2019 kl. 15.13
| << Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa demoavsnitt >> |
Lektion 17 Deriveringsregler I
Lektion 18 Deriveringsregler II
Bevis av deriveringsreglerna
Att använda deriveringsreglerna är en sak, att bevisa dem en annan.
Av praktiska skäl behandlas användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av reglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt.
Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i Skolverkets kursplan för Matematik 3c och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver derivatans definition och gränsövergången med limes.
Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt:
Derivatans definition:
Om \( \;\; y \,=\, f(x) \)
då \( \;\; y\,' \,=\, f\,'(x) \,=\, \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \)
Derivatan av en konstant
Påstående:
Derivatan av en konstant är 0.
Om \( \; f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( \; f\,'(x) = 0 \).
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]
Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man tolkar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) så att den gäller för alla \( {\color{Red} x} \), även om \( x\, \) inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]
Att \( f(x+h) = -5 \) beror på att funktionen \( \,f(x)\):s värde alltid är \( \,-5 \) oavsett vad man sätter in för \( x\, \), även om det är \( x+h\, \) som man sätter in.
Derivatan av en linjär funktion
Påstående:
Derivatan av en linjär funktion är konstant.
Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; k \)
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot {\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}} \over {\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}}} = \lim_{h \to 0} \, k = k \]
Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\,{\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}} \over {\color{Red} {\cancel{{\color{Black} h}}}}} = \lim_{h \to 0} \, (-8) = -8 \]
Att \( f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 \) inser man när man i funktionen \( f(x)= -8\,x + 9 \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Derivatan av en kvadratisk funktion
Påstående:
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.
Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)
Bevis:
Först ställer vi upp de uttryck som förekommer i derivatans definition.
För att ställa upp \( f\,(x+h) \) ersätter vi \( x\, \) med \( x+h\, \) i funktionen \( f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \) :
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & a\,(x+h)^2 + b\,(x+h) + c & = \\ & = & a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) + b\,x + b\,h + c & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - (a\,x^2 + b\,x + c) & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ & = & 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h & = \\ \end{array}\]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h \over h} = {h\cdot (2\,a\,x\ + a\,h + b) \over h} = 2\,a\,x\ + a\,h + b \]
Sedan tillämpar vi derivatans definition genom att bilda gränsvärdet:
\[ f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b \]
Exempel:
För funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) bildas derivatan steg för steg med hjälp av derivatans definition:
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & 5\,(x+h)^2 - 3\,(x+h) + 6 & = \\ & = & 5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 3\,x - 3\,h + 6 & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - (5\,x^2 - 3\,x + 6) & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - 5\,x^2 + 3\,x - 6 & = \\ & = & 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h & = \\ \end{array}\]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 \]
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 \]
Derivatan av \( \displaystyle {1 \over x} \)
Påstående:
Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)
då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)
Bevis (med derivatans definition):
\[ f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} \]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} \]
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} \]
Alternativt (med regeln om derivatan av en potens): Se Derivatan av en potens, Exempel 2.
Derivatan av \( \sqrt{x} \)
Påstående:
Om \( f(x) \; = \; \sqrt{x} \)
då \( f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
Bevis (med regeln om derivatan av en potens): Se Derivatan av en potens, Exempel 3
Derivatan av ett polynom
Påstående:
En polynomfunktion deriveras termvis:
Om \( f(x) = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a \)
då \( f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 \)
Bevis:
Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först bevisa regeln för derivatan av en potens (se nedan) och sedan kombinera den med regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor samt regeln för derivatan av en summa av funktioner.
Exempel:
För polynomfunktionen \( f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 \) blir derivatan:
- \[ \; f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 \]
Derivatan av en potens
Följande regel om derivatan av en potens ställde vi upp i genomgången:
Regeln om derivatan av en potens:
Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)
Beviset av denna regel genomfördes ovan för heltalen \( \, n = 0, \, 1, \, 2 \, \): För \( \, n = 0 \, \) blir potensen \( \, 1 \, \) och därmed konstant. För \( \, n = 1 \, \) blir potensen \( \, x \, \) och därmed linjär. Och för \( \, n = 2 \, \) blir potensen \( \, x^2 \, \) och därmed kvadratisk.
För ett generellt bevis för inte bara alla hela utan även alla rationella tal \( \, n \, \) måste man utveckla uttrycket \( \, (x\,+\,h)\,^n \, \) och genomföra gränsövergången med limes, vilket kräver matematiska kunskaper som ligger utanför kursplanen för Matte 3.
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
