Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(294 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
{{Selected tab|[[1.1 Om tal|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[1.1 Om tal|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar om tal|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Tal|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 1 Om tal Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 1 Om tal</span></b>]]  -->
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Vad är ett tal egentligen?</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
  
−
[[Media: Lektion 1 Om tal Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 1 Om tal</span></strong>]]
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> [[Image: Tre katter_80.jpg]] </td>
 +
  <td> <math> \quad </math> </td>
 +
  <td> Vad är det <b><span style="color:red">gemensamma</span></b> <br/><br/> <math> \qquad\qquad </math> hos <br/><br/>
 +
      tre katter och tre hundar? </td>
 +
  <td> <math> \quad </math> </td>
 +
  <td> [[Image: Tre hundar_80.jpg]] <math>\qquad\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]] </td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Om vi bortser från själva katter och hundar så är det <b><span style="color:red">antalet</span> 3</b> som är gemensamt för båda mängder.
  
−
__TOC__
+
Vi kan generalisera:
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:red">Antalet</span></b> saker och ting som finns i en mängd, kallas för <b><span style="color:red">talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b>.</div>
  
 +
Eller:
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b> är det gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> objekt.</div>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Talbegreppet</span></b> ==
+
Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''?  Det löser inget problem.  
−
<div class="tolv">
+
−
[http://matmin.kevius.com/aritmet.php <strong><span style="color:blue">Aritmetik</span></strong>] som är vårt första kapitel i Matte <math>1</math>-kursen betyder läran om talen. Men vad är ett tal egentligen?
+
  
−
Även om vi intuitivt vet vad ett tal är, vore det bra med en lite exaktare definition. Titta på bilderna nedan:
+
Frågan ''Vad <b><span style="color:red">är</span></b> tal?'' är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting.
  
−
Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar?
+
Det handlar i själva verket om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet. 
  
 +
Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Man bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).
  
−
[[Image: images tre katter.jpg]] <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: images tre hundar.jpg]]  <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]]
+
Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet <b><span style="color:red">tal</span></b>. Läs mer om abstraktion på länken nedan:
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Abstraktion</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> [[Image:Fig111.gif]] </td>
 +
  <td> <math> \qquad </math> </td>
 +
  <td> <math> \qquad </math> </td>
 +
  <td> <div class="ovnE"><big>
 +
{{#NAVCONTENT:Läs här om abstraktion.|Abstraktion}}</big>
 +
</div> </td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Om vi bortser från själva katter och hundar så är det ''antalet tre'' som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för <strong><span style="color:red">talet 3</span></strong>.
+
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal,
  
−
<strong><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></strong> kan alltså definieras som det enda gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, n \, </math> element, dvs ''antalet'' saker och ting som finns i en mängd.
+
de positiva heltalen<span style="color:black">:</span><math>\qquad\qquad\qquad\qquad</math>[[Image: Positiva tal_16.gif]]
  
−
Men att definiera ''tal'' med ''antal'' är ju bara att byta ut ett okänt ord mot ett annat, vilket inte löser problemet att förstå talbegreppet. Det är i själva verket ''tankeprocessen'' bakom räknandet av antal, som leder till talbegreppet. Att räkna antalet saker och ting i en mängd har vi lärt oss som barn. Men hur det gick till har vi antingen glömt eller aldrig brytt oss om.  
+
Så räknar vi antal objekt i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Alla dessa tal är <math> \, > 0 </math>,
  
−
Därför pågår tankeprocessen bakom räknandet i regel omedvetet och består i att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt. Denna process kallas för:
+
medan själva <math> \, 0 \, </math> får man först genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra,
  
 +
t.ex. <math> \, 4 - 4 = 0 \, </math>. Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och <math> 0 </math>, kallad:
  
−
== <b><span style="color:#931136">Abstraktion</span></b> ==
+
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Naturliga tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Naturliga tal_16.gif]]</div>
−
{{#NAVCONTENT:Klicka här för att läsa om abstraktion.|Abstraktion}}
+
  
 +
Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> ==
+
<math> \, 4 - 5 = -1 </math>. Så uppstår ytterligare en ny talmängd:
  
−
Allt vi sade ovan är sant åtminstone för den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:
+
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Heltal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Heltal_16.gif]]</div>
  
−
:::::::::&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Positiva tal_16.gif]]
+
Division av två heltal med varandra, t.ex. <math> \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, </math> leder till tal i bråkform, även kallade:
 +
</td>
 +
<td>
 +
<big><b><span style="color:red">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Lökmodell:</span></b></big>
 +
<div class="border-divblue">De olika taltyperna är delmängder av varandra.</div>
  
−
dvs antal saker och ting i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Generellt är positiva tal alla tal större än <math> \, 0 \, </math>. Till själva nollan kommer man genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. <math> \, 4 - 4 = 0 \, </math>. De positiva heltalen bildar tillsammans med <math> \, 0 \, </math> de s.k. <strong><span style="color:red">naturliga talen</span></strong>:
 
  
−
::::::::&nbsp;[[Image: Naturliga tal_16.gif]]
+
::::[[Image: Taltypera_3red.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Rationella tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Rationella tal_60.jpg]]</div>
  
−
Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre, t.ex. <math> \, 4 - 5 = -1 \, </math> kommer man till negativa tal. De naturliga talen bildar tillsammans med de negativa talen de s.k. <strong><span style="color:red">heltalen</span></strong>:
+
Rationella tal är [[1.5_Bråkräkning|<b><span style="color:blue">tal i bråkform</span></b>]] och kan alltid skrivas i decimalform. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform.
  
−
:[[Image: Heltal_16.gif]]
+
<b>Exempel:</b> &nbsp; Drar man roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots </math>
  
−
Delar man två heltal med varandra, t.ex. <math> \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, </math> kommer man till bråktal. Heltalen bildar tillsammans med bråktalen de s.k. <strong><span style="color:red">rationella talen</span></strong>:
+
<math> \sqrt{2} \, </math> kan inte anges i bråkform <math>-</math> är inget rationellt tal <math>-</math> därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).
  
−
:::[[Image: Rationella tal_60.jpg]]  
+
Sådana tal kallas för <b><span style="color:red">irrationella tal</span></b> och är decimaltal med en oändlig [[1.3 Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling|<b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>]]. <math> \sqrt{2} \, </math>, <math> \sqrt{3} \, </math> och talet <math> \, \pi \, </math> är exempel på irrationella tal.
  
−
<table>
+
Matematiskt exakt talat, är <math> \, \sqrt{2} \, </math> [[2.3 Gränsvärde|<b><span style="color:blue">gränsvärdet (limes)</span></b>]] av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig <math> \, \sqrt{2} </math>. Gränsvärdet själv är inte längre rationellt. Därför inför man en ny talmängd, de irrationella talen.
−
<tr>
+
−
  <td>Drar man t.ex. roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till ett s.k. irrationellt tal<span style="color:black">:</span>
+
  
−
:::<math> \, \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>
+
Följande ny taltyp uppstår:  
  
−
Att detta tal är irrationellt beror på att det har oändligt många decimaler utan
+
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Reella tal:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;De rationella talen tillsammans med alla irrationella.</div>
  
−
något upprepande mönster. Därför kan <math> \, \sqrt{2} \, </math> inte längre skrivas som ett bråktal.
+
Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen.
  
−
Rationella talen bildar tillsammans med de irrationella talen de s.k. <strong><span style="color:red">reella talen</span></strong>.  
+
Löser man t.ex. ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> får man <math> \; x = \sqrt{-1} </math> som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger <math> \, -1 </math>. Vi säger: ekvationen saknar reell lösning.
  
−
Löser man t.ex. ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> kommer man till ett s.k. imaginärt tal<span style="color:black">:</span>
+
För att lösa detta dilemma införs en ny symbol <math> \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; </math> med egenskapen <math> \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; </math> med vars hjälp den nya talmängden definieras:
  
−
::::::::::<math> \, x = \sqrt{-1} \, </math>
+
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Komplexa tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Alla tal av formen <math> \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad </math> med <math> \quad a, b \; = \; </math> reella tal.</div>
  
−
</td>
+
Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå. Symbolen <math> \, {\color{Red} i} \, </math> är ett exempel på en sådan [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]].
−
  <td><math> \qquad </math>[[Image: Taltypera_3red.jpg]]</td>
+
</div> <!-- tolv3 -->
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
De reella talen bildar tillsammans med de imaginära talen de s.k. <strong><span style="color:red">komplexa talen</span></strong>.  
+
  
−
Bilden till höger visar hur de olika taltyperna är delmängder av varandra.
 
−
 
−
Alla typer av tal bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip
 
  
−
av samma typ som vi inledningsvis introducerade talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå.
+
== <b><span style="color:#931136">Vårt talsystem <math>-</math> det decimala positionssystemet</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
 +
Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]], ändå en konkret form som alla förstår.
  
 +
Man pratar om ''representation av tal''. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller ''representera'' tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. <b><span style="color:red">decimala positionssystemet</span></b>. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vårt talsystem, det decimala positionssystemet</span></b> ==
+
Det har visat sig genom historien att detta är det enklaste sättet att representera tal. Det känns naturligt att ta sina <math> \, 10 \, </math> fingrar till hjälp när man räknar i huvudet, vilket endast är möjligt om talsystemet är decimalt:
  
−
Att tänka sig ett tal eller att räkna upp antalet saker och ting i en mängd, är en sak. Att beteckna tal, meddela det till andra dvs att kommunicera tal så att alla förstår, är en helt annan sak.
+
<b><span style="color:red">Decimalt</span></b> heter vårt talsystem därför att det bygger på basen <math> \, 10 \, </math> (på latin: deci). Det finns andra talsystem som bygger på andra baser vilket tas upp i avsnittet [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Talsystem med olika baser</span></b>]].  
  
−
Man pratar om ''representation av tal'', dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över <math>-</math> vårt talsystem <math>-</math> är det s.k. <strong><span style="color:red">decimala positionssystemet</span></strong>.
+
<div class="border-divblue">
 +
I det decimala positionssystemet används siffrorna <math> \; </math> [[Image: Siffrorna 0-9_16.gif]] <math> \; </math> för att skriva alla tal.
 +
</div>
  
−
''Decimalt'' heter vårt talsystem därför att det bygger på basen <math> \, 10 \, </math> (på latin: deci). Dvs man använder de första <math> \, 10 \, </math> siffrorna:
+
Så kan alla tal större än <math> \, 9 \, </math>, alla negativa tal samt alla [[1.3 Decimaltal|<b><span style="color:blue">decimaltal</span></b>]] skrivas med hjälp av de första <math> \, 10 \, </math> naturliga talen (med minustecknet och decimalkommat). Detta blir möjligt genom att ge siffrorna <math> \, 0</math>-<math> \, 9</math>:s ''position'' i talen ett visst värde.
  
−
::::::::[[Image: Siffrorna 0-9_16.gif]]
+
<b><span style="color:red">Positionssystem</span></b> heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math> i talet som bestämmer siffrornas värde.
  
−
för att representera alla andra tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina <math> \, 10 \, </math> fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Alla tal större än <math> \, 10 \, </math> bildas med hjälp av dessa siffror <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>.
+
<div class="border-divblue">
 +
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger <span style="color:red">större värde</span> än positionen till <span style="color:red">höger</span>.
 +
</div>
  
−
''Positionssystem'' heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math> i talet som bestämmer siffrornas och därmed talets <strong><span style="color:red">värde</span></strong>. De olika positioner som bestämmer värdet har följande beteckningar:
 
  
−
::::::::* ental
+
<div class="exempel">
−
::::::::* tiotal
+
== <small><b><span style="color:#931136">Praktiska slutsatser ur denna regel</span></b></small> ==
−
::::::::* hundratal
+
−
::::::::* tusental
+
−
::::::::* tiotusental osv.
+
  
−
Man börjar med att från vänster skriva siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden.
+
::::<math> 235 \, \cdot \, 10 \, = \, 2\,35{\color{Red}0} </math>
  
−
Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar sist dvs längst till höger. T.ex.:
+
::::<math> 235 \, \cdot \, 100 \, = \, 23\,5{\color{Red}{00}} </math>
  
−
:::::[[Image:Fig112bk.jpg]]
+
::::<math> 235 \, \cdot \, 1000 \, = \, 235\,{\color{Red}{000}} </math>
  
 +
Att multiplicera med <math> \, 10 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förstora</span></b> med faktorn <math> \, 10 </math>. För heltal innebär det att lägga till <math> \, {\color{Red}0} \, </math> till höger om talet.
  
−
Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med <math> \, 10</math>-potenser läs avsnittet om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">Potenser</span></strong>]]. Kom speciellt ihåg att enligt potenslagarna <math> \, 10^0 \, = \, 1 \, </math>.
+
Att multiplicera med <math> \, 100 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förstora</span></b> med faktorn <math> \, 100 </math>. För heltal innebär det att lägga till <math> \, {\color{Red}{00}} \, </math> till höger om talet.
 +
 
 +
Att multiplicera med <math> \, 1000 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förstora</span></b> med faktorn <math> \, 1\,000 </math>. För heltal innebär det att lägga till <math> \, {\color{Red}{000}} \, </math> till höger om talet. Osv.
 
</div>
 
</div>
  
 +
När vi behandlar [[1.3_Decimaltal#Exempel_1|<b><span style="color:blue">decimaltal</span></b>]] kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad.
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td>De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar:
  
−
<div class="exempel">
+
 
 +
 
 +
Följande exempel visar ''hur'' en siffras position bestämmer dess <b><span style="color:red">värde</span></b>:
 +
</td>
 +
<td>
 +
:::* ental
 +
:::* tiotal
 +
:::* hundratal
 +
</td>
 +
<td>
 +
:::* tusental
 +
:::* tiotusental
 +
:::* hundratusental osv.
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
</div> <!-- tolv4a -->
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
 +
<big>
 +
Skriv talet <math> \, 7\,142 \, </math> som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser".
  
−
I talet <math> \, 312 \, </math> är - om vi börjar från höger - siffran <math> \, 2 \, </math> pga sin position (placering) ett ental. Nästa siffra från höger, <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal och siffran <math> \, 3 \, </math> ett hundratal. Eftersom <math> \, 3 \, </math> är ett hundratal har siffran <math> \, 3 \, </math> värdet <math> \, 3 \cdot 100 </math> dvs <math> \, 300 \, </math>. Eftersom <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal har siffran <math> \, 1 \, </math> värdet <math> \, 1 \cdot 10 \, </math> dvs <math> \, 10 \, </math>. Analogt har siffran <math> \, 2 \, </math> värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>. Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till:
+
Ange även talets entals-, tiotals-, hundratals- och tusentalssiffra. Förklara varför vårt talsystem är decimalt.
  
−
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 = 300 + 10 + 2 = {\color{Red} {312}} \, </math>
+
'''Lösning:'''
  
−
Man säger att <math> \, 312 \, </math> är ett sätt <math>-</math> det decimala positionssystemets sätt <math>-</math> att visa (att representera, att framställa) talets värde.
+
:::::[[Image:Fig112bk.jpg]]
 +
</big></div> <!-- exempel1 -->
  
−
Om man i exemplet ovan istället för <math> \, 100 \, </math> skriver <math> \, 10^2 \, </math>, vilket betyder <math> \, 10 \cdot 10 \, </math>, och istället för <math> \, 10 \, </math> skriver <math> \, 10^1 \, </math>, ser man att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser":
 
  
−
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2\cdot 1 = {\color{Red} {312}} \, </math>  
+
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
−
+
Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med <math> \, 10</math>-potenser läs avsnittet om [[1.7 Potenser|<b><span style="color:blue">Potenser</span></b>]]. Kom speciellt ihåg att <math> \, 10^0 \, = \, 1 \, </math> enligt potenslagarna.
−
Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet.  
+
−
</div>
+
  
 +
Siffran <math> \, 2 \, </math> i talet <math> \, 7\,142 \, </math> är talets ental och har det minsta <b><span style="color:red">värdet</span></b>, nämligen <math> \, 2 \cdot 1 = 2 </math>. Sedan följer de andra med stigande värden.
  
−
<div class="exempel">
+
Nästa siffra <math> \, 4 \, </math> till vänster är talets tiotal och har värdet <math> \, 4 \cdot 10 = 40 </math>.
 +
 
 +
Nästa siffra <math> \, 1 \, </math> till vänster är talets hundratal och har värdet <math> \, 1 \cdot 100 = 100 </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 7 \, </math> längst till vänster är talets tusental och har det högsta värdet, nämligen <math> \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 </math>.
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ange siffrornas värde i talet <math> \, 312 </math>. Beräkna talets värde utgående från siffrornas värden.
  
−
'''Problem:'''
+
Skriv även talet som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser".
  
−
:Ange talet <math> \, 5\,689 \, </math> som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser".
+
'''Lösning:'''
 +
 
 +
Första siffran <math> \, 3 \, </math> är pga sin position ett hundratal och har därför värdet värdet <math> \, 3 \cdot 100 </math> dvs <math> \, 300 </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal och har därför värdet <math> \, 1 \cdot 10 \, </math> dvs <math> \, 10 \, </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 2 \, </math> är ett ental och har därför värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 2 \, </math> är ett ental och har därför värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>.
 +
 
 +
Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till <math> \, 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, </math>. Mera utförligt:
 +
 
 +
::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 \,= \,{\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, </math>
 +
</big></div> <!-- exempel2 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Man säger att <math> \, {\color{Red} {312}} \, </math> är ett sätt <math>-</math> det decimala positionssystemets sätt <math>-</math> att representera dvs visa talets värde.
 +
 
 +
I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för <math> \, 100 \, </math> skrivit <math> \, 10^2 \, </math>, vilket betyder <math> \, 10 \cdot 10 \, </math>, istället för <math> \, 10 \, </math> skrivit <math> \, 10^1 \, </math> och istället för <math> \, 1 \, </math> skrivit <math> \, 10^0 \, </math>. Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen <math> \, 10 </math>. På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas <math>-</math> bara att basen <math> \, 10 \, </math> byts ut mot andra baser.
 +
 
 +
Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ange talet <math> \, 5\,689 \, </math> som en summa av termer med <math> \, 10</math>-potenser.
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
 
::<math>{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
 
::<math>{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
−
</div>
+
</big></div> <!-- exempel3 -->
  
  
−
<div class="exempel">
+
<big>Här en uppgift av en annan typ:</big>
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
+
  
−
'''Problem:'''
 
  
−
:Siffrorna i talet <math> \, 96\,038 \, </math> ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt.
+
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
 +
<big>
 +
Siffrorna i talet <math> \, 96\,038 \, </math> ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt.
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
Rad 161: Rad 262:
  
 
:För att komma så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen <math> \, 9 \, </math>. Då får vi <math> \, 39\,000 \, </math>. Den näst största siffran är <math> \, 8 \, </math>. Då blir det <math> \, 39\,800 \, </math>. Slutligen är bara <math> \, 6 \, </math> och <math> \, 0 \, </math> kvar, så att det blir <math> \, 39\,860 \, </math>.
 
:För att komma så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen <math> \, 9 \, </math>. Då får vi <math> \, 39\,000 \, </math>. Den näst största siffran är <math> \, 8 \, </math>. Då blir det <math> \, 39\,800 \, </math>. Slutligen är bara <math> \, 6 \, </math> och <math> \, 0 \, </math> kvar, så att det blir <math> \, 39\,860 \, </math>.
−
</div>
+
</big></div> <!-- exempel4 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Summa <math>-</math> Differens <math>-</math> Produkt <math>-</math> Kvot</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkne''operationer''. Deras ''resultat'' kallas för:
 +
</div> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><big><span style="color:#931136">Summa</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av addition:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Differens</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av subtraktion:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Produkt</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av multiplikation:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;} </math> <big><b><span style="color:red">faktorer</span></b></big> <math> {\rm\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Kvot</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av division:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} </math>
 +
</div> <!-- border-div2 -->
  
  
 
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
  
−
http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php
+
https://www.youtube.com/watch?v=slqBCVthYKQ
  
 
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
 
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
 +
 +
https://www.mathsisfun.com/associative-commutative-distributive.html
  
 
http://www.1728.com/arith.htm
 
http://www.1728.com/arith.htm
  
−
http://www.nyteknik.se/popular_teknik/kaianders/article28993.ece
+
http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php
  
  
Rad 181: Rad 309:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 30 december 2022 kl. 13.08

       Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Vad är ett tal egentligen?

Tre katter 80.jpg \( \quad \) Vad är det gemensamma

\( \qquad\qquad \) hos

tre katter och tre hundar? 		\( \quad \) Tre hundar 80.jpg \(\qquad\qquad\) Tre 65.gif

Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet 3 som är gemensamt för båda mängder.

Vi kan generalisera:

Antalet saker och ting som finns i en mängd, kallas för talet \( \, {\color{Red} n} \, \) .

Eller:

Talet \( \, {\color{Red} n} \, \) är det gemensamma hos mängder som innehåller precis \( \, {\color{Red} n} \, \) objekt.

Men är detta inte bara att byta ut ordet tal mot ett annat: antal? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är antal? Det löser inget problem.

Frågan Vad är tal? är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi gör när vi räknar antalet saker och ting.

Det handlar i själva verket om tankeprocessen som bakom ligger bakom räknandet.

Denna tankeprocess kallas för abstraktion: Man bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).

Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet tal. Läs mer om abstraktion på länken nedan:

Abstraktion

Fig111.gif \( \qquad \) \( \qquad \)
Läs här om abstraktion.
Abstraktion

Olika typer av tal

Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal,

de positiva heltalen:\(\qquad\qquad\qquad\qquad\)Positiva tal 16.gif

Så räknar vi antal objekt i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Alla dessa tal är \( \, > 0 \),

medan själva \( \, 0 \, \) får man först genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra,

t.ex. \( \, 4 - 4 = 0 \, \). Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och \( 0 \), kallad:

Naturliga tal:       Naturliga tal 16.gif

Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex.

\( \, 4 - 5 = -1 \). Så uppstår ytterligare en ny talmängd:

Heltal:       Heltal 16.gif

Division av två heltal med varandra, t.ex. \( \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, \) leder till tal i bråkform, även kallade:

     Lökmodell:

De olika taltyperna är delmängder av varandra.


Taltypera 3red.jpg
Rationella tal:       Rationella tal 60.jpg

Rationella tal är tal i bråkform och kan alltid skrivas i decimalform. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform.

Exempel:   Drar man roten ur \( \, 2 \, \) kommer man till: \( \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \)

\( \sqrt{2} \, \) kan inte anges i bråkform \(-\) är inget rationellt tal \(-\) därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).

Sådana tal kallas för irrationella tal och är decimaltal med en oändlig icke-periodisk decimalutveckling. \( \sqrt{2} \, \), \( \sqrt{3} \, \) och talet \( \, \pi \, \) är exempel på irrationella tal.

Matematiskt exakt talat, är \( \, \sqrt{2} \, \) gränsvärdet (limes) av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig \( \, \sqrt{2} \). Gränsvärdet själv är inte längre rationellt. Därför inför man en ny talmängd, de irrationella talen.

Följande ny taltyp uppstår:

Reella tal:              De rationella talen tillsammans med alla irrationella.

Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen.

Löser man t.ex. ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) får man \( \; x = \sqrt{-1} \) som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger \( \, -1 \). Vi säger: ekvationen saknar reell lösning.

För att lösa detta dilemma införs en ny symbol \( \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; \) med egenskapen \( \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; \) med vars hjälp den nya talmängden definieras:

Komplexa tal:       Alla tal av formen \( \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad \) med \( \quad a, b \; = \; \) reella tal.

Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet \(-\) fast på högre nivå. Symbolen \( \, {\color{Red} i} \, \) är ett exempel på en sådan abstraktion.


Vårt talsystem \(-\) det decimala positionssystemet

Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av abstraktion, ändå en konkret form som alla förstår.

Man pratar om representation av tal. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. decimala positionssystemet. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder.

Det har visat sig genom historien att detta är det enklaste sättet att representera tal. Det känns naturligt att ta sina \( \, 10 \, \) fingrar till hjälp när man räknar i huvudet, vilket endast är möjligt om talsystemet är decimalt:

Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen \( \, 10 \, \) (på latin: deci). Det finns andra talsystem som bygger på andra baser vilket tas upp i avsnittet Talsystem med olika baser.

I det decimala positionssystemet används siffrorna \( \; \) Siffrorna 0-9 16.gif \( \; \) för att skriva alla tal.

Så kan alla tal större än \( \, 9 \, \), alla negativa tal samt alla decimaltal skrivas med hjälp av de första \( \, 10 \, \) naturliga talen (med minustecknet och decimalkommat). Detta blir möjligt genom att ge siffrorna \( \, 0\)-\( \, 9\):s position i talen ett visst värde.

Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer siffrornas värde.

I det decimala positionssystemet har varje position ett \( \, 10 \, \) gånger större värde än positionen till höger.


Praktiska slutsatser ur denna regel

\[ 235 \, \cdot \, 10 \, = \, 2\,35{\color{Red}0} \]
\[ 235 \, \cdot \, 100 \, = \, 23\,5{\color{Red}{00}} \]
\[ 235 \, \cdot \, 1000 \, = \, 235\,{\color{Red}{000}} \]

Att multiplicera med \( \, 10 \, \) innebär att förstora med faktorn \( \, 10 \). För heltal innebär det att lägga till \( \, {\color{Red}0} \, \) till höger om talet.

Att multiplicera med \( \, 100 \, \) innebär att förstora med faktorn \( \, 100 \). För heltal innebär det att lägga till \( \, {\color{Red}{00}} \, \) till höger om talet.

Att multiplicera med \( \, 1000 \, \) innebär att förstora med faktorn \( \, 1\,000 \). För heltal innebär det att lägga till \( \, {\color{Red}{000}} \, \) till höger om talet. Osv.

När vi behandlar decimaltal kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad.

De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar:


Följande exempel visar hur en siffras position bestämmer dess värde:

  • ental
  • tiotal
  • hundratal
  • tusental
  • tiotusental
  • hundratusental osv.

Exempel 1

Skriv talet \( \, 7\,142 \, \) som en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser".

Ange även talets entals-, tiotals-, hundratals- och tusentalssiffra. Förklara varför vårt talsystem är decimalt.

Lösning:

Fig112bk.jpg


Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med \( \, 10\)-potenser läs avsnittet om Potenser. Kom speciellt ihåg att \( \, 10^0 \, = \, 1 \, \) enligt potenslagarna.

Siffran \( \, 2 \, \) i talet \( \, 7\,142 \, \) är talets ental och har det minsta värdet, nämligen \( \, 2 \cdot 1 = 2 \). Sedan följer de andra med stigande värden.

Nästa siffra \( \, 4 \, \) till vänster är talets tiotal och har värdet \( \, 4 \cdot 10 = 40 \).

Nästa siffra \( \, 1 \, \) till vänster är talets hundratal och har värdet \( \, 1 \cdot 100 = 100 \).

Siffran \( \, 7 \, \) längst till vänster är talets tusental och har det högsta värdet, nämligen \( \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 \).


Exempel 2

Ange siffrornas värde i talet \( \, 312 \). Beräkna talets värde utgående från siffrornas värden.

Skriv även talet som en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser".

Lösning:

Första siffran \( \, 3 \, \) är pga sin position ett hundratal och har därför värdet värdet \( \, 3 \cdot 100 \) dvs \( \, 300 \).

Siffran \( \, 1 \, \) är ett tiotal och har därför värdet \( \, 1 \cdot 10 \, \) dvs \( \, 10 \, \).

Siffran \( \, 2 \, \) är ett ental och har därför värdet \( \, 2 \cdot 1 \, \) dvs \( \, 2 \, \).

Siffran \( \, 2 \, \) är ett ental och har därför värdet \( \, 2 \cdot 1 \, \) dvs \( \, 2 \, \).

Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till \( \, 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, \). Mera utförligt:

\[ {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 \,= \,{\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, \]


Man säger att \( \, {\color{Red} {312}} \, \) är ett sätt \(-\) det decimala positionssystemets sätt \(-\) att representera dvs visa talets värde.

I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för \( \, 100 \, \) skrivit \( \, 10^2 \, \), vilket betyder \( \, 10 \cdot 10 \, \), istället för \( \, 10 \, \) skrivit \( \, 10^1 \, \) och istället för \( \, 1 \, \) skrivit \( \, 10^0 \, \). Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen \( \, 10 \). På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas \(-\) bara att basen \( \, 10 \, \) byts ut mot andra baser.

Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:


Exempel 3

Ange talet \( \, 5\,689 \, \) som en summa av termer med \( \, 10\)-potenser.

Lösning:

\[{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0\]


Här en uppgift av en annan typ:


Exempel 4

Siffrorna i talet \( \, 96\,038 \, \) ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt.

Lösning:

De två siffrorna närmast \( \, 4 \, \) (första siffran i \( \, 40\,000\)) är \( \, 3 \, \) och \( \, 6 \, \).
Om vi börjar med siffran \( \, 6 \, \) skulle den ge värdet \( \, 60\,000 \, \) som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare \( \, 40\,000 \, \). Därför bestämmer vi oss att stanna under \( \, 40\,000 \, \), då blir den första siffran i det tal vi söker, \( \, 3 \, \). Då får vi \( \, 30\,000 \, \).
För att komma så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen \( \, 9 \, \). Då får vi \( \, 39\,000 \, \). Den näst största siffran är \( \, 8 \, \). Då blir det \( \, 39\,800 \, \). Slutligen är bara \( \, 6 \, \) och \( \, 0 \, \) kvar, så att det blir \( \, 39\,860 \, \).


Summa \(-\) Differens \(-\) Produkt \(-\) Kvot

De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkneoperationer. Deras resultat kallas för:


Summa   =   resultat av addition:

\( \;\; 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} \)

Differens   =   resultat av subtraktion:

\( \;\; 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} \)

Produkt   =   resultat av multiplikation:

\( \;\; 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;} \) faktorer \( {\rm\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} \)

Kvot   =   resultat av division:

\( \;\; 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} \)


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=slqBCVthYKQ

http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm

https://www.mathsisfun.com/associative-commutative-distributive.html

http://www.1728.com/arith.htm

http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php





Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Om_tal&oldid=29292"