Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 10"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (5 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
I ekvationen | I ekvationen | ||
| − | <math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math> | + | :<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math> |
inför vi den nya variabeln <math> t = {1 \over \sqrt{x}} </math> (substitution) vilket ger upphov till <math> t^2 = {1 \over x} </math> när det hela kvadreras. | inför vi den nya variabeln <math> t = {1 \over \sqrt{x}} </math> (substitution) vilket ger upphov till <math> t^2 = {1 \over x} </math> när det hela kvadreras. | ||
| Rad 7: | Rad 7: | ||
Ersätter vi i ekvationen ovan <math> 1 \over \sqrt{x} </math> med <math> t\, </math> och <math> 1 \over x </math> med <math> t^2\, </math> får vi: | Ersätter vi i ekvationen ovan <math> 1 \over \sqrt{x} </math> med <math> t\, </math> och <math> 1 \over x </math> med <math> t^2\, </math> får vi: | ||
| − | <math>\begin{align} t^2 | + | :<math>\begin{align} t^2 & = 306 - t & | \, - 306 + t \\ |
t^2 + t - 306 & = 0 \\ | t^2 + t - 306 & = 0 \\ | ||
t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306} \\ | t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306} \\ | ||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
t_1 & = {34 \over 2} = 17 \\ | t_1 & = {34 \over 2} = 17 \\ | ||
t_2 & = -{36 \over 2} = -18 \\ | t_2 & = -{36 \over 2} = -18 \\ | ||
| − | + | \end{align}</math> | |
| − | Sätter vi tillbaka <math> t_1 = 17\, </math> i substitutionen som vi gjorde i början får vi | + | Sätter vi tillbaka <math> t_1 = 17\, </math> i substitutionen som vi gjorde i början får vi |
:::<math>\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ | :::<math>\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ | ||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
:::<math>\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ | :::<math>\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ | ||
| − | 324 & = {1 \over x_2} && \qquad | \; \cdot | + | 324 & = {1 \over x_2} && \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\ |
x_2 & = {1 \over 324} \\ | x_2 & = {1 \over 324} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Prövning för <math> x_1 = {1 \over 289} </math>: | + | Prövning för <big><math> x_1 = {1 \over 289} </math></big>: |
| − | VL | + | VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289 </math> |
| − | HL | + | HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289 </math> |
| − | VL = HL <math> \Rightarrow\, x = 1 </math> är | + | VL = HL <math> \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289} </math> är en sann rot. |
| + | |||
| + | Prövning för <big><math> x_2 = {1 \over 324} </math></big>: | ||
| + | |||
| + | VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324 </math> | ||
| + | |||
| + | HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288 </math> | ||
| + | |||
| + | VL <math> \not= </math> HL <math> \Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324} </math> är en falsk rot. | ||
Nuvarande version från 4 augusti 2014 kl. 16.04
I ekvationen
\[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]
inför vi den nya variabeln \( t = {1 \over \sqrt{x}} \) (substitution) vilket ger upphov till \( t^2 = {1 \over x} \) när det hela kvadreras.
Ersätter vi i ekvationen ovan \( 1 \over \sqrt{x} \) med \( t\, \) och \( 1 \over x \) med \( t^2\, \) får vi:
\[\begin{align} t^2 & = 306 - t & | \, - 306 + t \\ t^2 + t - 306 & = 0 \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2} \\ t_1 & = {34 \over 2} = 17 \\ t_2 & = -{36 \over 2} = -18 \\ \end{align}\]
Sätter vi tillbaka \( t_1 = 17\, \) i substitutionen som vi gjorde i början får vi
- \[\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 289 & = {1 \over x_1} && \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\ x_1& = {1 \over 289} \end{align}\]
Sätter vi tillbaka \( t_2 = -18\, \) i substitutionen får vi:
- \[\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 324 & = {1 \over x_2} && \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\ x_2 & = {1 \over 324} \\ \end{align}\]
Prövning för \( x_1 = {1 \over 289} \):
VL \( {\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289 \)
HL \( {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289 \)
VL = HL \( \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289} \) är en sann rot.
Prövning för \( x_2 = {1 \over 324} \):
VL \( {\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324 \)
HL \( {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288 \)
VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324} \) är en falsk rot.
