Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 7"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (En mellanliggande version av samma användare visas inte) | |||
| Rad 3: | Rad 3: | ||
<math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math> | <math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math> | ||
| − | inför vi den nya variabeln <math> t = \sqrt{x} </math> | + | inför vi den nya variabeln <math> t = \sqrt{x} </math> (substitution) vilket ger upphov till <math> t^2 = x\, </math> när det hela kvadreras. |
| − | Ersätter | + | Ersätter vi i ekvationen ovan <math> \sqrt{x} </math> med <math> t\, </math> och <math> x\, </math> med <math> t^2\, </math> får vi: |
<math>\begin{align} 2\,t - t^2 & = 1 & | \, + t^2 \\ | <math>\begin{align} 2\,t - t^2 & = 1 & | \, + t^2 \\ | ||
| Rad 14: | Rad 14: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Sätter vi tillbaka <math> t = 1 </math> i substitutionen | + | Sätter vi tillbaka det erhållna resultatet <math> t = 1\, </math> i substitutionen som vi gjorde i början: <math> 1 = \sqrt{x} </math> och kvadrerar båda sidor får vi lösningen <math> x = 1\, </math>. |
Prövning: | Prövning: | ||
Nuvarande version från 30 januari 2011 kl. 22.31
I ekvationen
\( 2\,\sqrt{x} - x = 1 \)
inför vi den nya variabeln \( t = \sqrt{x} \) (substitution) vilket ger upphov till \( t^2 = x\, \) när det hela kvadreras.
Ersätter vi i ekvationen ovan \( \sqrt{x} \) med \( t\, \) och \( x\, \) med \( t^2\, \) får vi\[\begin{align} 2\,t - t^2 & = 1 & | \, + t^2 \\ 2\,t & = t^2 + 1 & | -2t \\ 0 & = t^2 - 2 t + 1 \\ t_{1,2} & = 1 \pm \sqrt{1 - 1} \\ t & = 1 \\ \end{align}\]
Sätter vi tillbaka det erhållna resultatet \( t = 1\, \) i substitutionen som vi gjorde i början\[ 1 = \sqrt{x} \] och kvadrerar båda sidor får vi lösningen \( x = 1\, \).
Prövning:
VL\[ 2\,\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \]
HL\[ \displaystyle 1 \]
VL = HL \( \Rightarrow\, x = 1 \) är rotekvationens lösning.
