Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 9c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 21: Rad 21:
 
<math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, </math>.
 
<math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, </math>.
  
−
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
+
Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; </math>.
−
 
+
−
<math> h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, </math>
+
−
 
+
−
<math> \, = \, \displaystyle {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}  \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} </math>
+
−
 
+
−
Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; </math> och höjden <math> \; \displaystyle h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, </math>.
+

Nuvarande version från 6 februari 2015 kl. 13.18

Målfunktionen maximeras:

\[ V(r) \, = \, {A \over 2} \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
\[ V'(r) \, = \, {A \over 2} \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]
\[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & {A \over 2} \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & {A \over 2} & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {A \over 6\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{A \over 6\,\pi} \end{array}\]

\( \, r_2 = \displaystyle -\sqrt{A \over 6\,\pi} \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .

Andraderivatans tecken för \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \):

\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \).

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; \).

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.5_Lösning_9c&oldid=21638"