Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 10"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(11 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math>
+
I ekvationen
  
−
Vi inför en ny variabel <math> t\, </math> som vi definierar till <math> t = \sqrt{x} </math>.
+
:<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math>
  
−
Substitutionen (variabelbytet) <math> t = \sqrt{x} </math> ger upphov till <math> t^2 = x </math> när den kvadreras.
+
inför vi den nya variabeln <math> t = {1 \over \sqrt{x}} </math> (substitution) vilket ger upphov till <math> t^2 = {1 \over x} </math> när det hela kvadreras.
  
−
Ersätter man i ekvationen <math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math> enligt substitutionen ovan <math> \sqrt{x} </math> med t och x med <math> t^2 </math> får man:
+
Ersätter vi i ekvationen ovan <math> 1 \over \sqrt{x} </math> med <math> t\, </math> och <math> 1 \over x </math> med <math> t^2\, </math> får vi:
  
−
<math>\begin{align} 2\,t - t^2     & = 1                  & | \, + t^2  \\
+
:<math>\begin{align} t^2         & = 306 - t      & | \, - 306 + t                       \\
−
                     2\,t            & = t^2 + 1             & | -2t      \\
+
                     t^2 + t - 306 & = 0                                                    \\
−
                      0           & = t^2 - 2 t + 1                     \\
+
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306}           \\
−
                            t_{1,2} & = 1 \pm \sqrt{1 - 1}               \\
+
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\
−
                            t      & = 1                                \\
+
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4}                \\
−
    \end{align}</math>
+
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2}                        \\
 +
                          t_1    & = {34 \over 2} = 17                                    \\
 +
                          t_2    & = -{36 \over 2} = -18                                  \\
 +
      \end{align}</math>
  
−
Sätter vi tillbaka <math> t = 1 </math> i substitutionen ovan: <math> 1 = \sqrt{x} </math> och kvadrerar får vi lösningen <math> x = 1 </math>.
+
Sätter vi tillbaka <math> t_1 = 17\, </math> i substitutionen som vi gjorde i början får vi  
  
−
Prövning:
+
:::<math>\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} &&  \qquad | \; (\;\;\;)^2        \\
 +
                      289 & = {1 \over x_1}        &&  \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\
 +
                      x_1& = {1 \over 289}
 +
      \end{align}</math>
  
−
VL: <math> 2\,\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 </math>
+
Sätter vi tillbaka <math> t_2 = -18\, </math> i substitutionen får vi:
  
−
HL: <math> \displaystyle 1 </math>
+
:::<math>\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} &&  \qquad | \; (\;\;\;)^2            \\
 +
                      324 & = {1 \over x_2}          &&  \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\
 +
                      x_2 & = {1 \over 324}                                              \\
 +
      \end{align}</math>
  
−
VL = HL <math> \Rightarrow\, x = 1 </math> är rotekvationens lösning.
+
Prövning för <big><math> x_1 = {1 \over 289} </math></big>:
 +
 
 +
VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289 </math>
 +
 
 +
HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289 </math>
 +
 
 +
VL = HL <math> \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289} </math> är en sann rot.
 +
 
 +
Prövning för <big><math> x_2 = {1 \over 324} </math></big>:
 +
 
 +
VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324 </math>
 +
 
 +
HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288 </math>
 +
 
 +
VL <math> \not= </math> HL <math> \Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324} </math> är en falsk rot.

Nuvarande version från 4 augusti 2014 kl. 16.04

I ekvationen

\[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]

inför vi den nya variabeln \( t = {1 \over \sqrt{x}} \) (substitution) vilket ger upphov till \( t^2 = {1 \over x} \) när det hela kvadreras.

Ersätter vi i ekvationen ovan \( 1 \over \sqrt{x} \) med \( t\, \) och \( 1 \over x \) med \( t^2\, \) får vi:

\[\begin{align} t^2 & = 306 - t & | \, - 306 + t \\ t^2 + t - 306 & = 0 \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2} \\ t_1 & = {34 \over 2} = 17 \\ t_2 & = -{36 \over 2} = -18 \\ \end{align}\]

Sätter vi tillbaka \( t_1 = 17\, \) i substitutionen som vi gjorde i början får vi

\[\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 289 & = {1 \over x_1} && \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\ x_1& = {1 \over 289} \end{align}\]

Sätter vi tillbaka \( t_2 = -18\, \) i substitutionen får vi:

\[\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 324 & = {1 \over x_2} && \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\ x_2 & = {1 \over 324} \\ \end{align}\]

Prövning för \( x_1 = {1 \over 289} \):

VL \( {\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289 \)

HL \( {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289 \)

VL = HL \( \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289} \) är en sann rot.

Prövning för \( x_2 = {1 \over 324} \):

VL \( {\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324 \)

HL \( {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288 \)

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324} \) är en falsk rot.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Lösning_10&oldid=12200"