Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 10"

Versionen från 30 januari 2011 kl. 23.15 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m ← Äldre redigering		Nuvarande version från 4 augusti 2014 kl. 17.04 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m
(12 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1:		Rad 1:
−	Vi inför en ny variabel <math> t\, </math> som vi definierar till <math> t = \sqrt{x} </math>.	+	I ekvationen
−	Substitutionen (variabelbytet) <math> t = \sqrt{x} </math> ger upphov till <math> t^2 = x </math> när den kvadreras.	+	:<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math>
−	Ersätter man i ekvationen <math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math> enligt substitutionen ovan <math> \sqrt{x} </math> med t och x med <math> t^2 </math> får man:	+	inför vi den nya variabeln <math> t = {1 \over \sqrt{x}} </math> (substitution) vilket ger upphov till <math> t^2 = {1 \over x} </math> när det hela kvadreras.
−	<math>\begin{align} 2\,t - t^2      & = 1                  & | \, + t^2  \\	+	Ersätter vi i ekvationen ovan <math> 1 \over \sqrt{x} </math> med <math> t\, </math> och <math> 1 \over x </math> med <math> t^2\, </math> får vi:
−	2\,t            & = t^2 + 1             & | -2t      \\	+
−	0            & = t^2 - 2 t + 1                    \\	+
−	t_{1,2} & = 1 \pm \sqrt{1 - 1}                \\	+
−	t      & = 1                                \\	+
−	\end{align}</math>	+
−	Sätter vi tillbaka <math> t = 1 </math> i substitutionen ovan: <math> 1 = \sqrt{x} </math> och kvadrerar får vi lösningen <math> x = 1 </math>.	+	:<math>\begin{align} t^2          & = 306 - t      & | \, - 306 + t                      \\
		+	t^2 + t - 306 & = 0                                                    \\
		+	t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306}            \\
		+	t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\
		+	t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4}                \\
		+	t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2}                        \\
		+	t_1    & = {34 \over 2} = 17                                    \\
		+	t_2    & = -{36 \over 2} = -18                                  \\
		+	\end{align}</math>
−	Prövning:	+	Sätter vi tillbaka <math> t_1 = 17\, </math> i substitutionen som vi gjorde i början får vi
−	VL: <math> 2\,\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 </math>	+	:::<math>\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} &&  \qquad | \; (\;\;\;)^2         \\
		+	289 & = {1 \over x_1}        &&  \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\
		+	x_1& = {1 \over 289}
		+	\end{align}</math>
−	HL: <math> \displaystyle 1 </math>	+	Sätter vi tillbaka <math> t_2 = -18\, </math> i substitutionen får vi:
−	VL = HL <math> \Rightarrow\, x = 1 </math> är rotekvationens lösning.	+	:::<math>\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} &&  \qquad | \; (\;\;\;)^2            \\
		+	324 & = {1 \over x_2}          &&  \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\
		+	x_2 & = {1 \over 324}                                              \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	Prövning för <big><math> x_1 = {1 \over 289} </math></big>:
		+
		+	VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289 </math>
		+
		+	HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289 </math>
		+
		+	VL = HL <math> \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289} </math> är en sann rot.
		+
		+	Prövning för <big><math> x_2 = {1 \over 324} </math></big>:
		+
		+	VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324 </math>
		+
		+	HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288 </math>
		+
		+	VL <math> \not= </math> HL <math> \Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324} </math> är en falsk rot.

---

Nuvarande version från 4 augusti 2014 kl. 17.04

I ekvationen

$${1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}}$$

inför vi den nya variabeln $t = {1 \over \sqrt{x}}$ (substitution) vilket ger upphov till $t^2 = {1 \over x}$ när det hela kvadreras.

Ersätter vi i ekvationen ovan $1 \over \sqrt{x}$ med $t\,$ och $1 \over x$ med $t^2\,$ får vi:

$$\begin{align} t^2 & = 306 - t & | \, - 306 + t \\ t^2 + t - 306 & = 0 \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2} \\ t_1 & = {34 \over 2} = 17 \\ t_2 & = -{36 \over 2} = -18 \\ \end{align}$$

Sätter vi tillbaka $t_1 = 17\,$ i substitutionen som vi gjorde i början får vi

$$\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 289 & = {1 \over x_1} && \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\ x_1& = {1 \over 289} \end{align}$$

Sätter vi tillbaka $t_2 = -18\,$ i substitutionen får vi:

$$\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 324 & = {1 \over x_2} && \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\ x_2 & = {1 \over 324} \\ \end{align}$$

Prövning för $x_1 = {1 \over 289}$:

VL ${\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289$

HL ${\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289$

VL = HL $\Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289}$ är en sann rot.

Prövning för $x_2 = {1 \over 324}$:

VL ${\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324$

HL ${\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288$

VL $\not=$ HL $\Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324}$ är en falsk rot.