Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 8c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(2 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 15: Rad 15:
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
<math> \, r_2 = -5,15 \, </math> förkastas, för radien kan inte bli negativ<span style="color:black">:</span> <math> \, r \, > \, 0 \, </math> .
+
För <math> \, r_1 = 0 \, </math> blir volymen <math> \, V(0) = 0 \, </math> och därmed minimal.
  
Andraderivatans tecken för <math> \, r = 5,15 \, </math><span style="color:black">:</span>
+
För <math> \, r_2 = 10 \, </math> ger andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span>
  
<math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>.
+
<math> V''(10) = 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\cdot 10 = 60\,\pi \, - \, 120\,\pi \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 10 \, </math>.
  
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
+
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 10 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
  
<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15  \, = \, 10,30 </math>
+
<math> h \, = \, - \, 2\,r \, + \, 30 \, = \, - \, 2 \cdot 10 \, + \, 30 \, = \, 10   </math>
  
Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math>.
+
Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 10 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10 \, {\rm cm} \; </math>.

Nuvarande version från 3 februari 2015 kl. 21.48

Vi deriverar målfunktionen:

\[ V(r) \, = \, 30\,\pi\,r^2 \, - 2\,\pi\,r^3 \]
\[ V'(r) \, = \, 60\,\pi\,r \, - \, 6\,\pi\,r^2 \]
\[ V''(r) \, = \, 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 60\,\pi\,r \, - \, 6\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 6\,\pi\,r \cdot (10 \, - \, r) & = & 0 \\ & & r_1 & = & 0 \\ & & r_2 & = & 10 \end{array}\]

För \( \, r_1 = 0 \, \) blir volymen \( \, V(0) = 0 \, \) och därmed minimal.

För \( \, r_2 = 10 \, \) ger andraderivatans tecken:

\( V''(10) = 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\cdot 10 = 60\,\pi \, - \, 120\,\pi \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 10 \, \).

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 10 \, \) i bivillkoret från a):

\( h \, = \, - \, 2\,r \, + \, 30 \, = \, - \, 2 \cdot 10 \, + \, 30 \, = \, 10 \)

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 10 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10 \, {\rm cm} \; \).