Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 7c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(9 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
::<math> I(x) \, = \, (20\,000 \, - \, 80\,x) \cdot (200 \, + \, x ) \, </math>
 
−
 
 
Vi deriverar målfunktionen:
 
Vi deriverar målfunktionen:
  
−
::<math> I(x) = (20\,000 - 80\,x) \cdot (200 + x) = 4\,000\,000 + 20\,000\,x - 16\,000\,x - 80\,x^2 = 80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 </math>
+
<math> I(x) = (20\,000 - 80\,x) \cdot (200 + x) = 4\,000\,000 + 20\,000\,x - 16\,000\,x - 80\,x^2 = </math>
  
−
::<math> V'(x) \, = \, 12\,x^2 \, - \, 80\,x \, + \, 100 </math>
+
<math> {\color{White} {I(x)}} = -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 </math>
  
−
::<math> V''(x) \, = \, 24\,x \, - \, 80 </math>
 
  
−
Derivatans nollställen:
+
<math> I'(x) \,\, = -160\,x + 4\,000 </math>
  
−
::<math>\begin{array}{rcrcl}  V'(x) & = & 12\,x^2 - 80\,x + 100 & = & 0  \\
+
<math> I''(x) \, = -160 </math>
−
                                    &  &  3\,x^2 - 20\,x +  25 & = & 0  \\
+
 
−
                    &  &  x^2 - {20 \over 3}\,x + {25 \over 3} & = & 0  \\
+
Derivatans nollställen:
−
& & x_{1, 2} &=& {10 \over 3} \;\pm\; \sqrt{{100 \over 9}-{25 \over 3}} \\
+
−
& &          &=& {10 \over 3} \;\pm\; \sqrt{{100 \over 9}-{75 \over 9}} \\
+
−
& &          &=& {10 \over 3} \;\pm\; \sqrt{25 \over 9} \\
+
−
& &          &=& {10 \over 3} \;\pm\; {5 \over 3} \\
+
−
& &    x_1  &=& {15 \over 3 } \, = \, 5 \\
+
−
& &    x_2  &=& \,{5 \over 3} 
+
−
        \end{array}</math>
+
  
−
För <math> \, x_1 = 5 \, </math> blir volymen <math> \, V(5) = 5 \cdot (10 \, - \, 2 \cdot 5)^2 = 0 \, </math> och därmed minimal.
+
<math>\begin{array}{rcrcl} I'(x) & = &  -160\,x + 4\,000 & = & 0        \\
 +
                                &  &            4\,000 & = & 160\,x  \\
 +
                                &  & {4\,000 \over 160} & = & x        \\
 +
                                &  &                x  & = & 25 
 +
      \end{array}</math>
  
−
För <math> \, \displaystyle x_2 = {5 \over 3} \, </math> ger andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span>
+
För <math> \, x = 25 \, </math> ger andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> \displaystyle V''\left({5 \over 3}\right) = 24 \cdot {5 \over 3} \, - \, 80 = -\,40 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(x) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \displaystyle \, x = {5 \over 3} \, </math>.
+
<math> I''(25) = - \, 160 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(x) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, x = 25 \, </math>.
  
−
För <math> \, \displaystyle x = {5 \over 3} = 1,67 \, </math> blir lådans volym <math> \, V(x) \, </math> maximal.
+
För <math> \, x = 25 \, </math> blir SJ:s intäkt <math> \, I(x) \, </math> maximal.

Nuvarande version från 3 februari 2015 kl. 12.20

Vi deriverar målfunktionen\[ I(x) = (20\,000 - 80\,x) \cdot (200 + x) = 4\,000\,000 + 20\,000\,x - 16\,000\,x - 80\,x^2 = \]

\( {\color{White} {I(x)}} = -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 \)


\( I'(x) \,\, = -160\,x + 4\,000 \)

\( I''(x) \, = -160 \)

Derivatans nollställen\[\begin{array}{rcrcl} I'(x) & = & -160\,x + 4\,000 & = & 0 \\ & & 4\,000 & = & 160\,x \\ & & {4\,000 \over 160} & = & x \\ & & x & = & 25 \end{array}\]

För \( \, x = 25 \, \) ger andraderivatans tecken:

\( I''(25) = - \, 160 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(x) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, x = 25 \, \).

För \( \, x = 25 \, \) blir SJ:s intäkt \( \, I(x) \, \) maximal.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.5_Lösning_7c&oldid=21472"