Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 5a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Created page with "Lösningen av övning 4b visar graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå kurva) och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> (grön linje): [[Image: Rotekv_Övn_4b...")
 
m
 
(3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
Lösningen av övning 4b visar graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå kurva) och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> (grön linje):
+
Lösningen av övning 4b visar att ekvationen <math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math> saknar lösning. Därför skär graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå kurva) och <math> y_2 = x - 3\, </math> (grön linje) inte varandra:
  
 
[[Image: Rotekv_Övn_4bR.jpg]]
 
[[Image: Rotekv_Övn_4bR.jpg]]
  
−
Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man behöver bara höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation få en sann rot:
+
Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man endast behöver höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation ha en sann rot:
  
−
<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>
+
::<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>
  
−
Lösningen:
+
Att detta är fallet visar graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå kurva) och <math> y_2 = 3\,x - 3 </math> (grön linje). De skär varandra:
  
−
<math>\begin{align} \sqrt{x^2 + 1} & = 3\,x - 3          & & \qquad | \; (\;\;\;)^2  \\
+
[[Image: Rotekv_Mod_Övn_5c.jpg]]
−
                    x^2 + 1        & = (3\,x - 3)^2      & &                          \\
+
−
                    x^2 + 1        & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - x^2      \\
+
−
                          1        & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - 1        \\
+
−
                          0        & = 8\,x^2 - 18\,x + 8 & & \qquad | \;\; / 8        \\
+
−
                          0        & = x^2 - 2,25\,x + 1                              \\
+
−
                          x_{1,2}  & = 1,125 \pm \sqrt{1,266 - 1}                      \\
+
−
                          x_{1,2}  & = 1,125 \pm 0,515                                \\
+
−
                          x_1      & = 1,64                                            \\
+
−
                          x_2      & = 0,61                                            \\
+
−
    \end{align}</math>
+
−
 
+
−
Prövning av <math> x_1 = 1,64 </math>:
+
−
 
+
−
VL: <math> \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 </math>
+
−
 
+
−
HL: <math> 3\cdot 1,64 - 3 = 1,92 </math>
+
−
 
+
−
VL = HL <math> \Rightarrow\, x_1 = 1,64 </math> är en sann rot.
+
−
 
+
−
Prövning av <math> x_2 = 0,61 </math>:
+
−
 
+
−
VL: <math> \sqrt{0,61^2 + 1} = 1,17 </math>
+
−
 
+
−
HL: <math> 3\cdot 0,61 - 3 = -1,17 </math>
+
−
 
+
−
VL <math>\not=</math> HL <math> \Rightarrow\, x_2 = 0,61 </math> är en falsk rot.
+

Nuvarande version från 30 januari 2011 kl. 21.56

Lösningen av övning 4b visar att ekvationen \( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \) saknar lösning. Därför skär graferna till \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) (blå kurva) och \( y_2 = x - 3\, \) (grön linje) inte varandra:

Rotekv Övn 4bR.jpg

Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man endast behöver höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation ha en sann rot:

\[ \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 \]

Att detta är fallet visar graferna till \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) (blå kurva) och \( y_2 = 3\,x - 3 \) (grön linje). De skär varandra:

Rotekv Mod Övn 5c.jpg

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Lösning_5a&oldid=2158"