Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 5c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med 'Vi deriverar målfunktionen: ::<math> A\,(x) \, = \, 6\,x -\,x^2 </math> ::<math> A'(x) \, = \, -\,2\,x \, + \, 6 </math> ::<math> A''(x) \, = \, -\,2 </math> Derivatans n...')
 
m
 
(4 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
Vi deriverar målfunktionen:
 
Vi deriverar målfunktionen:
  
::<math> A\,(x) \, = \, 6\,x -\,x^2 </math>
+
::<math> A\,(x) \, = \, x \cdot (9 \, - \, 2\,x) \, = \, 9\,x - \, 2\,x^2 </math>
  
::<math> A'(x) \, = \, -\,2\,x \, + \, 6 </math>
+
::<math> A'(x) \, = \, 9 \, - \, 4\,x \, </math>
  
::<math> A''(x) \, = \, -\,2 </math>
+
::<math> A''(x) \, = \, -\,4 </math>
  
 
Derivatans nollställe:
 
Derivatans nollställe:
  
::<math>\begin{array}{rcrcl}  A'(x) & = & -\,2\,x \, + \, 6 & = & 0      \\
+
::<math>\begin{array}{rcrcl}  A'(x) & = & 9 \, - \, 4\,x & = & 0      \\
                                     &  &                6 & = & 2\,x \\
+
                                     &  &                9 & = & 4\,x \\
                                     &  &                x & = & 3
+
                                     &  &                x & = & {9 \over 4 } \, = \, 2,25
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
Andraderivatans tecken för <math> \, x = 3 \, </math><span style="color:black">:</span>
+
Andraderivatans tecken för <math> \, x = 2,25 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
<math> A''(3) = \displaystyle -2 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 3 \, </math>.
+
<math> A''(2,25) = -4 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 2,25 \, </math>.
  
<math> x = 3 \, </math> är rektangelns ens sida. För att få den andra sidan <math> \, y \, </math> sätter vi in <math> \, x = 3 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
+
<math> x = 2,25 \, </math> är rektangelns ena sida. Den andra sidan är<span style="color:black">:</span>
  
::<math> y \ = \, 6 \, - \, x \ = \, 6 \, - \, 3 \ = \, 3 </math>
+
::<math> 9 \, - \, 2\,x \, = \, 9 \, - \, 2 \cdot 2,25 \, = \, 9 \, - \, 4,5 \, = \,4,5 </math>
  
För <math> \, x = 3 \, </math> och <math> \, y = 3 \, </math> blir rektangelns area maximal.
+
För <math> \, x = 2,25 \, </math> blir stängselns area maximal.
 
+
Rektangeln med omkretsen <math> \, 12 \, </math> och maximal area är en kvadrat med sidan <math> \, 3 \, </math>.
+

Nuvarande version från 1 februari 2015 kl. 23.02

Vi deriverar målfunktionen:

\[ A\,(x) \, = \, x \cdot (9 \, - \, 2\,x) \, = \, 9\,x - \, 2\,x^2 \]
\[ A'(x) \, = \, 9 \, - \, 4\,x \, \]
\[ A''(x) \, = \, -\,4 \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 9 \, - \, 4\,x & = & 0 \\ & & 9 & = & 4\,x \\ & & x & = & {9 \over 4 } \, = \, 2,25 \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 2,25 \, \):

\( A''(2,25) = -4 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 2,25 \, \).

\( x = 2,25 \, \) är rektangelns ena sida. Den andra sidan är:

\[ 9 \, - \, 2\,x \, = \, 9 \, - \, 2 \cdot 2,25 \, = \, 9 \, - \, 4,5 \, = \,4,5 \]

För \( \, x = 2,25 \, \) blir stängselns area maximal.