Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 4c"

Nuvarande version från 1 februari 2015 kl. 21.27

Vi deriverar målfunktionen:

$$A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, {1 \over 2}\,x^3$$

$$A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2$$

$$A''(x) \, = \, 6 \, - \, 3\,x$$

Derivatans nollställe:

$$\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 & = & 0 \\ & & 3\,x \cdot (2 \, - \, {1 \over 2}\,x) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & 2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0 \\ & & 2 & = & {1 \over 2}\,x \\ & & x_2 & = & 4 \end{array}$$

För $\, x_1 = 0 \,$ blir arean $\, A(0) = 0 \,$ och därmed minimal.

För $\, x_2 = 4 \,$ ger andraderivatans tecken:

$A''(4) = 6 \, - \, 3 \cdot 4 \, = \, -6 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \,$ har ett lokalt maximum för $\, x = 0,4 \,$.

$x = 4 \,$ är $P$:s $x$-koordinat. För att få $y$-koordinaten sätter vi in $\, x \, = \, 4 \,$ i parabelns ekvation:

$$y \, = \, 6\,x \, - \, x^2$$

$$y = 6 \cdot 4 - 4^2 \, = \, 24 \, - 16 \, = \, 8$$

För $\, P\, (4,\,8) \,$ blir triangelns area maximal.