Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 4c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(5 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 14: Rad 14:
 
                                     &  &              2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0  \\
 
                                     &  &              2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0  \\
 
                                     &  &                          2 & = & {1 \over 2}\,x \\
 
                                     &  &                          2 & = & {1 \over 2}\,x \\
−
                                     &  &                        x_2 & = & {2 \over 3} \, = \, 0,67
+
                                     &  &                        x_2 & = & 4
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
−
Andraderivatans tecken för <math> \, x = 0,67 \, </math><span style="color:black">:</span>
+
För <math> \, x_1 = 0 \, </math> blir arean <math> \, A(0) = 0 \, </math> och därmed minimal.
  
−
<math> A''(0,67) = -18\,x \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 0,67 \, </math>.
+
För <math> \, x_2 = 4 \, </math> ger andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> x = 0,67 \, </math> är <math> P</math><span style="color:black">:</span>s <math> x</math>-koordinat. För att få <math> y</math>-koordinaten sätter vi in <math> \, x = \displaystyle {2 \over 3} \, = \, 0,67 \, </math> i den parabelns ekvation<span style="color:black">:</span>
+
<math> A''(4) = 6 \, - \, 3 \cdot 4 \, = \, -6 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, x = 0,4 \, </math>.
  
−
::<math> y = 6\,x - 6\,x^2 </math>
+
<math> x = 4 \, </math> är <math> P</math><span style="color:black">:</span>s <math> x</math>-koordinat. För att få <math> y</math>-koordinaten sätter vi in <math> \, x \, = \, 4 \, </math> i parabelns ekvation<span style="color:black">:</span>
  
−
::<math> y = 6 \cdot {2 \over 3} - 6 \cdot \left({2 \over 3}\right)^2 \, = \, 4 \, - 6 \cdot {4 \over 9} \, = \, 4 \, - {8 \over 3} \, = \ {4 \over 3} </math>
+
::<math> y \, = \, 6\,x \, - \, x^2 </math>
  
−
För <math> \displaystyle \, P\, \left({2 \over 3},\,{4 \over 3}\right) \, </math> blir triangelns area maximal.
+
::<math> y = 6 \cdot 4 - 4^2 \, = \, 24 \, - 16 \, = \, 8 </math>
 +
 
 +
För <math> \, P\, (4,\,8) \, </math> blir triangelns area maximal.

Nuvarande version från 1 februari 2015 kl. 20.27

Vi deriverar målfunktionen:

\[ A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, {1 \over 2}\,x^3 \]
\[ A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 \]
\[ A''(x) \, = \, 6 \, - \, 3\,x \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 & = & 0 \\ & & 3\,x \cdot (2 \, - \, {1 \over 2}\,x) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & 2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0 \\ & & 2 & = & {1 \over 2}\,x \\ & & x_2 & = & 4 \end{array}\]

För \( \, x_1 = 0 \, \) blir arean \( \, A(0) = 0 \, \) och därmed minimal.

För \( \, x_2 = 4 \, \) ger andraderivatans tecken:

\( A''(4) = 6 \, - \, 3 \cdot 4 \, = \, -6 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, x = 0,4 \, \).

\( x = 4 \, \) är \( P\):s \( x\)-koordinat. För att få \( y\)-koordinaten sätter vi in \( \, x \, = \, 4 \, \) i parabelns ekvation:

\[ y \, = \, 6\,x \, - \, x^2 \]
\[ y = 6 \cdot 4 - 4^2 \, = \, 24 \, - 16 \, = \, 8 \]

För \( \, P\, (4,\,8) \, \) blir triangelns area maximal.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.5_Lösning_4c&oldid=21287"