Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 4c"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (8 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
Vi deriverar målfunktionen: | Vi deriverar målfunktionen: | ||
| − | ::<math> A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, | + | ::<math> A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, {1 \over 2}\,x^3 </math> |
| − | ::<math> A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, | + | ::<math> A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 </math> |
| − | ::<math> A''(x) \, = \, 6 \, - \, | + | ::<math> A''(x) \, = \, 6 \, - \, 3\,x </math> |
Derivatans nollställe: | Derivatans nollställe: | ||
| − | ::<math>\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, | + | ::<math>\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 & = & 0 \\ |
| − | & & 3\,x \cdot (2 \, - \, | + | & & 3\,x \cdot (2 \, - \, {1 \over 2}\,x) & = & 0 \\ |
& & x_1 & = & 0 \\ | & & x_1 & = & 0 \\ | ||
| − | & & 2 \, - \, | + | & & 2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0 \\ |
| − | & & 2 & = & | + | & & 2 & = & {1 \over 2}\,x \\ |
| − | & & x_2 & = & | + | & & x_2 & = & 4 |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | För <math> \, x_1 = 0 \, </math> blir arean <math> \, A(0) = 0 \, </math> och därmed minimal. | |
| − | <math> | + | För <math> \, x_2 = 4 \, </math> ger andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> | + | <math> A''(4) = 6 \, - \, 3 \cdot 4 \, = \, -6 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, x = 0,4 \, </math>. |
| − | + | <math> x = 4 \, </math> är <math> P</math><span style="color:black">:</span>s <math> x</math>-koordinat. För att få <math> y</math>-koordinaten sätter vi in <math> \, x \, = \, 4 \, </math> i parabelns ekvation<span style="color:black">:</span> | |
| − | ::<math> y | + | ::<math> y \, = \, 6\,x \, - \, x^2 </math> |
| − | + | ::<math> y = 6 \cdot 4 - 4^2 \, = \, 24 \, - 16 \, = \, 8 </math> | |
| + | |||
| + | För <math> \, P\, (4,\,8) \, </math> blir triangelns area maximal. | ||
Nuvarande version från 1 februari 2015 kl. 20.27
Vi deriverar målfunktionen:
- \[ A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, {1 \over 2}\,x^3 \]
- \[ A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 \]
- \[ A''(x) \, = \, 6 \, - \, 3\,x \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 & = & 0 \\ & & 3\,x \cdot (2 \, - \, {1 \over 2}\,x) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & 2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0 \\ & & 2 & = & {1 \over 2}\,x \\ & & x_2 & = & 4 \end{array}\]
För \( \, x_1 = 0 \, \) blir arean \( \, A(0) = 0 \, \) och därmed minimal.
För \( \, x_2 = 4 \, \) ger andraderivatans tecken:
\( A''(4) = 6 \, - \, 3 \cdot 4 \, = \, -6 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, x = 0,4 \, \).
\( x = 4 \, \) är \( P\):s \( x\)-koordinat. För att få \( y\)-koordinaten sätter vi in \( \, x \, = \, 4 \, \) i parabelns ekvation:
- \[ y \, = \, 6\,x \, - \, x^2 \]
- \[ y = 6 \cdot 4 - 4^2 \, = \, 24 \, - 16 \, = \, 8 \]
För \( \, P\, (4,\,8) \, \) blir triangelns area maximal.
