Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 3c"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
::<math> O'(x) \, = \, 2 \, - \, {50 \over x^2} \, = \, 2 \, - \, 50 \cdot x^{-2} </math> | ::<math> O'(x) \, = \, 2 \, - \, {50 \over x^2} \, = \, 2 \, - \, 50 \cdot x^{-2} </math> | ||
| − | ::<math> O''(x) \, = \, -(-2)\cdot 50\ | + | ::<math> O''(x) \, = \, -(-2)\cdot 50 \cdot x^{-3} \, = \, {100 \over x^3} </math> |
Derivatans nollställe: | Derivatans nollställe: | ||
| − | ::<math>\begin{array}{rcrcl} | + | ::<math>\begin{array}{rcrcl} O'(x) & = & 2 \, - \, {50 \over x^2} & = & 0 \\ |
| − | + | & & 2 & = & {50 \over x^2} \\ | |
| − | + | & & 2\,x^2 & = & 50 \\ | |
| + | & & x^2 & = & 25 \\ | ||
| + | & & x_1 & = & 5 \\ | ||
| + | & & x_2 & = & -5 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | <math> x_2 = -5 </math> förkastas pga längd inte kan vara negativ. | |
| − | <math> | + | Andraderivatans tecken för <math> \, x = 5 \, </math><span style="color:black">:</span> |
| − | <math> | + | <math> O''(5) = \displaystyle {100 \over 5^3} \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad O(x) \, </math> har ett lokalt minimum för <math> \, x = 5 \, </math>. |
| − | + | <math> x = 5 \, </math> är rektangelns ens sida. För att få den andra sidan <math> \, y \, </math> sätter vi in <math> \, x = 5 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span> | |
| − | + | ::<math> y \ = \, {25 \over x} \, = \, {25 \over 5} \ = \, 5 </math> | |
| − | Rektangeln med | + | För <math> \, x = 5 \, </math> och <math> \, y = 5 \, </math> blir rektangelns omkrets minimal. |
| + | |||
| + | Rektangeln med arean <math> \, 25 \, </math> och minimal omkrets är en kvadrat med sidan <math> \, 5 \, </math>. | ||
Nuvarande version från 1 februari 2015 kl. 15.31
Vi deriverar målfunktionen:
- \[ O\,(x) \, = \, 2\,x \, + \, {50 \over x} \, = \, 2\,x \, + \, 50\cdot {1 \over x} \]
- \[ O'(x) \, = \, 2 \, - \, {50 \over x^2} \, = \, 2 \, - \, 50 \cdot x^{-2} \]
- \[ O''(x) \, = \, -(-2)\cdot 50 \cdot x^{-3} \, = \, {100 \over x^3} \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} O'(x) & = & 2 \, - \, {50 \over x^2} & = & 0 \\ & & 2 & = & {50 \over x^2} \\ & & 2\,x^2 & = & 50 \\ & & x^2 & = & 25 \\ & & x_1 & = & 5 \\ & & x_2 & = & -5 \end{array}\]
\( x_2 = -5 \) förkastas pga längd inte kan vara negativ.
Andraderivatans tecken för \( \, x = 5 \, \):
\( O''(5) = \displaystyle {100 \over 5^3} \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad O(x) \, \) har ett lokalt minimum för \( \, x = 5 \, \).
\( x = 5 \, \) är rektangelns ens sida. För att få den andra sidan \( \, y \, \) sätter vi in \( \, x = 5 \, \) i bivillkoret från a):
- \[ y \ = \, {25 \over x} \, = \, {25 \over 5} \ = \, 5 \]
För \( \, x = 5 \, \) och \( \, y = 5 \, \) blir rektangelns omkrets minimal.
Rektangeln med arean \( \, 25 \, \) och minimal omkrets är en kvadrat med sidan \( \, 5 \, \).
