Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 1b"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med 'Rektangelns area är <math> \quad A\,(x, \, y) \; = \; x \, \cdot \, y </math>. Vi skriver om den till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast en variabel genom att...')
 
m
 
(6 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
Rektangelns area är <math> \quad A\,(x, \, y) \; = \; x \, \cdot \, y </math>.
+
<math> \, P \, </math> har koordinaterna <math> \, (x, y) \quad \Longrightarrow \quad </math> Rektangelns area är <math> \, A\,(x, \, y) \; = \; x \, \cdot \, y </math>
  
−
Vi skriver om den till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast en variabel genom att utnyttja bivillkoret<span style="color:black">:</span>
+
Vi skriver om arean till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast en variabel genom att utnyttja bivillkoret från a):
  
−
::<math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math>/strong></div>
+
::<math> y = -\,{6 \over 5}\,x + 4 </math>
  
 +
Vi sätter in bivillkoret i arean för att eliminera <math> \, y \,</math>:
  
−
Inom [http://sv.wikipedia.org/wiki/Optimeringsl%C3%A4ra <strong><span style="color:blue">optimeringslära</span></strong>] <math>-</math> den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner <math>-</math> kallas sambandet ovan för problemets <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong>.
+
::<math> A\,(x, \, y) \, = \, x \cdot y \, = \, x \cdot \left(-\,{6 \over 5}\,x + 4\right) \, = \, -\,{6 \over 5}\,x^2 \, + \, 4\,x </math>
  
 +
Målfunktionen blir då:
  
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;padding:10px 20px 10px 20px;-webkit-border-radius: 15px;">
+
::<math> A\,(x) \, = \, -\,{6 \over 5}\,x^2 \, + \, 4\,x </math>
−
<big>'''Bivillkor för ett extremvärdesproblem''':
+
−
 
+
−
 
+
−
<strong><span style="color:red">Bivillkor</span></strong> för ett extremvärdesproblem är samband mellan problemets variabler. Bivillkor bestäms av problemets <u>givna</u>
+
−
 
+
−
geometriska eller andra egenskaper. Ibland kallas de även för <strong><span style="color:red">tvångsvillkor</span></strong> (eng. <i>constraints</i>).
+
−
</big></div>
+
−
 
+
−
 
+
−
Bivillkoret för vårt problem är parabelns ekvation, för punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> måste följa parabeln.
+
−
 
+
−
Vi använder bivillkoret för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel.
+
−
 
+
−
Därför sätter vi in bivillkoret i <math> \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math>. På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av <math> \, x </math>:
+
−
 
+
−
::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>
+

Nuvarande version från 1 februari 2015 kl. 12.01

\( \, P \, \) har koordinaterna \( \, (x, y) \quad \Longrightarrow \quad \) Rektangelns area är \( \, A\,(x, \, y) \; = \; x \, \cdot \, y \)

Vi skriver om arean till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel genom att utnyttja bivillkoret från a):

\[ y = -\,{6 \over 5}\,x + 4 \]

Vi sätter in bivillkoret i arean för att eliminera \( \, y \,\):

\[ A\,(x, \, y) \, = \, x \cdot y \, = \, x \cdot \left(-\,{6 \over 5}\,x + 4\right) \, = \, -\,{6 \over 5}\,x^2 \, + \, 4\,x \]

Målfunktionen blir då:

\[ A\,(x) \, = \, -\,{6 \over 5}\,x^2 \, + \, 4\,x \]
Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.5_Lösning_1b&oldid=21167"