Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 6b"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med ':::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\ f''(x) & =...')
 
m
 
(8 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
:::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44    \\
+
::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5    \\
−
                            f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45  \\
+
                            f'(x) & = & 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4  \\
−
                          f''(x) & = & 6\,x - 24
+
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
−
'''Steg 2'''&nbsp;&nbsp; Sätt derivatan till <math> \, 0 </math>:
+
::<math>\begin{array}{rcl}  4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 & = & 0    \\
−
 
+
                            x^3 \, (4 \,- \, 5\,x) & = & 0   \\
−
:::<math>\begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0     
+
                                              x_1 & = & 0   \\
−
        \end{array}</math>
+
                                  4 \,- \, 5\,x_2 & = & 0   \\
−
 
+
                                                4 & = & 5\,x_2 \\
−
'''Steg 3'''&nbsp;&nbsp; Lös ekvationen som uppstår (beräkna derivatans nollställen):
+
                                            4 / 5 & = & x_2   \\
−
 
+
                                              x_2 & = & 0,8
−
:::<math>\begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0   \\
+
−
                                x^2 -  8\,x + 15 & = & 0   \\
+
−
  \end{array}</math>
+
−
 
+
−
:::<math> \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 &     =    & 15        \\
+
−
                              x_1  +  x_2 &     =   & -(-8) = 8 \\
+
−
                                            &\Downarrow&          \\
+
−
                                        x_1 &     =    & 3        \\
+
−
                                        x_2 &     =   & 5
+
 
           \end{array}</math>
 
           \end{array}</math>
  
−
::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
+
::<math> \Rightarrow \; f(x) \; {\rm har\;en\;kritisk\;punkt\;till:} \;\; x_2 = 0,8 \; {\rm .}</math>
−
 
+
−
'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>
+
  
−
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
+
::<math> f''(x) \, = \, 12\,x^2 - 20\,x^3 </math>
  
−
:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
+
::<math> f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 </math>
  
−
:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
+
::<math> \Rightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm är\;en\;maximipunkt} {\rm .}</math>.

Nuvarande version från 28 maj 2016 kl. 12.23

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 \\ f'(x) & = & 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{rcl} 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 & = & 0 \\ x^3 \, (4 \,- \, 5\,x) & = & 0 \\ x_1 & = & 0 \\ 4 \,- \, 5\,x_2 & = & 0 \\ 4 & = & 5\,x_2 \\ 4 / 5 & = & x_2 \\ x_2 & = & 0,8 \end{array}\]
\[ \Rightarrow \; f(x) \; {\rm har\;en\;kritisk\;punkt\;till:} \;\; x_2 = 0,8 \; {\rm .}\]
\[ f''(x) \, = \, 12\,x^2 - 20\,x^3 \]
\[ f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 \]
\[ \Rightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm är\;en\;maximipunkt} {\rm .}\].
Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.4_Lösning_6b&oldid=26825"