Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 4a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(5 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
 
::<math>\begin{array}{rcl}  f(x)&=&-\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\
 
::<math>\begin{array}{rcl}  f(x)&=&-\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\
 
                           f'(x)&=&-\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3  \\
 
                           f'(x)&=&-\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3  \\
 
                           f''(x)&=&-2\,x \, + \, 4
 
                           f''(x)&=&-2\,x \, + \, 4
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
 +
 +
Derivatans nollställen:
  
 
::<math>\begin{array}{rcl} -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 & = & 0  \\
 
::<math>\begin{array}{rcl} -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 & = & 0  \\
Rad 15: Rad 16:
 
                                                         x_2 &    =    & 3
 
                                                         x_2 &    =    & 3
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
 +
 +
Typ av kritiska punkter<span style="color:black">:</span>
  
 
<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
 
<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
Rad 24: Rad 27:
 
<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_2 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
 
<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_2 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
  
::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
+
::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
  
 
::<math> f''(1) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(3) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
 
::<math> f''(1) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(3) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
 +
 +
Koordinaterna:
  
 
::<math> f(x) \, = \, -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 </math>
 
::<math> f(x) \, = \, -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 </math>
  
::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
+
::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = -\,{1 \over 3} \quad \Longrightarrow \quad (1, -\,{1 \over 3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
  
::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
+
::<math> f(3) \, = \, -\,{3^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 3^2 \, - \, 3\cdot 3 \, + \, 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (3, 1) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>

Nuvarande version från 22 januari 2015 kl. 10.26

\[\begin{array}{rcl} f(x)&=&-\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\ f'(x)&=&-\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 \\ f''(x)&=&-2\,x \, + \, 4 \end{array}\]

Derivatans nollställen:

\[\begin{array}{rcl} -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 & = & 0 \\ x^2 \, - \, 4\,x \, + \, 3 & = & 0 \\ \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 & = & 3 \\ x_1 + x_2 & = & -(-4) = 4 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & 3 \end{array}\]

Typ av kritiska punkter:

\( {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, \):

\[ f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 \]
\[ f''(1) \, = \, -2\cdot 1 + 4 = 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \]

\( {\color{White} x} \quad \underline{x_2 = 3} \, \):

\[ f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \]
\[ f''(1) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(3) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \]

Koordinaterna:

\[ f(x) \, = \, -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \]
\[ f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = -\,{1 \over 3} \quad \Longrightarrow \quad (1, -\,{1 \over 3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
\[ f(3) \, = \, -\,{3^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 3^2 \, - \, 3\cdot 3 \, + \, 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (3, 1) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]