Skillnad mellan versioner av "3.3 Lösning 8a"
Taifun (Diskussion | bidrag) (Skapade sidan med 'Ursäkta att det inte finns någon lösning här. Jag har inte hunnit att skriva den än. Jag ska göra det så fort jag hinner med det. Hälsningar Taifun') |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (En mellanliggande version av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | För att kunna derivera utvecklas <math> \, f(x) \, </math> till ett polynom: | |
| − | + | :<math> f(x) \, = \, x^2 \, (x + 1) \, (2\,x + 5) + 1 \, = \, (x^3 + x^2) \, (2\,x + 5) + 1 \, = </math> | |
| − | + | ::<math> \quad = \, 2\,x^4 + 5\,x^3 + 2\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \, = \, 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 </math> | |
| − | + | Vi deriverar <math> \, f(x) \, </math> två gånger: | |
| + | |||
| + | :<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \\ | ||
| + | f'(x) & = & 8\,x^3 + 21\,x^2 + 10\,x \\ | ||
| + | f''(x) & = & 24\,x^2 + 42\,x + 10 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | Derivatans nollställen: | ||
| + | |||
| + | :<math>\begin{array}{rcl} 8\,x^3 + 21\,x^2 + 10\,x & = & 0 \\ | ||
| + | x\,(8\,x^2 + 21\,x + 10) & = & 0 \\ | ||
| + | x_1 & = & 0 \\ | ||
| + | 8\,x^2 + 21\,x + 10 & = & 0 \\ | ||
| + | x^2 + \frac{21}{8}\,x + \frac{10}{8} & = & 0 \\ | ||
| + | x^2 + 2,625\,x + 1,25 & = & 0 \\ | ||
| + | x_{2,3} & = & -1,3125 \pm \sqrt{1,7227 - 1,25} \\ | ||
| + | x_{2,3} & = & -1,3125 \pm 0,6875 \\ | ||
| + | x_2 & = & - 0,625 \\ | ||
| + | x_3 & = & - 2 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | Vi Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan <math> \, f''(x) \, = \, 24\,x^2 + 42\,x + 10 </math> | ||
| + | <table> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td><math> \underline{x_1 = 0} \, </math><span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> \underline{x_2 = -0,625} \, </math><span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <math> \underline{x_3 = -2} \, </math><span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \; </math></td> | ||
| + | <td> | ||
| + | <math> f''(0) \, = \, 10 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 0 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math> | ||
| + | |||
| + | <math> f''(-0,625) = 24\cdot(-0,625)^2 + 42\cdot(-0,625) + 10 = -6,9 < 0 </math> | ||
| + | |||
| + | <math> \Longrightarrow \quad x_2 = -0,625 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math> | ||
| + | |||
| + | <math> f''(-2) = 24\cdot(-2)^2 + 42\cdot(-2) + 10 = 22 > 0 </math> | ||
| + | |||
| + | <math> \Longrightarrow \quad x_3 = -2 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math> | ||
| + | |||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | <math> f''(0) \neq 0 \; {\rm ,} \; f''(-0,625) \neq 0 \; {\rm ,} \; f''(-2) \neq 0 \; \Longrightarrow \; f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Maximi- och minimipunkternas koordinater<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> f(x) \, = \, 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 </math> | ||
| + | |||
| + | <math> f(0) \, = \, 1 \; \Longrightarrow \quad (0, 1) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math> | ||
| + | |||
| + | <math> f(-0,625) \, = \, 2\cdot(-0,625)^4 + 7\cdot(-0,625)^3 + 5\cdot(-0,625)^2 + 1 = 1,549 </math> | ||
| + | |||
| + | ::::<math> \Longrightarrow \quad\; (-0,625; 1,549) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math> | ||
| + | |||
| + | <math> f(-2) \, = \, 2\cdot(-2)^4 + 7\cdot(-2)^3 + 5\cdot(-2)^2 + 1 = -3 </math> | ||
| + | |||
| + | ::::<math> \Longrightarrow \quad\; (-2, -3) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math> | ||
Nuvarande version från 14 februari 2016 kl. 12.54
För att kunna derivera utvecklas \( \, f(x) \, \) till ett polynom:
\[ f(x) \, = \, x^2 \, (x + 1) \, (2\,x + 5) + 1 \, = \, (x^3 + x^2) \, (2\,x + 5) + 1 \, = \]
- \[ \quad = \, 2\,x^4 + 5\,x^3 + 2\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \, = \, 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \]
Vi deriverar \( \, f(x) \, \) två gånger:
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \\ f'(x) & = & 8\,x^3 + 21\,x^2 + 10\,x \\ f''(x) & = & 24\,x^2 + 42\,x + 10 \end{array}\]
Derivatans nollställen:
\[\begin{array}{rcl} 8\,x^3 + 21\,x^2 + 10\,x & = & 0 \\ x\,(8\,x^2 + 21\,x + 10) & = & 0 \\ x_1 & = & 0 \\ 8\,x^2 + 21\,x + 10 & = & 0 \\ x^2 + \frac{21}{8}\,x + \frac{10}{8} & = & 0 \\ x^2 + 2,625\,x + 1,25 & = & 0 \\ x_{2,3} & = & -1,3125 \pm \sqrt{1,7227 - 1,25} \\ x_{2,3} & = & -1,3125 \pm 0,6875 \\ x_2 & = & - 0,625 \\ x_3 & = & - 2 \end{array}\]
Vi Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan \( \, f''(x) \, = \, 24\,x^2 + 42\,x + 10 \)
| \( \underline{x_1 = 0} \, \):
\( \underline{x_2 = -0,625} \, \):
\( \underline{x_3 = -2} \, \):
|
\( \; \) |
\( f''(0) \, = \, 10 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 0 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \) \( f''(-0,625) = 24\cdot(-0,625)^2 + 42\cdot(-0,625) + 10 = -6,9 < 0 \) \( \Longrightarrow \quad x_2 = -0,625 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \) \( f''(-2) = 24\cdot(-2)^2 + 42\cdot(-2) + 10 = 22 > 0 \) \( \Longrightarrow \quad x_3 = -2 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \) |
\( f''(0) \neq 0 \; {\rm ,} \; f''(-0,625) \neq 0 \; {\rm ,} \; f''(-2) \neq 0 \; \Longrightarrow \; f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \)
Maximi- och minimipunkternas koordinater:
\( f(x) \, = \, 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \)
\( f(0) \, = \, 1 \; \Longrightarrow \quad (0, 1) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \)
\( f(-0,625) \, = \, 2\cdot(-0,625)^4 + 7\cdot(-0,625)^3 + 5\cdot(-0,625)^2 + 1 = 1,549 \)
- \[ \Longrightarrow \quad\; (-0,625; 1,549) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
\( f(-2) \, = \, 2\cdot(-2)^4 + 7\cdot(-2)^3 + 5\cdot(-2)^2 + 1 = -3 \)
- \[ \Longrightarrow \quad\; (-2, -3) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
