Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 10b"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(4 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 3: Rad 3:
 
::<math> k \, = \, 1 </math>
 
::<math> k \, = \, 1 </math>
  
Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan &nbsp;&nbsp; <math> y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 </math> &nbsp;&nbsp; i den okända beröringspunkten <math> x </math>. Kurvans lutning i denna punkt är &nbsp; <math> f\,'(x) </math>&nbsp;:
+
Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan &nbsp;&nbsp; <math> y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 </math> &nbsp;&nbsp; i den okända beröringspunkten <math> x </math>. Kurvans lutning i denna punkt är &nbsp; <math> f\,'(x) </math>. För att få fram <math> x\, </math> bildar vi derivatan, sätter den till tangentens lutning <math> k = 1 </math> och beräknar beröringspunkten <math> \,x</math>-koordinat:
 
+
För att få fram <math> x\, </math> bildar vi derivatan, sätter den till tangentens lutningen <math> k = 1 </math> och beräknar <math> x\, </math>&nbsp;:
+
  
 
:<math>\begin{array}{lcll}  f(x)  & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4  \\
 
:<math>\begin{array}{lcll}  f(x)  & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4  \\
 
                           f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1    \\
 
                           f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1    \\
                                   & = & 4\,x    & = & 4    \\
+
                                   &   & 4\,x    & = & 4    \\
                                   & = & x        & = & 1    \\
+
                                   &   & x        & = & 1    \\
 
       \end{array}</math>
 
       \end{array}</math>
  
:<math> f(x) \,=\, 2\,x^2 - 3\,x - 4  </math>
+
För att få fram beröringspunktens <math> \,y</math>-koordinat sätter vi <math> \,x</math>-koordinaten i kurvans ekvation:
 
+
:<math> f\,'(x) \,=\, 4\,x - 3 \,=\, 1 </math>
+
 
+
:<math> f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 </math>
+
 
+
Således är &nbsp; <math> k = 3\, </math> &nbsp; och tangentens ekvation blir:
+
 
+
::<math> y \, = \, 3\,x \, + \, m </math>
+
 
+
För att få fram <math> m\, </math> beräknar vi först beröringspunktens koordinater:
+
 
+
::<math> x = -1 </math>
+
::<math> y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 </math>
+
 
+
Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:
+
 
+
:<math>\begin{array}{rcl}  y & = & 3\,x \, + \, m          \\
+
                          -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m  \\
+
                          -5 & = & -3 \, + \, m            \\
+
                      -5 + 3 & = & m                        \\
+
                        - 2 & = & m
+
      \end{array}</math>
+
  
Tangentens ekvation:
+
::<math> y = f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 </math>
  
::<math> y \, = \, 3\,x \, - \, 2 </math>
+
Beröringspunktens koordinater är <math> \,(1, -5) </math> .

Nuvarande version från 19 oktober 2014 kl. 15.35

Eftersom tangenten är parallell till linjen \( y = x - 4\, \) som har lutningen 1, är även tangentens lutningen:

\[ k \, = \, 1 \]

Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan    \( y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \)    i den okända beröringspunkten \( x \). Kurvans lutning i denna punkt är   \( f\,'(x) \). För att få fram \( x\, \) bildar vi derivatan, sätter den till tangentens lutning \( k = 1 \) och beräknar beröringspunkten \( \,x\)-koordinat:

\[\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ & & 4\,x & = & 4 \\ & & x & = & 1 \\ \end{array}\]

För att få fram beröringspunktens \( \,y\)-koordinat sätter vi \( \,x\)-koordinaten i kurvans ekvation:

\[ y = f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 \]

Beröringspunktens koordinater är \( \,(1, -5) \) .