Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 7"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(En mellanliggande version av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
Tangenten är en rät linje. Räta linjens ekvation i <math>\,k</math>-form är:
+
Tangenten är en rät linje vars ekvation i <math>\,k</math>-form är:
  
 
::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math>
 
::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math>
  
Tangenten till kurvan &nbsp;&nbsp; <math> y = f(x) = x^2 + 5 x - 1\, </math> &nbsp;&nbsp; i &nbsp;&nbsp; <math> x = -1 </math> &nbsp;&nbsp; har samma lutning <math>\,k</math> som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i &nbsp; <math> x = -1 </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(-1) </math>&nbsp;:
+
Tangenten till kurvan &nbsp;&nbsp; <math> y = f(x) = x^2 + 5\,x - 1\, </math> &nbsp;&nbsp; i &nbsp;&nbsp; <math> x = -1 </math> &nbsp;&nbsp; har samma lutning <math>\,k</math> som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i &nbsp; <math> x = -1 </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(-1) </math>&nbsp;:
  
 
::<math> k \, = \, f\,'(-1) </math>
 
::<math> k \, = \, f\,'(-1) </math>

Nuvarande version från 18 oktober 2014 kl. 14.55

Tangenten är en rät linje vars ekvation i \(\,k\)-form är:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Tangenten till kurvan    \( y = f(x) = x^2 + 5\,x - 1\, \)    i    \( x = -1 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i   \( x = -1 \)   är   \( f\,'(-1) \) :

\[ k \, = \, f\,'(-1) \]

För att få fram \( k\, \) bildar vi derivatan \( f\,'(x) \) och beräknar \( f\,'(-1) \) :

\[ f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, \]

\[ f\,'(x) \,=\, 2\,x + 5 \]

\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]

Således är   \( k = 3\, \)   och tangentens ekvation blir:

\[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]

För att få fram \( m\, \) beräknar vi först beröringspunktens koordinater:

\[ x = -1 \]
\[ y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \]

Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]