Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 7"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (10 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Tangenten är en rät linje | + | Tangenten är en rät linje vars ekvation i <math>\,k</math>-form är: |
::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math> | ::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math> | ||
| − | Tangenten till kurvan <math> y = f(x) = x^2 + 5 x - 1\, </math> i <math> x = -1 </math> har samma lutning <math>\,k</math> som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i | + | Tangenten till kurvan <math> y = f(x) = x^2 + 5\,x - 1\, </math> i <math> x = -1 </math> har samma lutning <math>\,k</math> som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i <math> x = -1 </math> är <math> f\,'(-1) </math> : |
::<math> k \, = \, f\,'(-1) </math> | ::<math> k \, = \, f\,'(-1) </math> | ||
| − | + | För att få fram <math> k\, </math> bildar vi derivatan <math> f\,'(x) </math> och beräknar <math> f\,'(-1) </math> : | |
:<math> f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, </math> | :<math> f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, </math> | ||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
:<math> f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 </math> | :<math> f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 </math> | ||
| − | Således | + | Således är <math> k = 3\, </math> och tangentens ekvation blir: |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
::<math> y \, = \, 3\,x \, + \, m </math> | ::<math> y \, = \, 3\,x \, + \, m </math> | ||
| − | + | För att få fram <math> m\, </math> beräknar vi först beröringspunktens koordinater: | |
| − | ::<math> x = - | + | ::<math> x = -1 </math> |
| − | ::<math> y = f(- | + | ::<math> y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 </math> |
| − | + | Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten: | |
| − | :<math>\begin{array}{rcl} y & = & | + | :<math>\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ |
| − | + | -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ | |
| − | + | -5 & = & -3 \, + \, m \\ | |
| − | + | -5 + 3 & = & m \\ | |
| − | - | + | - 2 & = & m |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
Tangentens ekvation: | Tangentens ekvation: | ||
| − | ::<math> y \, = \, | + | ::<math> y \, = \, 3\,x \, - \, 2 </math> |
Nuvarande version från 18 oktober 2014 kl. 14.55
Tangenten är en rät linje vars ekvation i \(\,k\)-form är:
- \[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]
Tangenten till kurvan \( y = f(x) = x^2 + 5\,x - 1\, \) i \( x = -1 \) har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i \( x = -1 \) är \( f\,'(-1) \) :
- \[ k \, = \, f\,'(-1) \]
För att få fram \( k\, \) bildar vi derivatan \( f\,'(x) \) och beräknar \( f\,'(-1) \) :
\[ f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, \]
\[ f\,'(x) \,=\, 2\,x + 5 \]
\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]
Således är \( k = 3\, \) och tangentens ekvation blir:
- \[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]
För att få fram \( m\, \) beräknar vi först beröringspunktens koordinater:
- \[ x = -1 \]
- \[ y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \]
Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]
