Skillnad mellan versioner av "1.1 Fördjupning till Polynom"

Versionen från 24 juni 2014 kl. 10.02

Polynomfunktioner

När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg \( y\, \) ger det upphov till en speciell typ av funktion, kallad polynomfunktion. Närmare bestämt är polynomfunktioner en generalisering samt utvidgning av de funktionstyper vi sysslat hittills med. I Matte 1c-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 4\,x + 12 \]

Till höger om likhetstecknet står ett polynom där \( x\, \) förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. Därför kallas \( 4 x\, \) polynomets linjära term. Dess koefficient är \( 4\, \). Polynomets konstanta term är \( 12\, \). Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte 2c-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

Här är graden 2. Koefficienten till den kvadratiska termen \( 3 x^2\, \) är \( 3\, \). Koefficienten till den linjära termen \( 5 x\, \) är \( 5\, \). Och koefficienten till den konstanta termen \( -16 x^0\, \) är \( -16\, \). Grafen till denna 2:a gradsfunktion är en parabel. Dessa funktioner kallas polynomfunktioner därför att uttrycken till höger om likhetstecken är polynom, eftersom de är summor av termer som uppfyller de villkor som vi införde för \( n\, \) - nämligen att vara ett positivt heltal eller 0. Vi har alltså i Matte 1c och 2c sysslat med polynomfunktioner där n var 0, 1 eller 2, men inte högre. Om du undrar varför även konstanterna \( -16\, \) och \( 12\, \) i exemplen ovan kan anses som "termer", kom ihåg att man kan skriva \( -16\, \) som:

\[ -16 \cdot x^0 \]

Att man kan göra så beror på att \( x^0 = 1\, \) enligt potenslagarna. Samma sak gäller för \( 12\, \) som också är en term därför att \( 12\, \) är lika med \( 12 x^0\, \). Därmed har vi identifierat både \( 4 x + 12\, \) och \( 3 x^2 + 5 x - 16\, \) som polynom.

I Matte 3c-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än 2. Vi tar som exempel följande 4:e gradspolynomfunktion\[ y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \] vars graf ser ut så här:

Fil:4-e gradspolynom 70.jpg

Som man ser är grafen mer komplicerad än parabeln. Den har mer minima och maxima och mer nollställen som inte av en tillfällighet är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen \( x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 \). Vi gjorde om denna ekvation till funktionen ovan så att ekvationens lösningar blev funktionens nollställen.

Polynomfunktioner av högre grad

Funktionen ovan \( y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \) var redan ett exempel på en polynomfunktion av högre grad. Ett polynoms grad är ett mått på dess kompexitet. För att se hur kompexiteten växer med graden (från 0 till 5) ska vi titta på följande sex polynom:

Polynomen \(U_n(x)\,\) bildar en följd av polynom där varje polynom har ett index \(n\,\) som samtidigt är polynomets grad.

De nedsänkta indexen \(_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5\) i beteckningarna \(U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,\) används här både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna skriva sedan en formel för dessa polynom som kommer att visa att de hänger ihop som en familj, se några rader längre fram.

Här följer graferna till polynomen ovan ritade i samma koordinatsystem. De visar att kurvorna svänger oftare och får fler maxima/minima ju högre deras grad är:

Fil:Chebyshev Polyn 2nd 60.jpg

Dessa polynom heter Chebyshevpolynom av 2:a slag efter den ryske matematikern Chebyshev som presenterade dem 1854. De är relaterade till varandra med följande formel, kallad rekursionsformel:

\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

\[ U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x \]

Denna formel ger oss möjligheten att ta fram Chebyshevpolynomen rekursivt (successivt), dvs vi kan ställa upp ett polynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen \(U_0, U_1\,\) är explicit angivna (i den andra raden). Det tredje Chebyshevpolynomet \(U_2\,\) får man genom att sätta in \(U_0, U_1\,\) i högerledet av rekursionsformeln (i den första raden). Det fjärde Chebyshevpolynomet \(U_3\,\) får man genom att sätta in \(U_1, U_2\,\) i högerledet osv. Det finns oändligt många Chebyshevpolynom. I princip kan man få dem alla med rekursionsformeln utgående från de två första. Man kan säga att följden av Chebyshevpolynomen definieras och genereras av rekursionsformeln ovan. Låt oss börja med att ställa upp det tredje (OBS! n = 2) med hjälp av de två första (n = 0 och 1)\[ \displaystyle U_0(x) = \underline{1} \]

\( U_1(x) = \underline{2\,x} \)

För n = 2 ger rekursionsformeln\[ U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} \]

Sedan kan vi få fram \( U_3(x) \) genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln\[ U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} \]

För n = 4 ger rekursionsformeln \( U_4(x) \) osv.\[ U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} \]

Så här kan man fortsätta för att få fram alla Chebyshevpolynom. Förfarandet är rekursivt eftersom formeln används för att ställa upp ett polynom från de två föregående.

Jämförelse av koefficienter

Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som vi kommer att använda för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera polynom av högre grad än 2, se övningarna 10 och 11.

Metoden bygger på begreppet likhet mellan polynom. Därför ska vi börja med att definiera likhet mellan polynom.

Definition:

Två polynom:

\[ P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]

och

\[ Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 \]

är lika med varandra om de har samma grad och om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer, närmare bestämt om:

\[ a_n = b_n, \quad a_{n-1} = b_{n-1}, \quad \ldots \quad a_1 = b_1, \quad a_0 = b_0 \]

Exempel 1

Två polynom är givna:

\[ P(x) = a \cdot x + 2\,a + b \]

\[ Q(x) = 2\,x + 1\!\, \].

Låt \( a\, \) och \( b\, \) vara konstanter medan \( x\, \) är polynomens oberoende variabel.

För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) är de två polymen lika med varandra?

Vi skriver \( P(x),\, \) och \( Q(x)\, \) så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter:

\[ P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 \]

\[ Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1\, \) leder till:

\[ a = 2\,\]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \,\) leder till:

\[ 2\,a + b = 1\!\,\]

Sätter man in \( a = 2\, \) i denna relation får man \( b = -3\, \).

Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för:

\[ a = 2\, \]

\[ b = -3\, \]

Exempel 2

Problem: Följande 3:e gradspolynom är givet\[ P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 \]

Hitta ett 2:a gradspolynom \( Q(x)\, \) så att:

\[ Q(x)\cdot (x-2) = P(x) \]

Svar:

\[ Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \]

Lösning:

Det 2:a gradspolynomet \( Q(x)\, \) kan skrivas så här\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

Vi bestämmer koefficienterna \( a\, , \, b\, \) och \( c\, \) så att \( Q(x)\cdot (x-2) = P(x) \)

\(\begin{align} Q(x) \cdot (x - 2) & = (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) = a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c = \\ & = a\,x^3 + (b - 2\,a)\,x^2 + (c - 2\,b)\,x - 2\,c = \\ & = a \cdot x^3 + (b - 2\,a) \cdot x^2 + (c - 2\,b) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 \\ P(x) & = 1 \cdot x^3 + \quad\;\; 4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0 \end{align} \)

Jämförelse av koefficienterna till \( x^3 \)-termen ger:

\[\begin{align} a & = 1 \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^2 \)-termen ger:

\[\begin{align} b - 2\, a & = 4 \\ b - 2\cdot 1 & = 4 \\ b - 2 & = 4 \\ b & = 6 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \)-termen ger:

\[\begin{align} c - 2\, b & = 1 \\ c - 2\cdot 6 & = 1 \\ c - 12 & = 1 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \)-termen bekräftar värdet på c:

\[\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Vi får \( a = 1\, , \, b = 6\, \) och \( c = 13\, \) och därmed\[ Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \]

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.