Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 6"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (Blanked the page) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | ::::::<math>\begin{align} x^4 - 29\;x^2 & = -100 \\ | ||
| + | x^4 - 29\;x^2 + 100 & = 0 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | Vi inför en ny variabel z som vi definierar som: | ||
| + | |||
| + | ::::::::<math> \displaystyle z = x^2 </math> | ||
| + | |||
| + | Denna substitution överför 4:e gradsekvationen till en 2:a gradsekvation: | ||
| + | |||
| + | ::::::<math>\begin{align} z^2 - 29\,z + 100 & = 0 \\ | ||
| + | z_{1,2} & = 3 \pm \sqrt{9 + 27} \\ | ||
| + | z_{1,2} & = 3 \pm 6 \\ | ||
| + | z_1 & = 9 \\ | ||
| + | z_2 & = - 3 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Övergången från z till x gör vi genom att först sätta in lösningen <math> z_1 = 9 </math> i substitutionen <math> z = x^2 </math>: | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> \displaystyle z = x^2 = 9 </math> | ||
| + | |||
| + | Nu drar vi roten ur båda leden i ekvationen <math> x^2 = 9 </math> och får lösningarna: | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> x_{1,2} = \pm 3 </math> | ||
| + | |||
| + | Sedan görs samma sak med lösningen <math> z_2 = -3 </math>. Insatt i substitutionen <math> z = x^2 </math> ger den: | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> \displaystyle z = x^2 = -3 </math> | ||
| + | |||
| + | Men ekvationen <math> x^2 = -3 </math> har inga lösningar pga att roten <math> \sqrt{-3} </math> ur ett negativt tal inte är definierad. | ||
| + | |||
| + | Slutligen kan vi sammanfatta och konstatera att vår 4:e gradsekvation | ||
| + | |||
| + | :::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math> | ||
| + | |||
| + | har de två lösningarna: | ||
| + | |||
| + | :::::<math>\begin{align} x_1 & = 3 \\ | ||
| + | x_2 & = - 3 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | En prövning bekräftar detta resultat. | ||
| + | |||
| + | Så här ser grafen till funktionen <math> y = x^4 - 6\,x^2 - 27 </math> ut vars nollställen överensstämmer med våra lösningar: | ||
| + | |||
| + | [[Image: 4egradsfkt.jpg]] | ||
| + | ++++++ | ||
Versionen från 21 november 2010 kl. 23.45
- \[\begin{align} x^4 - 29\;x^2 & = -100 \\ x^4 - 29\;x^2 + 100 & = 0 \\ \end{align}\]
Vi inför en ny variabel z som vi definierar som:
- \[ \displaystyle z = x^2 \]
Denna substitution överför 4:e gradsekvationen till en 2:a gradsekvation:
- \[\begin{align} z^2 - 29\,z + 100 & = 0 \\ z_{1,2} & = 3 \pm \sqrt{9 + 27} \\ z_{1,2} & = 3 \pm 6 \\ z_1 & = 9 \\ z_2 & = - 3 \\ \end{align}\]
Övergången från z till x gör vi genom att först sätta in lösningen \( z_1 = 9 \) i substitutionen \( z = x^2 \):
- \[ \displaystyle z = x^2 = 9 \]
Nu drar vi roten ur båda leden i ekvationen \( x^2 = 9 \) och får lösningarna:
- \[ x_{1,2} = \pm 3 \]
Sedan görs samma sak med lösningen \( z_2 = -3 \). Insatt i substitutionen \( z = x^2 \) ger den:
- \[ \displaystyle z = x^2 = -3 \]
Men ekvationen \( x^2 = -3 \) har inga lösningar pga att roten \( \sqrt{-3} \) ur ett negativt tal inte är definierad.
Slutligen kan vi sammanfatta och konstatera att vår 4:e gradsekvation
- \[ x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 \]
har de två lösningarna:
- \[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 3 \\ \end{align}\]
En prövning bekräftar detta resultat.
Så här ser grafen till funktionen \( y = x^4 - 6\,x^2 - 27 \) ut vars nollställen överensstämmer med våra lösningar:
++++++
