Nuvarande version från 2 november 2024 kl. 09.41

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Grupparbete

Nästa avsnitt >>

Problemet

Formuleringen Samma gäller för de nya paren ger upphov till ett mönster som

upprepas. Man återvänder till något som redan gjorts: ett känt förlopp upprepas.

Man kallar det för ett "rekursivt" problem. Rekursionen används vid problemets lösning.

Ordet rekursion kommer från det latinska recurrere och betyder att köra igen.

Fibonaccis talföljd

Fibonaccis talföljd är varken aritmetisk eller geometrisk.

Mönstet för bildningen av talföljden är snarare:

Summan av två på varandra följande
fibonaccital ger nästa fibonaccital.

\( \qquad \)

Fibonaccis rekursionsformel

Vi kan använda detta mönster för att bygga en algoritm för beräkning av fibonaccitalen.

Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra jobbet.

T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning.

Algoritm för fibonaccitalen i Excel

Följande algoritm beskriver hur man kan använda Excel för att låta datorn beräkna fibonaccitalen:

Klicka här för att följa algoritmen.

Algoritm i Excel

I övning 6 kommer du att behöva använda denna algoritm för att låta datorn beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen.

Här är de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen beräknade:

Antal månader	Antal kaninpar
\( {\color{Red} 1}\, \)	\( 1\, \)
\( {\color{Red} 2}\, \)	\( 1\, \)
\( {\color{Red} 3}\, \)	\( 2\, \)
\( {\color{Red} 4}\, \)	\( 3\, \)
\( {\color{Red} 5}\, \)	\( 5\, \)
\( {\color{Red} 6}\, \)	\( 8\, \)
\( {\color{Red} 7}\, \)	\( 13\, \)
\( {\color{Red} 8}\, \)	\( 21\, \)
\( {\color{Red} 9}\, \)	\( 34\, \)
\( {\color{Red} {10}}\, \)	\( 55\, \)
\( {\color{Red} {11}}\, \)	\( 89\, \)
\( {\color{Red} {12}}\, \)	\( 144\, \)

Med denna värdetabell kan vi rita grafen

till höger som illustrerar fibonaccitalens

snabba tillväxt. Den horisontella axeln

visar antal månader och den vertikala

antal kaninpar.

Fibonaccitalen bildar en diskret funktion

därför att dess definitionsmängd är heltal,

en diskret mängd: månaderna \( \, {\color{Red} 1}\)-\({\color{Red} {12}}\).

Även grafen består av diskreta dvs åtskilda punkter, inte av en kontinuerlig kurva.

Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu kan besvara den inledande frågan:

Det kommer att finnas \( 144 \) kaninpar om ett år.

Fibonaccitalens explicita formel

Fibonaccis funktion är rekursiv, därför att den anropar sig själv, när den definieras: \( \qquad\quad F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) \)

I en vanlig funktion står \( F(n) \, \) till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln \( n \, \) till höger.

Men här står \( \, F(n) \, \) på båda sidor likhetstecknet, även om för olika månader (= argument).

För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Därav namnet rekursionsformel.

Men eftersom vi har de två första startvärdena \( F(1) = 1 \, \) och \( F(2) = 1 \, \), kan vi beräkna alla andra rekursivt utgående från dessa.

Fibonaccis rekursionsformel definierar en funktion som har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken.

En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. gyllene snittet se övning 6.

En annan är följande explicit formel som upptäcktes först 1718, dvs mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen:

Explicit formel för fibonaccitalen

\( \displaystyle F(n) \; = \; {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \)

Den explicita formeln ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital.

Den är i själva verket lösningen till rekursionsformeln, när denna tolkas som en s.k. differensekvation.

Differensekvationer är den diskreta motsvarigheten till differentialekvationer inom kontinuerlig matematisk analys, som tas upp i kap 3.

I övning 11 får du till uppgift att bevisa den, vilket kan göras genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln (differensekvationen).

Skillnad mellan versioner av "Fibonaccis talföljd"

Nuvarande version från 2 november 2024 kl. 09.41

Problemet

Fibonaccis talföljd

Fibonaccis rekursionsformel

Algoritm för fibonaccitalen i Excel

Fibonaccitalens explicita formel

Explicit formel för fibonaccitalen

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 1b

Matematik 3c

Sök

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[http://34.248.89.132:1804/index.php/1.7_Geometrisk_summa <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[https://matte5.mathonline.se/index.php/1.7_Geometrisk_summa#Anv.C3.A4ndning_av_geometrisk_summa <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]}}
 {{Selected tab|[[Fibonaccis talföljd|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[Övningar till Fibonaccis talföljd|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[http://34.248.89.132:1801/index.php/1.8_Talsystem_med_olika_baser Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]}}
+{{Not selected tab|[[Grupparbete Ma5|Grupparbete]]}}
+{{Not selected tab|[https://matte1b.mathonline.se/index.php/1.8_Talsystem_med_olika_baser Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
@@ Rad 16: / Rad 17: @@
 <big><big>
-Formuleringen "Samma gäller för de nya paren." ger upphov till ett '''mönster''' som
+Formuleringen ''Samma gäller för de nya paren'' ger upphov till ett '''mönster''' som
 '''upprepas'''. Man återvänder till något som redan gjorts: ett känt förlopp upprepas.
-Man kallar det för ett "rekursivt" problem.
+Man kallar det för ett "rekursivt" problem. Rekursionen används vid problemets lösning.
-Ordet rekursion kommer från det latinska recurrere och betyder att köra igen. Dvs:
+Ordet rekursion kommer från det latinska ''recurrere'' och betyder att köra igen.
 </big></big>
 </div>
@@ Rad 31: / Rad 30: @@
 = <b><span style="color:#931136">Fibonaccis talföljd</span></b> =
 <div class="ovnC">
-[[Image: Fib_Talfoljden.jpg]]
+[[Image: Fib_Talfoljdena.jpg]]
-</div>
-<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Fibonaccitalen.jpg]]</div>
 <table>
 <tr>
-<td><big><big><b><span style="color:red">Mönster</span></b> för bildningen av Fibonaccis talföljd, <br><br> även kallad <b>Fibonaccitalen:</b></big></big> <br><br> <div class="border-divblue">
+<td><big><big><b><span style="color:red">Fibonaccis talföljd är varken [https://demo.mathonline.se/index.php?title=1.5_Talf%C3%B6ljder_och_summor#Aritmetiska_talf.C3.B6ljder <span style="color:blue">aritmetisk</span>] eller [https://demo.mathonline.se/index.php?title=1.5_Talf%C3%B6ljder_och_summor#Geometriska_talf.C3.B6ljder <span style="color:blue">geometrisk</span>].</span></b> <br><br> '''Mönstet''' för bildningen av talföljden är snarare:</big></big> <br><br> <div class="border-divblue">
 <big><b>Summan av två på varandra följande <br> fibonaccital ger nästa fibonaccital.</b></big>
 </div>
 </td>
-<td><math> \qquad\qquad\qquad </math></td>
+<td><math> \qquad </math></td>
 <td>[https://sv.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci [[Image: FibonacciBildb.jpg]]]</td> </tr>
 </table>
@@ Rad 50: / Rad 45: @@
 = <b><span style="color:#931136">Fibonaccis rekursionsformel</span></b> =
-<div class="ovnC">
+<div class="ovnA">
 <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: FibonacciRekFormel.jpg]]</div>
-<big>
-Mer utförligt om om Fibonacciproblemet kan du läsa [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_3_Fibonaccis_problem <b><span style="color:blue">här</span></b>].
-Fibonaccis rekursionsformel kan direkt tas över till följande pythonprogram:
-</big>
 </div>
-== <b><span style="color:#931136">Fibonaccis talföljd</span></b> ==
+<big><big>
-<div class="ovnE">
+Vi kan använda detta mönster för att bygga en ''algoritm'' för beräkning av fibonaccitalen.
-Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html <b><span style="color:blue">Leonardo Pisano Fibonacci</span></b>] år 1202
-formulerade i sin bok [http://liberabaci.blogspot.se/ <b><span style="color:blue">Liber abaci</span></b>] (Boken om räknekonsten). Uppgiften handlar om kaniners fortplantning:
+Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra jobbet.
-<div class="ovnC">
+T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning.
-Ett kaninpar föder från den andra månaden av sin tillvaro
+</big></big>
-ett nytt par varje månad. Samma gäller för de nya paren.
-Hur många par kommer det att finnas om ett år?
-</div>
-De två första månaderna finns det <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns <math> \, {\color{Red} 2} \, </math> kaninpar i månad 3.
-I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras
-första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det <math> \, {\color{Red} 5} \, </math> par i månad 5 osv. <math> \cdots </math>.
-Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på kaninpopulationen när tiden går. Antalet kaninpar för varje månad bildar en s.k. [http://matmin.kevius.com/serier.php <b><span style="color:blue">talföljd</span></b>] som kallas för:
-<div class="ovnC">
-[http://sv.wikipedia.org/wiki/Fibonaccital <b><span style="color:blue">Fibonaccitalen</span></b>] <math> \qquad {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 1}, \; {\color{Red} 2}, \; {\color{Red} 3}, \; {\color{Red} 5}, \; {\color{Red} 8}, \; {\color{Red} {13}}, \; {\color{Red} {21}}, \; \ldots \quad </math></div>
-Undersöker man denna talföljd noga kan man upptäcka följande mönster:
-=== <b><span style="color:#931136">Mönster för fibonaccitalen:</span></b> ===
-<div class="ovnC">
-Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.
-</div>
-</div>
-<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
-Vi kan använda detta mönster för att bygga en <i>algoritm</i> för beräkning av fibonaccitalen.
-En <b><span style="color:red">algoritm</span></b> är ett specificerat tillvägagångssätt för att lösa ett problem. Läs [http://www.taifun.se/images/stories/pdf/Csharp_1_Vad_ar_en_algoritm.pdf <b><span style="color:blue">här</span></b>] mer om algoritmer.
-Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra jobbet. T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning.
-</div> <!-- tolv3a http://sv.wikipedia.org/wiki/Algoritm -->
 = <b><span style="color:#931136">Algoritm för fibonaccitalen i Excel</span></b> =
-<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
+<div class="ovnE">
+<big>
 Följande algoritm beskriver hur man kan använda Excel för att låta datorn beräkna fibonaccitalen:
-<div class="ovnC"> <!-- ovnE -->
+</big>
+<div class="ovnC">
 {{#NAVCONTENT:Klicka här för att följa algoritmen.|Algoritm i Excel}}
-</div> <!-- ovnE -->
+</div>
+<big>
 I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">övning 6</span></b>]] kommer du att behöva använda denna algoritm för att låta datorn beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen.
 Här är de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen beräknade:
+</big>
 <table>
 <tr>
    <td>
-:{| class="wikitable"
+{| class="wikitable"
 |-
 ! Antal månader || Antal kaninpar
@@ Rad 147: / Rad 104: @@
 |}
 </td>
-   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  Med denna värdetabell kan vi rita grafen
+   <td> &nbsp;  &nbsp; Med denna värdetabell kan vi rita grafen
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  till höger som illustrerar fibonaccitalens
+&nbsp;  &nbsp; till höger som illustrerar fibonaccitalens
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  snabba tillväxt. Den horisontella axeln
+&nbsp;  &nbsp; snabba tillväxt. Den horisontella axeln
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  visar antal månader och den vertikala
+&nbsp;  &nbsp; visar antal månader och den vertikala
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  antal kaninpar.
+&nbsp;  &nbsp; antal kaninpar.
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;
+&nbsp;  &nbsp;
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;
+&nbsp;  &nbsp;
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;
+&nbsp;  &nbsp;
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;
+&nbsp;  &nbsp; Fibonaccitalen bildar en <b><span style="color:red">diskret funktion</span></b>
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;
+&nbsp;  &nbsp; därför att dess definitionsmängd är <b><span style="color:red">heltal</span></b>,
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  Fibonaccitalen bildar en <b><span style="color:red">diskret funktion</span></b>
+&nbsp;  &nbsp; en diskret mängd: månaderna <math> \, {\color{Red} 1}</math><b><span style="color:red">-</span></b><math>{\color{Red} {12}}</math>.
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  därför att dess definitionsmängd är <b><span style="color:red">heltal</span></b>,
-&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  bestående av månaderna <math> \, {\color{Red} 1}</math><b><span style="color:red">-</span></b><math>{\color{Red} {12}}</math>.
    </td>
-   <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  [[Image: Fibonacci 465p.jpg]]</td>
+   <td> &nbsp;  &nbsp; [[Image: Fibonacci 400.jpg]]</td>
 </tr>
 </table>
+<big>
+Även grafen består av diskreta dvs åtskilda punkter, inte av en kontinuerlig kurva.
-Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu äntligen kan besvara den inledande frågan:
+Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu kan besvara den inledande frågan:
-Det kommer att finnas <math> \, 144 \, </math> kaninpar om ett år.
+Det kommer att finnas <math> 144 </math> kaninpar om ett år.
-</div> <!-- tolv4 -->
+</big>
-= <b><span style="color:#931136">Fibonaccis funktion</span></b> =
-<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
-När vi beräknade fibonaccitalen konstaterade vi redan att de bildar en funktion. Vi beräknade värdetabellen och ritade även grafen till denna funktion. Men vad är dess formel? För att kunna formulera formeln inför vi följande beteckningar:
-::::<math> n \, = \, {\rm Antalet\;månader} </math>
-::::<math> F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n </math>
-De första två fibonaccitalen tar vi från värdetabellen ovan. Det är <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 1 \, </math>. Resten <math>-</math> [http://www.wolframalpha.com/input/?i=fibonacci+function <b><span style="color:blue">Fibonaccis funktion</span></b>] som följer <math>-</math> är en översättning till matematiskt språk av det mönster vi upptäckte tidigare och lade till grund för beräkningsalgoritmen:
-<div class="border-divblue">
-====== <b><span style="color:#931136">Fibonaccis rekursionsformel</span></b> ======
-<math>  F(n) \; = \; \begin{cases} 1                     & \mbox{om} \quad n = 1                                    \\
-                     & \mbox{om} \quad n = 2 \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal}  \\
-                                   F(n-1) \; + \; F(n-2) & \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots                   \\
-                     \end{cases}
-</math>
-:
 </div>
-Så här brukar man skriva för att för en och samma funktion definiera olika uttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske blir det enklare att förstå definitionen ovan om vi skriver den på följande förenklat sätt:
+= <b><span style="color:#931136">Fibonaccitalens explicita formel</span></b> =
+<div class="ovnC">
+Fibonaccis funktion är <b><span style="color:red">rekursiv</span></b>, därför att den anropar sig själv, när den definieras<span>:</span> <math> \qquad\quad F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) </math>
-:::::<math>\begin{array}{rcl}  F(1) & = & 1   \\
+I en vanlig funktion står <math> F(n) \, </math> till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln <math> n \, </math> till höger.
-                               F(2) & = & 1   \\
-                               F(n) & = & F(n-1) \; + \; F(n-2) \qquad \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots
-           \end{array}</math>
-De första raderna i definitionen ovan säger att de första två fibonaccitalen är <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 1 </math>. Den andra raden säger att det <math> \, n</math>-te fibonaccitalet är summan av de två föregående, vilket är mönstret vi upptäckte tidigare.
+Men här står <math> \, F(n) \, </math> på '''båda''' sidor likhetstecknet, även om för olika månader (= argument).
-</div> <!-- tolv5 -->
+För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Därav namnet <b><span style="color:red">rekursionsformel</span></b>.
-== <b><span style="color:#931136">Fibonaccifunktionens egenskaper</span></b> ==
+Men eftersom vi har de två första <b><span style="color:red">startvärdena</span></b> <math> F(1) = 1 \, </math> och <math> F(2) = 1 \, </math>, kan vi beräkna alla andra rekursivt utgående från dessa.
-<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+Fibonaccis rekursionsformel definierar en funktion som har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken.
-Egenskapen att vara en <b><span style="color:red">diskret</span></b> hade vi redan konstaterat för Fibonaccis funktion. Detta pga dess definitionsmängd var heltal: antalet kaninpar.
-En annan intressant egenskap är att Fibonaccis funktion är <b><span style="color:red">rekursiv</span></b>, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, genom att ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på raden i definitionen:
+En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>] se [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">övning 6</span></b>]].
-:::::<math> F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) </math>
+En annan är följande <b><span style="color:red">explicit formel</span></b> som upptäcktes först 1718, dvs <b><span style="color:red">mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen:</span></b>
-I en vanlig funktion står <math> F(n) \, </math> till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln <math> n \, </math> till höger. Men här står <math> \, F(n) \, </math> på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första <math> F(1) = 1 \, </math> och <math> F(2) = 1 \, </math>, s.k. <b><span style="color:red">startvärden</span></b>, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att <math> F(n) \, </math> anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därav namnet Fibonaccis rekursionsformel.
-Fibonaccis funktion har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken. En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>] se [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_6|<b><span style="color:blue">övning 6</span></b>]]. En annan är följande vacker formel som upptäcktes först 1718 <math>-</math> mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen <math>-</math> och som ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital:
@@ Rad 239: / Rad 166: @@
-I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_11|<b><span style="color:blue">övning 11</span></b>]] får du till uppgift att bevisa den, vilket görs genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln. Den är i själva verket lösningen till rekursionsformeln när denna uppfattas och behandlas som en [http://sv.wikipedia.org/wiki/Differensekvation <b><span style="color:blue">differensekvation</span></b>] <math>-</math> något som studeras inom Diskret matematik.
+Den explicita formeln ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital.
-</div> <!-- tolv6 -->
+Den är i själva verket ''lösningen'' till rekursionsformeln, när denna tolkas som en s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Differensekvation <b><span style="color:blue">differensekvation</span></b>].
+Differensekvationer är den '''diskreta''' motsvarigheten till differentialekvationer inom '''kontinuerlig''' matematisk analys, som tas upp i kap 3.
+I [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_11|<b><span style="color:blue">övning 11</span></b>]] får du till uppgift att bevisa den, vilket kan göras genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln (differensekvationen).
+</div>