Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(533 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.1 Positiva tal|Teori]]}}
+
{{Selected tab|[[1.1 Om tal|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Positiva tal|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Tal|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 1 Om tal Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 1 Om tal</span></b>]]  -->
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Vad är ett tal egentligen?</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
  
−
[[Media: Lektion_1_Positiva tal.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 1 Positiva tal</span></strong>]]
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> [[Image: Tre katter_80.jpg]] </td>
 +
  <td> <math> \quad </math> </td>
 +
  <td> Vad är det <b><span style="color:red">gemensamma</span></b> <br/><br/> <math> \qquad\qquad </math> hos <br/><br/>
 +
      tre katter och tre hundar? </td>
 +
  <td> <math> \quad </math> </td>
 +
  <td> [[Image: Tre hundar_80.jpg]] <math>\qquad\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]] </td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Om vi bortser från själva katter och hundar så är det <b><span style="color:red">antalet</span> 3</b> som är gemensamt för båda mängder.
  
−
__TOC__
+
Vi kan generalisera:
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:red">Antalet</span></b> saker och ting som finns i en mängd, kallas för <b><span style="color:red">talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b>.</div>
  
 +
Eller:
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b> är det gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> objekt.</div>
  
−
== Talbegreppet ==
+
Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''?  Det löser inget problem.
  
−
[[Matte_1_Kapitel_1_Aritmetik|<strong><span style="color:blue">Aritmetik</span></strong>]] <math>-</math> vårt första kapitel i Matte <math>1</math>-kursen <math>-</math> betyder läran om tal. Vad är tal? Vi tittar i vår omgivning och upptäcker:
+
Frågan ''Vad <b><span style="color:red">är</span></b> tal?'' är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting.
  
−
[[Image: images tre katter.jpg]] <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: images tre hundar.jpg]]  <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]]
+
Det handlar i själva verket om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet.
  
−
Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar? Om man bortser från själva katter och hundar så är det ''antalet tre'' som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för ''talet'' 3. '''Tal''' kan alltså definieras som ''antalet'' saker och ting som finns i en mängd. Detta förutsätter att vi redan har lärt oss att räkna <math>-</math> som barn.
+
Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Man bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).
  
−
Tankeprocessen att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt, kallas '''abstraktion''' (abstrahere på latin: att ta bort, att dra av). Man tar bort det som skiljer tre katter från tre hundar och kommer till det som är som gemensamt hos dem: Antalet 3 eller enklare talet 3.
+
Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet <b><span style="color:red">tal</span></b>. Läs mer om abstraktion på länken nedan:
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
−
Begreppet ''tal'' är alltså resultatet av abstraktion i den mänskliga hjärnan. Dess källa är alla verkliga objekt som omger oss. Ett växande barn lär sig denna abstraktionsförmåga under sin uppväxt. Mänskligheten har lärt sig den under den historiska utvecklingen. Det finns naturfolk som använder olika ord för samma antal när antalen används i kombination med olika objekt. T.ex. ''två kvinnor'' betecknas i deras språk med ett annat ord än ''två pilar''. Hos dem har antalet saker och ting i en mängd inte löst sig (inte abstraherats) från mängdens andra egenskaper.  
+
== <b><span style="color:#931136">Abstraktion</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> [[Image:Fig111.gif]] </td>
 +
  <td> <math> \qquad </math> </td>
 +
  <td> <math> \qquad </math> </td>
 +
  <td> <div class="ovnE"><big>
 +
{{#NAVCONTENT:Läs här om abstraktion.|Abstraktion}}</big>
 +
</div> </td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Abstraktion är ett viktigt koncept i allt tänkande, så även i matematiken. Den ger oss inte bara talbegreppet. Man kan t.o.m. säga att hela matematiken består av en rad abstraktioner på olika nivåer. Vill man bli duktig i matte är det bäst att träna sin abstraktionsförmåga. Och hur gör man det? En möjlighet är att just syssla med matematik!
+
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal,
  
−
== Vad är ett positivt tal? ==
+
de positiva heltalen<span style="color:black">:</span><math>\qquad\qquad\qquad\qquad</math>[[Image: Positiva tal_16.gif]]
−
Det som sades ovan gäller om vi nöjer oss med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen, nämligen för de positiva heltalen 1, 2, 3, 4, ... , dvs antalet saker och ting i en mängd. Generellt är ''positiva tal'' alla tal större än 0. Till 0 kommer man genom att dra av samma tal från varandra, t.ex. <math>4 - 4 = 0</math>. De positiva heltalen bildar tillsammans med 0 de s.k. ''naturliga talen:'' 0, 1, 2, 3, 4, ... . Alla andra typer av tal (hela, rationella, reella, komplexa osv.) bygger sin konstruktion på de naturliga talen, är alltså resultat av ytterligare abstraktioner.  
+
  
−
== Det decimala positionssystemet ==
+
Så räknar vi antal objekt i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Alla dessa tal är <math> \, > 0 </math>,
−
Att tänka sig ett tal genom att räkna upp antalet saker och ting i en mängd, är en sak. Att meddela det till andra dvs att tala om eller att skriva upp talet så att alla förstår, är en helt annan sak, i regel svårare. Man pratar om ''representation av tal'', dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. ''decimala positionssystemet''. ''Decimalt'' heter det därför att det bygger på basen 10 (deci på latin: tio). Dvs man använder de 10 siffrorna 0-9 för att representera alla tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina 10 fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Allt som går över 10 bildas med hjälp av dessa 10. ''Positionssystem'' heter det därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna i talet som bestämmer talets ''värde'' (OBS! 3 är en siffra, medan 34 är ett tal. Självklart är 3 också ett tal, men 34 är ingen siffra). Det som bestämmer värdet, de olika positionerna har fått beteckningarna ''ental'', ''tiotal'', ''hundratal'', ''tusental'' osv. Man börjar att skriva från vänster siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden. Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar längst till höger.
+
  
−
{| cellspacing="10px" align="right"
+
medan själva <math> \, 0 \, </math> får man först genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra,
−
| [[Image:Fig111.gif]]
+
  
−
== Exempel 1 ==
+
t.ex. <math> \, 4 - 4 = 0 \, </math>. Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och <math> 0 </math>, kallad:  
−
I talet 312 är - om vi börjar från höger - siffran 2 pga sin position (placering) ett ental. Nästa siffra från höger, 1 är ett tiotal och siffran 3 ett hundratal. Eftersom 3 är ett hundratal har siffran 3 värdet 3<math>\cdot</math>100 dvs 300. Eftersom 1 är ett tiotal har siffran 1 värdet 1<math>\cdot</math>10 dvs 10. Analogt har siffran 2 värdet 2<math>\cdot</math>1 dvs 2. Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till:
+
  
−
<math>3\cdot100 + 1\cdot10 + 2\cdot1 = 300 + 10 + 2 = 312</math>  
+
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Naturliga tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Naturliga tal_16.gif]]</div>
  
−
Man säger att 312 är ett sätt - det decimala positionssystemets sätt - att visa (att representera, att framställa) talets värde.
+
Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex.
  
−
== Exempel 2 ==
+
<math> \, 4 - 5 = -1 </math>. Så uppstår ytterligare en ny talmängd:  
−
Om man i exemplet ovan istället för 100 skriver <math>10^2</math>, vilket betyder 10 två gånger sig själv, och istället för 10 skriver <math>10^1</math>, ser man att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) multiplicerad med 10-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet. Ännu tydligare blir det i följande exempel:
+
  
−
(Om du har svårigheter att förstå potenser kom ihåg dina kunskaper från Högstadiet eller läs avsnitt [[1.7 Potenser]].)
+
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Heltal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Heltal_16.gif]]</div>
  
−
[[Image:Fig112bk.jpg]]
+
Division av två heltal med varandra, t.ex. <math> \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, </math> leder till tal i bråkform, även kallade:
 +
</td>
 +
<td>
 +
<big><b><span style="color:red">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Lökmodell:</span></b></big>
 +
<div class="border-divblue">De olika taltyperna är delmängder av varandra.</div>
  
−
== Exempel 3 ==
 
  
−
'''Problem:''' Ange talet 5 689 som en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) multiplicerad med 10-potenser".
+
::::[[Image: Taltypera_3red.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Rationella tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Rationella tal_60.jpg]]</div>
  
−
'''Svar:'''
+
Rationella tal är [[1.5_Bråkräkning|<b><span style="color:blue">tal i bråkform</span></b>]] och kan alltid skrivas i decimalform. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform.
  
−
<math>5\cdot10^3\,+\,6\cdot10^2\,+\,8\cdot10^1\,+\,9\cdot10^0</math>
+
<b>Exempel:</b> &nbsp; Drar man roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots </math>
 +
 
 +
<math> \sqrt{2} \, </math> kan inte anges i bråkform <math>-</math> är inget rationellt tal <math>-</math> därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).
 +
 
 +
Sådana tal kallas för <b><span style="color:red">irrationella tal</span></b> och är decimaltal med en oändlig [[1.3 Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling|<b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>]]. <math> \sqrt{2} \, </math>, <math> \sqrt{3} \, </math> och talet <math> \, \pi \, </math> är exempel på irrationella tal.
 +
 
 +
Matematiskt exakt talat, är <math> \, \sqrt{2} \, </math> [[2.3 Gränsvärde|<b><span style="color:blue">gränsvärdet (limes)</span></b>]] av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig <math> \, \sqrt{2} </math>. Gränsvärdet själv är inte längre rationellt. Därför inför man en ny talmängd, de irrationella talen.
 +
 
 +
Följande ny taltyp uppstår:
 +
 
 +
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Reella tal:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;De rationella talen tillsammans med alla irrationella.</div>
 +
 
 +
Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen.
 +
 
 +
Löser man t.ex. ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> får man <math> \; x = \sqrt{-1} </math> som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger <math> \, -1 </math>. Vi säger: ekvationen saknar reell lösning.
 +
 
 +
För att lösa detta dilemma införs en ny symbol <math> \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; </math> med egenskapen <math> \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; </math> med vars hjälp den nya talmängden definieras:
 +
 
 +
<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Komplexa tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Alla tal av formen <math> \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad </math> med <math> \quad a, b \; = \; </math> reella tal.</div>
 +
 
 +
Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå. Symbolen <math> \, {\color{Red} i} \, </math> är ett exempel på en sådan [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]].
 +
</div> <!-- tolv3 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Vårt talsystem <math>-</math> det decimala positionssystemet</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
 +
Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]], ändå en konkret form som alla förstår.
 +
 
 +
Man pratar om ''representation av tal''. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller ''representera'' tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. <b><span style="color:red">decimala positionssystemet</span></b>. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder.
 +
 
 +
Det har visat sig genom historien att detta är det enklaste sättet att representera tal. Det känns naturligt att ta sina <math> \, 10 \, </math> fingrar till hjälp när man räknar i huvudet, vilket endast är möjligt om talsystemet är decimalt:
 +
 
 +
<b><span style="color:red">Decimalt</span></b> heter vårt talsystem därför att det bygger på basen <math> \, 10 \, </math> (på latin: deci). Det finns andra talsystem som bygger på andra baser vilket tas upp i avsnittet [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Talsystem med olika baser</span></b>]].
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
I det decimala positionssystemet används siffrorna <math> \; </math> [[Image: Siffrorna 0-9_16.gif]] <math> \; </math> för att skriva alla tal.
 +
</div>
 +
 
 +
Så kan alla tal större än <math> \, 9 \, </math>, alla negativa tal samt alla [[1.3 Decimaltal|<b><span style="color:blue">decimaltal</span></b>]] skrivas med hjälp av de första <math> \, 10 \, </math> naturliga talen (med minustecknet och decimalkommat). Detta blir möjligt genom att ge siffrorna <math> \, 0</math>-<math> \, 9</math>:s ''position'' i talen ett visst värde.
 +
 
 +
<b><span style="color:red">Positionssystem</span></b> heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math> i talet som bestämmer siffrornas värde.
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger <span style="color:red">större värde</span> än positionen till <span style="color:red">höger</span>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <small><b><span style="color:#931136">Praktiska slutsatser ur denna regel</span></b></small> ==
 +
 
 +
::::<math> 235 \, \cdot \, 10 \, = \, 2\,35{\color{Red}0} </math>
 +
 
 +
::::<math> 235 \, \cdot \, 100 \, = \, 23\,5{\color{Red}{00}} </math>
 +
 
 +
::::<math> 235 \, \cdot \, 1000 \, = \, 235\,{\color{Red}{000}} </math>
 +
 
 +
Att multiplicera med <math> \, 10 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förstora</span></b> med faktorn <math> \, 10 </math>. För heltal innebär det att lägga till <math> \, {\color{Red}0} \, </math> till höger om talet.
 +
 
 +
Att multiplicera med <math> \, 100 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förstora</span></b> med faktorn <math> \, 100 </math>. För heltal innebär det att lägga till <math> \, {\color{Red}{00}} \, </math> till höger om talet.
 +
 
 +
Att multiplicera med <math> \, 1000 \, </math> innebär att <b><span style="color:red">förstora</span></b> med faktorn <math> \, 1\,000 </math>. För heltal innebär det att lägga till <math> \, {\color{Red}{000}} \, </math> till höger om talet. Osv.
 +
</div>
 +
 
 +
När vi behandlar [[1.3_Decimaltal#Exempel_1|<b><span style="color:blue">decimaltal</span></b>]] kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad.
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td>De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar:
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Följande exempel visar ''hur'' en siffras position bestämmer dess <b><span style="color:red">värde</span></b>:
 +
</td>
 +
<td>
 +
:::* ental
 +
:::* tiotal
 +
:::* hundratal
 +
</td>
 +
<td>
 +
:::* tusental
 +
:::* tiotusental
 +
:::* hundratusental osv.
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
</div> <!-- tolv4a -->
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
 +
<big>
 +
Skriv talet <math> \, 7\,142 \, </math> som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser".
 +
 
 +
Ange även talets entals-, tiotals-, hundratals- och tusentalssiffra. Förklara varför vårt talsystem är decimalt.
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
<math>5689\;=\;5\cdot1000\,+\,6\cdot100\,+\,8\cdot10\,+\,9\cdot1\;=\;5\cdot10^3\,+\,6\cdot10^2\,+\,8\cdot10^1\,+\,9\cdot10^0</math>
+
:::::[[Image:Fig112bk.jpg]]
 +
</big></div> <!-- exempel1 -->
  
−
== Exempel 4 ==
 
−
'''Problem:''' Siffrorna i talet 96 038 ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära 40 000 som möjligt.
 
  
−
'''Svar:''' <math>39</math> <math>860</math>
+
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med <math> \, 10</math>-potenser läs avsnittet om [[1.7 Potenser|<b><span style="color:blue">Potenser</span></b>]]. Kom speciellt ihåg att <math> \, 10^0 \, = \, 1 \, </math> enligt potenslagarna.
  
−
'''Lösning:''' De två siffrorna närmast 4 (första siffran i 40 000) är 3 och 6. Om vi börjar med siffran 6 skulle den ge värdet 60 000 som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare 40 000. Därför bestämmer vi oss att stanna under 40 000, då blir den första siffran i det tal vi söker, 3. Då får vi 30 000. För att komma så nära 40 000 som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen 9. Då får vi 39 000. Den näst största siffran är 8. Då blir det 39 800. Slutligen är bara 6 och 0 kvar, så att det blir 39 860.
+
Siffran <math> \, 2 \, </math> i talet <math> \, 7\,142 \, </math> är talets ental och har det minsta <b><span style="color:red">värdet</span></b>, nämligen <math> \, 2 \cdot 1 = 2 </math>. Sedan följer de andra med stigande värden.
  
−
== Internetlänkar ==
+
Nästa siffra <math> \, 4 \, </math> till vänster är talets tiotal och har värdet <math> \, 4 \cdot 10 = 40 </math>.
−
http://www.nyteknik.se/popular_teknik/kaianders/article28993.ece
+
 
 +
Nästa siffra <math> \, 1 \, </math> till vänster är talets hundratal och har värdet <math> \, 1 \cdot 100 = 100 </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 7 \, </math> längst till vänster är talets tusental och har det högsta värdet, nämligen <math> \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 </math>.
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ange siffrornas värde i talet <math> \, 312 </math>. Beräkna talets värde utgående från siffrornas värden.
 +
 
 +
Skriv även talet som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser".
 +
 
 +
'''Lösning:'''
 +
 
 +
Första siffran <math> \, 3 \, </math> är pga sin position ett hundratal och har därför värdet värdet <math> \, 3 \cdot 100 </math> dvs <math> \, 300 </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal och har därför värdet <math> \, 1 \cdot 10 \, </math> dvs <math> \, 10 \, </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 2 \, </math> är ett ental och har därför värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>.
 +
 
 +
Siffran <math> \, 2 \, </math> är ett ental och har därför värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>.
 +
 
 +
Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till <math> \, 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, </math>. Mera utförligt:
 +
 
 +
::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 \,= \,{\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, </math>
 +
</big></div> <!-- exempel2 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Man säger att <math> \, {\color{Red} {312}} \, </math> är ett sätt <math>-</math> det decimala positionssystemets sätt <math>-</math> att representera dvs visa talets värde.
 +
 
 +
I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för <math> \, 100 \, </math> skrivit <math> \, 10^2 \, </math>, vilket betyder <math> \, 10 \cdot 10 \, </math>, istället för <math> \, 10 \, </math> skrivit <math> \, 10^1 \, </math> och istället för <math> \, 1 \, </math> skrivit <math> \, 10^0 \, </math>. Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen <math> \, 10 </math>. På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas <math>-</math> bara att basen <math> \, 10 \, </math> byts ut mot andra baser.
 +
 
 +
Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ange talet <math> \, 5\,689 \, </math> som en summa av termer med <math> \, 10</math>-potenser.
 +
 
 +
'''Lösning:'''
 +
 
 +
::<math>{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
 +
</big></div> <!-- exempel3 -->
 +
 
 +
 
 +
<big>Här en uppgift av en annan typ:</big>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
 +
<big>
 +
Siffrorna i talet <math> \, 96\,038 \, </math> ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt.
 +
 
 +
'''Lösning:'''
 +
 
 +
:De två siffrorna närmast <math> \, 4 \, </math> (första siffran i <math> \, 40\,000</math>) är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 6 \, </math>.
 +
 
 +
:Om vi börjar med siffran <math> \, 6 \, </math> skulle den ge värdet <math> \, 60\,000 \, </math> som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare <math> \, 40\,000 \, </math>. Därför bestämmer vi oss att stanna under <math> \, 40\,000 \, </math>, då blir den första siffran i det tal vi söker, <math> \, 3 \, </math>. Då får vi <math> \, 30\,000 \, </math>.
 +
 
 +
:För att komma så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen <math> \, 9 \, </math>. Då får vi <math> \, 39\,000 \, </math>. Den näst största siffran är <math> \, 8 \, </math>. Då blir det <math> \, 39\,800 \, </math>. Slutligen är bara <math> \, 6 \, </math> och <math> \, 0 \, </math> kvar, så att det blir <math> \, 39\,860 \, </math>.
 +
</big></div> <!-- exempel4 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Summa <math>-</math> Differens <math>-</math> Produkt <math>-</math> Kvot</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkne''operationer''. Deras ''resultat'' kallas för:
 +
</div> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><big><span style="color:#931136">Summa</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av addition:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Differens</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av subtraktion:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Produkt</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av multiplikation:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;} </math> <big><b><span style="color:red">faktorer</span></b></big> <math> {\rm\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Kvot</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av division:</b>
 +
 
 +
<math> \;\; 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} </math>
 +
</div> <!-- border-div2 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
https://www.youtube.com/watch?v=slqBCVthYKQ
  
 
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
 
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
  
−
http://www.df.lth.se/~mikaelb/aritm/aritm-sve.html
+
https://www.mathsisfun.com/associative-commutative-distributive.html
  
 
http://www.1728.com/arith.htm
 
http://www.1728.com/arith.htm
  
−
http://edeye.com.au/learn/arithmetictraining.php
+
http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
http://www.mult.se/mult.html
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 30 december 2022 kl. 13.08

       Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Vad är ett tal egentligen?

Tre katter 80.jpg \( \quad \) Vad är det gemensamma

\( \qquad\qquad \) hos

tre katter och tre hundar? 		\( \quad \) Tre hundar 80.jpg \(\qquad\qquad\) Tre 65.gif

Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet 3 som är gemensamt för båda mängder.

Vi kan generalisera:

Antalet saker och ting som finns i en mängd, kallas för talet \( \, {\color{Red} n} \, \) .

Eller:

Talet \( \, {\color{Red} n} \, \) är det gemensamma hos mängder som innehåller precis \( \, {\color{Red} n} \, \) objekt.

Men är detta inte bara att byta ut ordet tal mot ett annat: antal? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är antal? Det löser inget problem.

Frågan Vad är tal? är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi gör när vi räknar antalet saker och ting.

Det handlar i själva verket om tankeprocessen som bakom ligger bakom räknandet.

Denna tankeprocess kallas för abstraktion: Man bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).

Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet tal. Läs mer om abstraktion på länken nedan:

Abstraktion

Fig111.gif \( \qquad \) \( \qquad \)
Läs här om abstraktion.
Abstraktion

Olika typer av tal

Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal,

de positiva heltalen:\(\qquad\qquad\qquad\qquad\)Positiva tal 16.gif

Så räknar vi antal objekt i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Alla dessa tal är \( \, > 0 \),

medan själva \( \, 0 \, \) får man först genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra,

t.ex. \( \, 4 - 4 = 0 \, \). Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och \( 0 \), kallad:

Naturliga tal:       Naturliga tal 16.gif

Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex.

\( \, 4 - 5 = -1 \). Så uppstår ytterligare en ny talmängd:

Heltal:       Heltal 16.gif

Division av två heltal med varandra, t.ex. \( \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, \) leder till tal i bråkform, även kallade:

     Lökmodell:

De olika taltyperna är delmängder av varandra.


Taltypera 3red.jpg
Rationella tal:       Rationella tal 60.jpg

Rationella tal är tal i bråkform och kan alltid skrivas i decimalform. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform.

Exempel:   Drar man roten ur \( \, 2 \, \) kommer man till: \( \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \)

\( \sqrt{2} \, \) kan inte anges i bråkform \(-\) är inget rationellt tal \(-\) därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).

Sådana tal kallas för irrationella tal och är decimaltal med en oändlig icke-periodisk decimalutveckling. \( \sqrt{2} \, \), \( \sqrt{3} \, \) och talet \( \, \pi \, \) är exempel på irrationella tal.

Matematiskt exakt talat, är \( \, \sqrt{2} \, \) gränsvärdet (limes) av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig \( \, \sqrt{2} \). Gränsvärdet själv är inte längre rationellt. Därför inför man en ny talmängd, de irrationella talen.

Följande ny taltyp uppstår:

Reella tal:              De rationella talen tillsammans med alla irrationella.

Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen.

Löser man t.ex. ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) får man \( \; x = \sqrt{-1} \) som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger \( \, -1 \). Vi säger: ekvationen saknar reell lösning.

För att lösa detta dilemma införs en ny symbol \( \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; \) med egenskapen \( \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; \) med vars hjälp den nya talmängden definieras:

Komplexa tal:       Alla tal av formen \( \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad \) med \( \quad a, b \; = \; \) reella tal.

Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet \(-\) fast på högre nivå. Symbolen \( \, {\color{Red} i} \, \) är ett exempel på en sådan abstraktion.


Vårt talsystem \(-\) det decimala positionssystemet

Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av abstraktion, ändå en konkret form som alla förstår.

Man pratar om representation av tal. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. decimala positionssystemet. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder.

Det har visat sig genom historien att detta är det enklaste sättet att representera tal. Det känns naturligt att ta sina \( \, 10 \, \) fingrar till hjälp när man räknar i huvudet, vilket endast är möjligt om talsystemet är decimalt:

Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen \( \, 10 \, \) (på latin: deci). Det finns andra talsystem som bygger på andra baser vilket tas upp i avsnittet Talsystem med olika baser.

I det decimala positionssystemet används siffrorna \( \; \) Siffrorna 0-9 16.gif \( \; \) för att skriva alla tal.

Så kan alla tal större än \( \, 9 \, \), alla negativa tal samt alla decimaltal skrivas med hjälp av de första \( \, 10 \, \) naturliga talen (med minustecknet och decimalkommat). Detta blir möjligt genom att ge siffrorna \( \, 0\)-\( \, 9\):s position i talen ett visst värde.

Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer siffrornas värde.

I det decimala positionssystemet har varje position ett \( \, 10 \, \) gånger större värde än positionen till höger.


Praktiska slutsatser ur denna regel

\[ 235 \, \cdot \, 10 \, = \, 2\,35{\color{Red}0} \]
\[ 235 \, \cdot \, 100 \, = \, 23\,5{\color{Red}{00}} \]
\[ 235 \, \cdot \, 1000 \, = \, 235\,{\color{Red}{000}} \]

Att multiplicera med \( \, 10 \, \) innebär att förstora med faktorn \( \, 10 \). För heltal innebär det att lägga till \( \, {\color{Red}0} \, \) till höger om talet.

Att multiplicera med \( \, 100 \, \) innebär att förstora med faktorn \( \, 100 \). För heltal innebär det att lägga till \( \, {\color{Red}{00}} \, \) till höger om talet.

Att multiplicera med \( \, 1000 \, \) innebär att förstora med faktorn \( \, 1\,000 \). För heltal innebär det att lägga till \( \, {\color{Red}{000}} \, \) till höger om talet. Osv.

När vi behandlar decimaltal kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad.

De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar:


Följande exempel visar hur en siffras position bestämmer dess värde:

  • ental
  • tiotal
  • hundratal
  • tusental
  • tiotusental
  • hundratusental osv.

Exempel 1

Skriv talet \( \, 7\,142 \, \) som en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser".

Ange även talets entals-, tiotals-, hundratals- och tusentalssiffra. Förklara varför vårt talsystem är decimalt.

Lösning:

Fig112bk.jpg


Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med \( \, 10\)-potenser läs avsnittet om Potenser. Kom speciellt ihåg att \( \, 10^0 \, = \, 1 \, \) enligt potenslagarna.

Siffran \( \, 2 \, \) i talet \( \, 7\,142 \, \) är talets ental och har det minsta värdet, nämligen \( \, 2 \cdot 1 = 2 \). Sedan följer de andra med stigande värden.

Nästa siffra \( \, 4 \, \) till vänster är talets tiotal och har värdet \( \, 4 \cdot 10 = 40 \).

Nästa siffra \( \, 1 \, \) till vänster är talets hundratal och har värdet \( \, 1 \cdot 100 = 100 \).

Siffran \( \, 7 \, \) längst till vänster är talets tusental och har det högsta värdet, nämligen \( \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 \).


Exempel 2

Ange siffrornas värde i talet \( \, 312 \). Beräkna talets värde utgående från siffrornas värden.

Skriv även talet som en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser".

Lösning:

Första siffran \( \, 3 \, \) är pga sin position ett hundratal och har därför värdet värdet \( \, 3 \cdot 100 \) dvs \( \, 300 \).

Siffran \( \, 1 \, \) är ett tiotal och har därför värdet \( \, 1 \cdot 10 \, \) dvs \( \, 10 \, \).

Siffran \( \, 2 \, \) är ett ental och har därför värdet \( \, 2 \cdot 1 \, \) dvs \( \, 2 \, \).

Siffran \( \, 2 \, \) är ett ental och har därför värdet \( \, 2 \cdot 1 \, \) dvs \( \, 2 \, \).

Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till \( \, 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, \). Mera utförligt:

\[ {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 \,= \,{\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, \]


Man säger att \( \, {\color{Red} {312}} \, \) är ett sätt \(-\) det decimala positionssystemets sätt \(-\) att representera dvs visa talets värde.

I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för \( \, 100 \, \) skrivit \( \, 10^2 \, \), vilket betyder \( \, 10 \cdot 10 \, \), istället för \( \, 10 \, \) skrivit \( \, 10^1 \, \) och istället för \( \, 1 \, \) skrivit \( \, 10^0 \, \). Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen \( \, 10 \). På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas \(-\) bara att basen \( \, 10 \, \) byts ut mot andra baser.

Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:


Exempel 3

Ange talet \( \, 5\,689 \, \) som en summa av termer med \( \, 10\)-potenser.

Lösning:

\[{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0\]


Här en uppgift av en annan typ:


Exempel 4

Siffrorna i talet \( \, 96\,038 \, \) ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt.

Lösning:

De två siffrorna närmast \( \, 4 \, \) (första siffran i \( \, 40\,000\)) är \( \, 3 \, \) och \( \, 6 \, \).
Om vi börjar med siffran \( \, 6 \, \) skulle den ge värdet \( \, 60\,000 \, \) som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare \( \, 40\,000 \, \). Därför bestämmer vi oss att stanna under \( \, 40\,000 \, \), då blir den första siffran i det tal vi söker, \( \, 3 \, \). Då får vi \( \, 30\,000 \, \).
För att komma så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen \( \, 9 \, \). Då får vi \( \, 39\,000 \, \). Den näst största siffran är \( \, 8 \, \). Då blir det \( \, 39\,800 \, \). Slutligen är bara \( \, 6 \, \) och \( \, 0 \, \) kvar, så att det blir \( \, 39\,860 \, \).


Summa \(-\) Differens \(-\) Produkt \(-\) Kvot

De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkneoperationer. Deras resultat kallas för:


Summa   =   resultat av addition:

\( \;\; 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} \)

Differens   =   resultat av subtraktion:

\( \;\; 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} \)

Produkt   =   resultat av multiplikation:

\( \;\; 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;} \) faktorer \( {\rm\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} \)

Kvot   =   resultat av division:

\( \;\; 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} \)


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=slqBCVthYKQ

http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm

https://www.mathsisfun.com/associative-commutative-distributive.html

http://www.1728.com/arith.htm

http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php





Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Om_tal&oldid=29292"