Skillnad mellan versioner av "1.1 Fördjupning till Polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(354 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2|Repetitioner]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
 
{{Selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Extrauppgifter till Polynom|Extrauppgifter]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa demoavsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
−
== En familj av polynom ==
 
  
−
Ett polynoms grad är ett mått på dess kompexitet.  
+
<!-- [[Media: Lektion_3_Polynom_Ruta_a.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Polynom</span></strong>]]
  
−
Ett exempel på hur kompexiteten växer med graden (från 0 till 5) är följande sex polynom vars grafer är ritade i samma koordinatsystem:
+
[[Media: Lektion 4 Polynom Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 4 Polynom: Fördjupning</span></strong>]] -->
  
−
[[Image: Chebyshev_Polyn_2nd Formler.jpg]]
+
== <b><span style="color:#931136">Polynomfunktioner av högre grad</span></b> ==
 +
<big>
 +
När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg <math> \, y \, </math> bildas en <strong><span style="color:red">polynomfunktion</span></strong>. I Matte 1-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ<span style="color:black">:</span>
  
−
De nedsänkta indexen <math>_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5</math> i beteckningarna <math>U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,</math> används här för att sedan kunna skriva en formel som genererar denna familj av polynom.
+
:::<math> y = 4\,x + 12 </math>  
  
−
[[Image: Chebyshev_Polyn_2nd_60.jpg]]
+
Till höger om likhetstecknet står ett polynom där <math> \, x \, </math> förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten <math> \, 1 \, </math>. Därför kallas <math> \, 4\,x \, </math> polynomets linjära term. Polynomets konstanta term är <math> \, 12 </math>. Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte 2-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ<span style="color:black">:</span>
  
−
Man ser att kurvorna får fler maxima/minima ju högre deras grad är.
+
:::<math> y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 </math>
  
−
Dessa polynom heter [http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html Chebyshevpolynom av 2:a slag] efter den ryske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Pafnuty_Chebyshev Chebyshev] som presenterade dem 1854. De är relaterade till varandra med följande formel, kallad <span style="color:red">rekursionsformel</span>:
+
Här är graden <math> \, 2 </math>. Den kvadratiska termen är <math> \, 3\,x^2 \, </math>, den linjära termen <math> \, 5\,x\, </math> och den konstanta termen <math> \, -16 </math>. Grafen till denna 2:a gradfunktion är en parabel. Dessa funktioner kallas polynomfunktioner därför att uttrycken till höger om likhetstecken är polynom, dvs summor av termer där exponenterna till <math> \, x</math>-potenserna är positiva heltal eller <math> \, 0 </math>. I Matte 3-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än <math> \, 2 </math>.
 +
</big>
  
−
:::::::::::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
 
  
−
:::::::::::<math> U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x </math>
+
<div class="exempel">
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på polynomfunktion av högre grad</span></b> ===
 +
<big>
 +
Vi tar som exempel följande 4:e gradspolynomfunktion:
  
−
Om vi tittar på tabellen ovan ser man att polynomen <math>U_n(x)\,</math> bildar en följd där varje polynom har ett index n. Formeln ovan ger oss möjligheten att ta fram Chebyshevpolynomen successivt, dvs vi kan ställa upp ett polynom med hjälp av de två föregående. I princip kan man ställa upp alla Chebyshevpolynom med denna formel utgående från de två första som är givna. Låt oss börja med att ställa upp det tredje (OBS! n = 2) med hjälp av de två första (n = 0 och 1):
+
:::<math> y = x^4 - 29\;x^2 + 100 </math>
  
−
<math> \displaystyle U_0(x) = \underline{1} </math>
+
vars graf till höger är mer komplicerad än en parabel.
  
−
<math> U_1(x) = \underline{2\,x} </math>
+
Den har framför allt fler minima, maxima och nollställen.
  
−
För n = 2 ger formeln ovan:
+
Funktionens fyra nollställen är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} </math>
+
:::<math> x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 </math>
 +
</big>
 +
</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: 4-e_gradspolynom_70_70.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
</div> <!-- exempel -->
  
−
Sedan kan vi få fram <math> U_3(x) </math> genom att att sätta in n = 3 i formeln ovan:
 
  
−
<math> U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} </math>
+
== <b><span style="color:#931136">En familj av högre grads polynomfunktioner</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ett polynoms grad är ett mått på dess komplexitet: Ju högre grad, desto oftare svänger kurvorna och desto fler maxima/minima har de. Här ser man sex polynom vars grafer är ritade i samma koordinatsystem:
  
−
För n = 4 ger formeln ovan <math> U_4(x) </math> osv.:
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Chebyshev_Polyn_2nd Formler.jpg]]</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Chebyshev_Polyn_2nd_60a.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table></big>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Polynom av <math> n</math>-te grad har <math> n-1  </math> svängningar (maxima/minima):</span></b> ===
 +
<big>
 +
<math> U_5(x) </math> (svart kurva) är av <math> 5</math>:e grad och har <math> 4  </math> svängningar (maxima/minima).
  
−
<math> U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} </math>
+
<math> U_4(x) </math> (gul kurva) är av <math> 4</math>:e grad och har <math> 3  </math> svängningar (maxima/minima).
  
−
Så här kan man fortsätta för att få fram alla Chebyshevpolynom. Eftersom formeln som används bygger på att beräkna ett polynom från de två föregående kallar man den för polymens rekursionsformel. Man kan säga att följden av Chebyshevpolynomen definieras och genereras av rekursionsformeln ovan.
+
<math> U_3(x) </math> (grön kurva) är av <math> 3</math>:e grad och har <math> 2  </math> svängningar (maxima/minima).
  
−
== Jämförelse av koefficienter ==
+
<math> U_2(x) </math> (blå kurva) är av <math> 2</math>:a grad och har <math> 1  </math> svängning (maxima/minima).
  
−
Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som används i olika sammanhang. Vi kommer att använda den för att i nästa avsnitt faktorisera polynom och med hjälp av faktorisering lösa ekvationer av högre grad än 2. Vi ska börja med att definiera likhet mellan polynom.
+
Dessa polynom kallas för [http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html <b><span style="color:blue">Chebyshevpolynom</span></b>] efter den ryske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Pafnuty_Chebyshev <b><span style="color:blue">Chebyshev</span></b>] som definierade dem 1854 med följande s.k.
 +
</big>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Rekursionsformel</span></b> ===
  
−
Med likhet mellan polynom menar man en algebraisk identitet mellan polynomen. Två polynom av samma grad:
+
<div class="border-divblue">
 +
<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
  
−
:::<math> P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 </math>
+
<math> U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x </math>
 +
</div>
  
−
och
 
  
−
:::<math> Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 </math>
+
<div class="exempel">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Användning av rekursionsformeln</span></b> ===
 +
<big>
 +
Ställ upp de Chebyshevpolynomen <math> \, U_2, \, U_3, \, U_4\,</math> med hjälp av de två första <math> \, U_0, \, U_1 </math>.
  
−
är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer, närmare bestämt om:
+
::<math> \displaystyle U_0(x) = \underline{1} </math>
  
−
::::<math> a_n = b_n, \quad a_{n-1} = b_{n-1}, \quad \ldots \quad a_1 = b_1, \quad a_0 = b_0 </math>
+
::<math> U_1(x) = \underline{2\,x} </math>
  
−
===== Exempel 1 =====
+
För <math>n = 2\,</math> ger rekursionsformeln<span style="color:black">:</span>
  
−
Två polynom är givna:
+
::<math> U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} </math>
  
−
<math> P(x) = a \cdot x + 2\,a + b </math>
+
Sedan kan vi få fram <math> U_3(x) </math> genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> Q(x) = 2\,x + 1\!\, </math>.
+
::<math> U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} </math>
  
−
Låt <math> a\, </math> och <math> b\, </math> vara konstanter medan <math> x\, </math> är polynomens oberoende variabel.
+
För <math>n = 4\,</math> ger rekursionsformeln <math> U_4(x) </math> osv.<span style="color:black">:</span>
  
−
För vilka värden på <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är de två polymen lika med varandra?
+
::<math> U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} </math>
 +
</big></div>
  
−
Vi skriver <math> P(x),\, </math> och <math> Q(x)\, </math> så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter:
 
  
−
<math> P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 </math>
+
<big>
 +
De nedsänkta [[1.1_Polynom#Allm.C3.A4n_definition|<b><span style="color:blue">indexen</span></b>]] <math>_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5</math> i beteckningarna <math>U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,</math> används både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna definiera dem med rekursionsformeln.
  
−
<math> Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 </math>
+
<b><span style="color:red">Rekursion</span></b> är ett koncept som används för att få fram resultat genom <b><span style="color:red">successiv upprepning</span></b> av beräkningar.
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1\, </math> leder till:
+
Rekursionsformeln ger oss möjligheten att ställa upp ett Chebyshevpolynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen <math> \, U_0, \, U_1 \, </math> är explicit angivna i rekursionsformelns andra rad. Det tredje Chebyshevpolynomet <math>U_2\,</math> får man genom att sätta in <math> \, U_0, \, U_1 \,</math> i rekursionsformelns högerled. Det fjärde Chebyshevpolynomet <math> \, U_3 \, </math> får man genom att sätta in <math> \, U_1, \, U_2 \, </math> i högerledet. <math>U_4\,</math> får man genom att sätta in <math> \, U_2, \, U_3 \,</math> i högerledet osv.
 +
</big>
  
−
<math> a = 2\,</math>
 
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \,</math> leder till:
+
== <b><span style="color:#931136">Jämförelse av koefficienter</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
  
−
<math> 2\,a + b = 1\!\,</math>  
+
Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som vi kommer att använda för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera polynom av högre grad än 2, se [[1.1 Övningar till Polynom#Övning 10|<strong><span style="color:blue">övningarna 10-12</span></strong>]]. Metoden bygger på begreppet likhet mellan polynom.
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-divblue"> <!-- border-div2 -->
 +
<big>
 +
<strong>Definition:</strong> <math> \quad </math> <span style="color:red">Två polynom</span>
 +
 
 +
:::::<math> \; P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 </math>
 +
 
 +
:::::<math> \; Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 </math>
 +
 
 +
<span style="color:red">är lika med varandra</span> om de har samma grad och om alla deras motsvarande koefficienter, dvs om<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::::<math> \; a_n = b_n, \qquad a_{n-1} = b_{n-1}, \qquad \ldots \qquad a_1 = b_1, \qquad a_0 = b_0 </math>
 +
</big>
 +
</div> <!-- border-divblue -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel12"> <!-- exempel3 -->
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
 
 +
Följande två polynom är givna där <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är konstanter medan <math> x\, </math> är polynomens oberoende variabel<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math> P(x) = a \cdot x + 2\,a + b </math>
 +
 
 +
::<math> Q(x) = 2\,x + 1\!\, </math>
 +
 
 +
För vilka värden på <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är de två polynomen lika med varandra?
 +
 
 +
'''Lösning:'''
 +
 
 +
Vi skriver <math> P(x),\, </math> och <math> Q(x)\, </math> så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math> P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 </math>
 +
 
 +
::<math> Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 </math>
 +
 
 +
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1\, </math> leder till<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math> a = 2\,</math>
 +
 
 +
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \,</math> leder till<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math> 2\,a + b = 1\!\,</math>  
  
 
Sätter man in <math> a = 2\, </math> i denna relation får man <math> b = -3\, </math>.
 
Sätter man in <math> a = 2\, </math> i denna relation får man <math> b = -3\, </math>.
  
−
Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för:
+
Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> a = 2\, </math>  
+
::<math> a = 2\, </math>  
  
−
<math> b = -3\, </math>
+
::<math> b = -3\, </math>
 +
</div> <!-- exempel3 -->
  
−
Metoden kallas <span style="color:red">jämförelse av koefficienter</span> och är ett viktigt verktyg för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera högre gradspolynom, se [[1.2 Övningarna 10 och 11|övningarna 10 och 11]].
 
  
−
===== Exempel 2 =====
+
<div class="exempel12"> <!-- exempel4 -->
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2 Polynomdivision</span> ===
  
−
'''Problem:''' Följande 3:e gradspolynom är givet: <math> P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 </math>
+
Utför polynomdivisionen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) </math>
  
−
Hitta ett 2:a gradspolynom <math> Q(x)\, </math> så att:
+
En annan formulering av uppgiften är:
  
−
::::::::<math> Q(x)\cdot (x-2) = P(x) </math>
+
Hitta ett 2:a gradspolynom <math> \, Q(x)\, </math> så att <math> \, Q(x)\cdot (x-2) = P(x) </math>,
  
−
'''Svar:''' <math> Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
+
där <math> \, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 </math>.
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
Det 2:a gradspolynomet <math> Q(x)\, </math> kan skrivas så här: <math> Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>  
+
Det 2:a gradspolynomet <math> Q(x)\, </math> kan skrivas så här<span style="color:black">:</span>
  
−
Vi bestämmer koefficienterna <math> a\, , \, b\, </math> och <math> c\, </math> så att <math> Q(x)\cdot (x-2) = P(x) </math>
+
::<math> Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>  
  
−
<math>\begin{align} Q(x) \cdot (x - 2) & = (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) = a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c = \\
+
Vi bestämmer koefficienterna <math> a\, , \, b\, </math> och <math> c\, </math> så att <math> {\color{White} x} Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) </math><span style="color:black">:</span>
−
                                      & = a\,x^3 + (b - 2\,a)\,x^2 + (c - 2\,b)\,x - 2\,c = \\
+
−
                                      & = a \cdot x^3 + (b - 2\,a) \cdot x^2 + (c - 2\,b) \cdot x - 2\,c \cdot x^0  \\
+
−
                                  P(x) & = 1 \cdot x^3  + \quad\;\; 4 \quad\;\; \cdot x^2  + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0
+
−
\end{align} </math>
+
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger:
+
::<math>\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\
 +
                                              & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c                      & = \\
 +
                                              & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c                        & = \\
 +
                                              & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 &  \\
 +
                            P(x)              & = & 1 \cdot x^3  + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2  + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0
 +
\end{array} </math>
  
−
:::::<math>\begin{align}        a & = 1
+
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
−
        \end{align} </math>
+
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger:
+
::::<math> a = 1 </math>
  
−
:::<math>\begin{align} b - 2\,   a & = 4  \\
+
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
−
                      b - 2\cdot 1 & = 4  \\  
+
 
−
                            b - 2 & = 4  \\
+
::<math>\begin{align} -2\,a + b    & = 4  \\
 +
                      -2\cdot 1 + b & = 4  \\  
 +
                            - 2 + b & = 4  \\
 
                                 b  & = 6  \\
 
                                 b  & = 6  \\
 
         \end{align} </math>
 
         \end{align} </math>
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math>-termen ger:
+
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>\begin{align} -2\,b + c & = 1  \\
 +
                  -2\cdot 6 + c & = 1  \\
 +
                        -12 + c & = 1  \\
 +
                              c & = 13  \\
 +
        \end{align} </math>
 +
 
 +
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \, </math>-termen bekräftar värdet på <math> c \, </math><span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>\begin{align} - 2\,c & = - 26  \\
 +
                          c & = 13    \\
 +
        \end{align} </math>
 +
 
 +
Vi får <math> a = 1\, , \, b = 6\, </math> och <math> c = 13\, </math> och därmed<span style="color:black">:</span> <math> \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
 +
 
 +
 
 +
Alltså är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13</math>
 +
</div> <!-- exempel4 -->
 +
 
 +
 
 +
=== <b><span style="color:#931136">Anmärkningar</span></b> ===
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
* De flesta läroböcker behandlar <b><span style="color:red">polynomdivision</span></b> genom att direkt dividera polynomen med varandra och därvid använda olika, speciella uppställningstekniker som alla är lite besvärliga. Jämförelse av koefficienter är en generell metod, inte bara för polynomdivision utan även för faktorisering av polynom samt för andra problem, där ett polynom är efterfrågad, t.ex. när ett polynom är lösningen till en algebraisk eller en differentialekvation. Man får mer insikt i polynomens struktur.
 +
 
 +
* I litteraturen förekommer även ett annat namn för den metod som beskrevs ovan. Istället för [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#J.C3.A4mf.C3.B6relse_av_koefficienter|<b><span style="color:blue">jämförelse av koefficienter</span></b>]] som vi använder pratar man om <b><span style="color:red">metoden med obestämda koefficienter</span></b> (eng.: the method of undetermined coefficients). Med obestämda koefficienter menar man den ansats som man i början gör med obestämda koefficienter som man sedan bestämmer under metodens gång.
 +
 
 +
</div> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
:::<math>\begin{align} c - 2\,    b & = 1  \\
 
−
                      c - 2\cdot 6 & = 1  \\
 
−
                            c - 12  & = 1  \\
 
−
                                c  & = 13  \\
 
−
        \end{align} </math>
 
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 </math>-termen bekräftar värdet på c:
 
  
−
:::;:<math>\begin{align} - 2\,c    & = - 26  \\
 
−
                                c  & = 13    \\
 
−
        \end{align} </math>
 
  
−
Vi får <math> a = 1\, , \, b = 6\, </math> och <math> c = 13\, </math> och därmed:
 
  
−
<math> Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 5 november 2021 kl. 09.31

       Repetitioner          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


Polynomfunktioner av högre grad

När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg \( \, y \, \) bildas en polynomfunktion. I Matte 1-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 4\,x + 12 \]

Till höger om likhetstecknet står ett polynom där \( \, x \, \) förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten \( \, 1 \, \). Därför kallas \( \, 4\,x \, \) polynomets linjära term. Polynomets konstanta term är \( \, 12 \). Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte 2-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ:

\[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

Här är graden \( \, 2 \). Den kvadratiska termen är \( \, 3\,x^2 \, \), den linjära termen \( \, 5\,x\, \) och den konstanta termen \( \, -16 \). Grafen till denna 2:a gradfunktion är en parabel. Dessa funktioner kallas polynomfunktioner därför att uttrycken till höger om likhetstecken är polynom, dvs summor av termer där exponenterna till \( \, x\)-potenserna är positiva heltal eller \( \, 0 \). I Matte 3-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än \( \, 2 \).


Exempel på polynomfunktion av högre grad

Vi tar som exempel följande 4:e gradspolynomfunktion:

\[ y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

vars graf till höger är mer komplicerad än en parabel.

Den har framför allt fler minima, maxima och nollställen.

Funktionens fyra nollställen är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen:

\[ x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 \]

            4-e gradspolynom 70 70.jpg


En familj av högre grads polynomfunktioner

Ett polynoms grad är ett mått på dess komplexitet: Ju högre grad, desto oftare svänger kurvorna och desto fler maxima/minima har de. Här ser man sex polynom vars grafer är ritade i samma koordinatsystem:

            Chebyshev Polyn 2nd Formler.jpg                         Chebyshev Polyn 2nd 60a.jpg

Polynom av \( n\)-te grad har \( n-1 \) svängningar (maxima/minima):

\( U_5(x) \) (svart kurva) är av \( 5\):e grad och har \( 4 \) svängningar (maxima/minima).

\( U_4(x) \) (gul kurva) är av \( 4\):e grad och har \( 3 \) svängningar (maxima/minima).

\( U_3(x) \) (grön kurva) är av \( 3\):e grad och har \( 2 \) svängningar (maxima/minima).

\( U_2(x) \) (blå kurva) är av \( 2\):a grad och har \( 1 \) svängning (maxima/minima).

Dessa polynom kallas för Chebyshevpolynom efter den ryske matematikern Chebyshev som definierade dem 1854 med följande s.k.

Rekursionsformel

\( U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \)

\( U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x \)


Användning av rekursionsformeln

Ställ upp de Chebyshevpolynomen \( \, U_2, \, U_3, \, U_4\,\) med hjälp av de två första \( \, U_0, \, U_1 \).

\[ \displaystyle U_0(x) = \underline{1} \]
\[ U_1(x) = \underline{2\,x} \]

För \(n = 2\,\) ger rekursionsformeln:

\[ U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} \]

Sedan kan vi få fram \( U_3(x) \) genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln:

\[ U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} \]

För \(n = 4\,\) ger rekursionsformeln \( U_4(x) \) osv.:

\[ U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} \]


De nedsänkta indexen \(_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5\) i beteckningarna \(U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,\) används både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna definiera dem med rekursionsformeln.

Rekursion är ett koncept som används för att få fram resultat genom successiv upprepning av beräkningar.

Rekursionsformeln ger oss möjligheten att ställa upp ett Chebyshevpolynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen \( \, U_0, \, U_1 \, \) är explicit angivna i rekursionsformelns andra rad. Det tredje Chebyshevpolynomet \(U_2\,\) får man genom att sätta in \( \, U_0, \, U_1 \,\) i rekursionsformelns högerled. Det fjärde Chebyshevpolynomet \( \, U_3 \, \) får man genom att sätta in \( \, U_1, \, U_2 \, \) i högerledet. \(U_4\,\) får man genom att sätta in \( \, U_2, \, U_3 \,\) i högerledet osv.


Jämförelse av koefficienter

Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som vi kommer att använda för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera polynom av högre grad än 2, se övningarna 10-12. Metoden bygger på begreppet likhet mellan polynom.


Definition: \( \quad \) Två polynom

\[ \; P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]
\[ \; Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 \]

är lika med varandra om de har samma grad och om alla deras motsvarande koefficienter, dvs om:

\[ \; a_n = b_n, \qquad a_{n-1} = b_{n-1}, \qquad \ldots \qquad a_1 = b_1, \qquad a_0 = b_0 \]


Exempel 1

Följande två polynom är givna där \( a\, \) och \( b\, \) är konstanter medan \( x\, \) är polynomens oberoende variabel:

\[ P(x) = a \cdot x + 2\,a + b \]
\[ Q(x) = 2\,x + 1\!\, \]

För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) är de två polynomen lika med varandra?

Lösning:

Vi skriver \( P(x),\, \) och \( Q(x)\, \) så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter:

\[ P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 \]
\[ Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1\, \) leder till:

\[ a = 2\,\]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \,\) leder till:

\[ 2\,a + b = 1\!\,\]

Sätter man in \( a = 2\, \) i denna relation får man \( b = -3\, \).

Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för:

\[ a = 2\, \]
\[ b = -3\, \]


Exempel 2 Polynomdivision

Utför polynomdivisionen: \( \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \)

En annan formulering av uppgiften är:

Hitta ett 2:a gradspolynom \( \, Q(x)\, \) så att \( \, Q(x)\cdot (x-2) = P(x) \),

där \( \, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 \).

Lösning:

Det 2:a gradspolynomet \( Q(x)\, \) kan skrivas så här:

\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

Vi bestämmer koefficienterna \( a\, , \, b\, \) och \( c\, \) så att \( {\color{White} x} Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) \):

\[\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\ & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c & = \\ & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c & = \\ & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 & \\ P(x) & = & 1 \cdot x^3 + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0 \end{array} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^3 \)-termen ger:

\[ a = 1 \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^2 \)-termen ger:

\[\begin{align} -2\,a + b & = 4 \\ -2\cdot 1 + b & = 4 \\ - 2 + b & = 4 \\ b & = 6 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \)-termen ger:

\[\begin{align} -2\,b + c & = 1 \\ -2\cdot 6 + c & = 1 \\ -12 + c & = 1 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \, \)-termen bekräftar värdet på \( c \, \):

\[\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Vi får \( a = 1\, , \, b = 6\, \) och \( c = 13\, \) och därmed: \( \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \)


Alltså är: \( \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13\)


Anmärkningar

  • De flesta läroböcker behandlar polynomdivision genom att direkt dividera polynomen med varandra och därvid använda olika, speciella uppställningstekniker som alla är lite besvärliga. Jämförelse av koefficienter är en generell metod, inte bara för polynomdivision utan även för faktorisering av polynom samt för andra problem, där ett polynom är efterfrågad, t.ex. när ett polynom är lösningen till en algebraisk eller en differentialekvation. Man får mer insikt i polynomens struktur.
  • I litteraturen förekommer även ett annat namn för den metod som beskrevs ovan. Istället för jämförelse av koefficienter som vi använder pratar man om metoden med obestämda koefficienter (eng.: the method of undetermined coefficients). Med obestämda koefficienter menar man den ansats som man i början gör med obestämda koefficienter som man sedan bestämmer under metodens gång.





Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Fördjupning_till_Polynom&oldid=29234"