Skillnad mellan versioner av "1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(220 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
 
{{Selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 9 Kontin. & diskreta funktioner Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 9 Kontinuerliga & diskreta funktioner</span></b>]] -->
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 +
I genomgången sades att kontinuerlig betydde sammanhängande.
  
−
[[Media: Lektion 8 Kontin. & diskreta funktioner Ruta.pdf|Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner]]
+
Som [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2_Kontinuerlig_funktion|<b><span style="color:blue">exempel</span></b>]] på en kontinuerlig funktion ritades grafen till en linjär funktion med en sammanhängande rät linje. Kontinuerliga funktioners grafer kan man rita utan att lyfta pennan. Allt detta är fortfarande sant, men sådana resonemang är intuitiva.
  
−
__TOC__
+
Här följer en mer exakt matematisk definition för när en funktion är kontinuerlig och när den är diskontinuerlig:
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition för kontinuerliga funktioner</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
  
−
== Allmän definition ==
 
  
−
I teoridelen sade vi att kontinuerlig betydde sammanhängande (motsatsen till diskret).
+
<div class="border-divblue">
 +
En funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är &nbsp; <b><span style="color:red">kontinuerlig för</span></b> <math> {\color{Red} {x = a}} </math> &nbsp; om den är definierad för <math> \, x = a \, </math> och om<span style="color:black">:</span>
  
−
Som exempel ritade vi grafen till en enkel linjär funktion med en genomdragen linje. Man kunde rita den utan att lyfta pennan. Vi kallade den kontinuerlig därför att dess definitionsmängd var kontinuerlig. Som exempel på kontinuerliga mängder nämnde vi de rationella och reella talen. Som ytterligare exempel på kontinuerliga funktioner nämndes [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Polynomfunktioner|<strong><span style="color:blue">polynomfunktionerna</span></strong>]], se grafen [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Polynomfunktioner|<strong><span style="color:blue">där</span></strong>]].
+
::::<math> f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a </math>
  
−
Allt detta är sant. Men förhållandena i tillämpningarna är ofta mer komplicerade än så. I vissa fall kan vi med verktygen ovan inte avgöra om en funktion är kontinuerlig. Vi behöver en exakt definition.
+
Om däremot <math> \, f(x) \, </math> är definierad för <math> \, x = a \, </math>, men <math> f(x) </math> <b><span style="color:red">inte</span></b> <math> \to f(a) \; {\rm när} \; x \to a </math>
  
−
Diskreta funktioner är enkelt att identifiera: 1) Diskret definitionsmängd, i regel heltalen. 2) Åtskilda punkter som graf. Därför koncentrerar vi oss här på kontinuerliga funktioner.
+
är funktionen <b><span style="color:red">diskontinuerlig i <math> \, x = a </math></span></b>.
 +
</div>
  
−
----
 
−
'''Definition''':
 
−
::::<big> En funktion <math> y = f(x)\, </math> är <strong><span style="color:red">kontinuerlig för</span></strong> <math> {\color{Red} x = a}\, </math> om: </big>
 
  
−
::::::::<math> f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a </math>
+
Läs den andra raden i definitionen så här<span style="color:black">:</span> <math> \; {\rm " }f(x) \, </math> går mot <math> f(a)\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> a \, {\rm "} </math>.
  
 +
Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig <b><span style="color:red">för ett visst</span></b> <math> {\color{Red} x}\, </math><b><span style="color:red">-värde</span></b> nämligen för <math> {\color{Red} {x = a}}\, </math>.
  
−
----
+
Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla <math> \, x\, </math>. Då måste även kontinuitet prövas för varje <math> \, x\, </math>.
 +
</div> <!-- tolv2 -->
  
  
−
Den andra raden i definitionen läses så här <math> {\color{White} x} f(x)\, </math> går mot <math> f(a)\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> a </math>.
+
<div class="ovnC">  
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ====
  
−
Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig <strong><span style="color:red">för ett visst</span></strong> <math> {\color{Red} x}\, </math><strong><span style="color:red">-värde</span></strong> nämligen för <math> {\color{Red} x = a}\, </math>. Det finns ingen föreskrift för att avgöra om en funktion i sin helhet är kontinuerlig. Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla <math> x\, </math>.
+
Låt oss titta på följande rationell funktion:
  
 +
<div class="border-div"> <math> \displaystyle{y = {5 \over x \, - \, 1}} </math> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med grafen:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: y_5_div_x_1.jpg]]
  
−
==== Exempel 1 ====
 
  
−
Låt oss återuppta ett exempel som behandlades i [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Fördjupning till rationella uttryck</span></strong>]] nämligen funktionen:
+
<div class="exempel">
 +
<b><span style="color:#931136">a)</span></b> &nbsp; Är denna funktion kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math> enligt definitionen ovan?
  
−
::::::::<math> y = {1 \over x} </math>
+
Vi ersätter <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> i definitionen. Där stär: "... om den (funktionen) är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ."
  
−
Grafen ser ut så här:
+
Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
 +
<!--
 +
Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 1}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 </math>.
  
−
::[[Image: y=1_div_x_70.jpg]]
+
Vi kontrollerar detta både i funktionsuttrycket och i grafen: Låter vi <math> \, x \, </math> gå mot <math> \, 1 \, </math>, går <math> \, y\, </math> mot <math> +\infty </math> eller <math> -\infty </math>.
  
−
<strong><span style="color:red">a)</span></strong> Låt oss med hjälp av definitionen undersöka om den är kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 0}}\, </math>. Dvs vi ersätter i definitionen <math> a \, </math> med <math> 0 \, </math> och <math> f(x) \, </math> med <big><big><math> 1 \over x </math></big></big>. Enligt definitionen borde då:
+
Dvs <math> \, f(1) = \displaystyle{5 \over 1 \, - \, 1} </math> är inte ens definierad. Därmed är kontinuitetens krav inte uppfyllt.  
  
−
::::::::<math> {1 \over x} \to f(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
+
<b><span style="color:#931136">Slutsats:</span></b> &nbsp; Funktionen <math> \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är inte kontinuerlig för <math> \, x = 1 </math>.
−
+
-->
−
Men <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> kan inte gå mot <math> f(0)\, </math> därför att <math> f(0)\, </math> dvs <big><big><math> 1 \over 0 </math></big></big> inte är definierad. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt.
+
</div>
  
−
<u>Slutsats:</u> Funktionen <math> y = </math> <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>.
 
  
 +
<div class="exempel">
 +
<b><span style="color:#931136">b)</span></b> &nbsp; Är samma funktion kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 2}} \, </math> enligt definitionen ovan?
  
−
<strong><span style="color:red">b)</span></strong> Låt oss nu undersöka om funktionen är kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 2}}\, </math>. Vi ersätter i definitionen <math> a \, </math> med <math> 2 \, </math> och <math> f(x) \, </math> med <big><big><math> 1 \over x </math></big></big>. Enligt definitionen borde då:
+
I definitionen ersätter vi <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 2} </math> och <math> \, f(x) \, </math> med <math> \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math>.
  
−
::::::::<math> {1 \over x} \to {1 \over 2} \quad {\rm när} \quad x \to 2 </math>
+
Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 2}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(2) = \displaystyle{5 \over 2 \, - \, 1} = 5 \quad {\rm när} \quad x \to 2 </math>.
−
+
−
Närmar man sig <math> 2\, </math> på <math> x\, </math>-axeln, från höger eller från vänster, närmar sig <math> y\, </math> värdet <big><big><math> 1 \over 2 </math></big></big> i båda fall, därör att <math> f(2) = </math> <big><big><math> 1 \over 2 </math></big></big>. Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.
+
  
−
<u>Slutsats:</u> Funktionen <math> y = </math> <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är kontinuerlig för <math> x = 2\, </math>.
+
Vi kontrollerar detta i funktionsuttrycket: Låter vi <math> \, x \, </math> gå mot <math> \, 2 \, </math>, går <math> \, y \, </math> mot värdet <math> \, 5 </math>, och slutligen är <math> \, f(2) = 5 </math>.
  
 +
Detta visar också att <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} </math> är definierad för <math> \, x = 2\, </math>. Därmed är kontinuitetens krav uppfyllt.
  
−
På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra <math> {\color{Red} x}\, </math>. Det kommer att visa sig att:
+
<b><span style="color:#931136">Slutsats:</span></b> &nbsp; Funktionen <math> \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, x = 2\, </math>.
 +
</div>
  
−
----
 
  
−
::::::<big> Funktionen <math> y = </math> <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är kontinuerlig för alla <math> x \neq 0\, </math>. </big>
+
På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra <math> \, x </math>. Sammanfattningsvis blir resultatet:
  
−
----
 
−
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i <math> x=0\, </math> skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> + \infty\, </math>, den andra mot <math> - \infty\, </math>, annars är de sammanhängande.
 
  
 +
<div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 50px !important;
 +
padding:10px 20px 10px 20px;
 +
-webkit-border-radius: 5px;
 +
-moz-border-radius: 5px;
 +
border-radius: 5px;"> Funktionen <math> \; y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \; </math> är kontinuerlig för alla <math> \, x \, </math> där den är definierad, dvs för alla <math> \, x \, \neq \, 1 \, </math>.
 +
</div>
  
−
==== Exempel 2 ====
 
  
−
Inom datateknik används en funktion som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Heavisides_stegfunktion <strong><span style="color:blue">Heavisidefunktionen</span></strong>] och har följande graf:
+
Grafen visar samma resultat: Endast i <math> \, x \, = \, 1 \, </math> där funktionen inte är deifinierad, skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> \, + \infty\, </math>, den andra mot <math> \, - \infty\, </math>. I funktionens definitionsområde (alla <math> \, x \, \neq \, 1 \, </math>) är kurvan sammanhängande.
 +
</div> <!-- ovnE Exempel 1 -->
  
−
:::[[Image: Heaviside 80.jpg]]
 
  
−
De ihåliga ringarna vid <math> y = 1 \, </math> och <math> y = -1 \, </math> betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden.
 
  
−
Grafen visar en signal vars amplitud skiftar från 0 till 1 - en egenskap som liknar impulserna inom datornätverk med ettor och nollor. Funktionens skapare [http://sv.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside <strong><span style="color:blue">Oliver Heaviside</span></strong>] använde den för att modellera strömmen genom elektriska kretsar. 
+
<div class="ovnC">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Teckenfunktionen</span></b> ====
  
−
Heavisidefunktionen definieras genom:
+
Även kallad [https://sv.wikipedia.org/wiki/Signumfunktionen <b><span style="color:blue">Signumfunktionen</span></b>] som är definierad för <b>alla</b> reela tal <math> \, x \, </math>:
 +
<div class="border-div"><math>  y \, = \, sgn(x) \, = \, \begin{cases} -1                & \mbox{om } x < 0    \\
 +
                                                                      0                & \mbox{om } x = 0 \qquad x \;\mbox{reellt tal}  \\
 +
                                                                      1                & \mbox{om } x > 0
 +
                                                      \end{cases}
 +
                        </math> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med grafen:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Heaviside 80.jpg]]
  
−
::::<math>  H(x) \, = \, \begin{cases} -1                & \mbox{om } x < 0    \\
 
−
                                        0                & \mbox{om } x = 0 \qquad x \;\mbox{reellt tal}  \\
 
−
                                        1                & \mbox{om } x > 0
 
−
                        \end{cases}
 
−
    </math>
 
  
−
Precis som hos Fibonaccis funktion har man även här utnyttjat möjligheten att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt): 
+
De ihåliga ringarna i grafen vid <math> \, y = 1 \, </math> och <math> \, y = -1 \, </math> betyder att dessa värden <b>inte</b> tillhör funktionens värdemängd, dvs <math> \, sgn(0) \, \neq \, 1 \, </math> och <math> \, sgn(0) \, \neq \, -1 </math>.
  
−
::::<math>\begin{align}  H(\mbox{negativa tal}) & = -1  \\
+
Den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden, dvs <math> \, sgn(0) \, = \, 0 </math>.
−
                        H(0)                   & = 0  \\
+
−
                        H(\mbox{positiv tal})  & = 1
+
−
            \end{align}</math>
+
  
−
Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för <math> {\color{Red} x = 0}\, </math>. Enligt definitionen borde då:
+
Precis som hos Fibonaccis funktion är en och samma funktion definierad med olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd.  
  
−
::::::::<math> H(x) \to H(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>.
+
Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt): 
  
−
Närmar man sig <math> 0\, </math> på <math> x\, </math>-axeln från höger närmar sig <math> H(x)\, </math> värdet <math> 1\, </math>. Närmar man sig <math> 0\, </math> från vänster närmar sig <math> H(x)\, </math> värdet <math> -1\, </math>. Dvs <math> H(x) \to 1\, </math> och <math> \to -1\, </math>, när <math> x \to 0 </math>.
+
::::<math>\begin{array}{rcl}  sgn(\mbox{negativa}\; x) & = & -1 \\
 +
                              sgn(0)                   & = & 0  \\
 +
                              sgn(\mbox{positiva}\; x) & = & 1
 +
          \end{array}</math>
  
−
Men <math> H(0) = 0\, </math>. <math> H(x)\, </math> går dock inte mot <math> H(0) = 0\, </math>, när <math> x \to 0 </math>, vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>.
+
Dvs <math> \, sgn(x) \, </math> har för negativa <math> \, x \, </math> värdet <math> \, -1 \, </math>, för <math> \, x = 0 \, </math> värdet <math> \, 0 \, </math> och för positiva <math> \, x \, </math> värdet <math> \, 1 \, </math>.
  
−
Därmed är dfinitionens krav inte uppfyllt. Funktionen <math> H(x)\, </math> är inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>.
 
  
−
Undersökar man vidare kontinuiteten för andra <math> x\, </math> kommer det att visa sig att <math> H(x)\, </math> är kontinuerlig för alla andra <math> x\, </math>.
+
<div class="exempel">
 +
Låt oss nu med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition_f.C3.B6r_kontinuerliga_funktioner|<b><span style="color:blue">allmänna definitionen</span></b>]] för kontinuerliga funktioner undersöka om Signumfunktionen är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 0}} </math>.
  
−
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i <math> x=0\, </math> har den ett hopp, annars är den sammanhängande.
+
Enligt definitionen borde då <math> \; sgn(x) \to sgn(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>.
  
−
----
+
Närmar man sig <math> \, 0 \, </math> på <math> \, x</math>-axeln från höger närmar sig <math> \, sgn(x) \, </math> värdet <math> \, 1 </math>.
  
 +
Närmar man sig <math> \, 0 \, </math> från vänster närmar sig <math> \, sgn(x) \, </math> värdet <math> \, -1 </math>.
  
−
::::::<big> Funktionen <math> H(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> x \neq 0\, </math>. </big>
+
Dvs <math> \, sgn(x) \to 1 \, </math> och <math> \to -1\, </math> när <math> \, x \to 0 </math>.
  
 +
Men <math> \, sgn(0) = 0 \, </math>. <math> \, sgn(x) \, </math> går dock inte mot <math> \, sgn(0) = 0 \, </math> när <math> \, x \to 0 </math>, vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för <math> \, x = 0 </math>.
  
−
----
+
Därmed är kontinuitetens krav inte uppfyllt. Funktionen <math> \, sgn(x) \, </math> är inte kontinuerlig för <math> \, x = 0 </math>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
Undersökar man vidare kontinuiteten för andra <math> x\, </math> kommer det att visa sig att <math> sgn(x)\, </math> är kontinuerlig för alla andra <math> x\, </math>:
 +
 
 +
 
 +
<div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 50px !important;
 +
padding:10px 20px 10px 20px;
 +
-webkit-border-radius: 5px;
 +
-moz-border-radius: 5px;
 +
border-radius: 5px;">Funktionen <math> \, sgn(x) \, </math> är diskontinuerlig i <math> \, x = 0 </math>.
 +
 
 +
Den är kontinuerlig för alla <math> \, x \neq 0 </math>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
I sin helhet är Signumfunktionen <math> \, sgn(x) \, </math> diskontinuerlig, eftersom den är diskontinuerlig i sitt definitionsområde. Diskontinuiteten i <math> \, x=0 \, </math> tillhör nämligen funktionens definitionsområde.
 +
 
 +
Grafen visar samma resultat: Endast i <math> \, x=0 \, </math> har den ett hopp, annars är grafen sammanhängande.
 +
</div> <!-- exempel2 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av diskontinuitet</span></b> ==
 +
 
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 +
Jämför man Exempel 1 med Exempel 2 kan man konstatera: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla <math> \, x \, </math> förutom för en isolerad punkt. Men funktionernas definition <math>-</math> och även graferna <math>-</math> visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i de isolerade punkterna:
 +
</div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 +
 
 +
 +
==== <b><span style="color:#931136">Diskontinuitet av typ oändlighetsställe</span></b> ====
  
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<b><span style="color:blue">Exempel 1</span></b>]] är funktionen inte kontinuerlig för <math> \, x = 1 \, </math> därför att <math> \, \displaystyle{y = {5 \over x \, - \, 1}} \, </math> överhuvudtaget inte är definierad för <math> x = 1\, </math>. Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot <math> \, + \infty \, </math>, den andra mot <math> \, - \infty </math>. Detta beror förstås på funktionsuttrycket som inte är definierad för <math> \, x = 1 </math>. Vi har ett slags <b><span style="color:red">oändlighetsställe</span></b> i <math> x = 1\, </math> vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i <math> \, x = 1\, </math>. Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd.
 +
</div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
  
  
−
== Olika typer av diskontinuitet ==
+
==== <b><span style="color:#931136">Diskontinuitet av typ hopp</span></b> ====
  
−
Tittar man bara på resultatet kan man inte upptäcka någon skillnad mellan Exempel 1 och Exempel 2: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla <math> x \neq 0 </math>. Men graferna - och även funktionernas definition - visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i <math> x = 0\, </math>.
+
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2|<b><span style="color:blue">Exempel 2</span></b>]] är Signumfunktionen inte kontinuerlig för <math> \, x = 0\, </math> därför att <math> \, sgn(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">hopp</span></b> i sitt förlopp just i <math> \, x = 0 </math>. Den har ett väl definierat värde för <math> \, x = 0 </math>, nämligen <math> \, sgn(0) = 0 </math>. Men hoppet från <math> \, -1 \, </math> till <math> \, 0 \, </math> och vidare från <math> \, 0 \, </math> till <math> \, 1 \, </math> gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<b><span style="color:blue">Exempel 1</span></b>]] är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1 är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt.
  
−
<strong><span style="color:red">1)</span></strong> I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Exempel 1</span></strong>]] är funktionen inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math> därför att <math> y = {1 \over x} </math> överhuvudtaget inte är definierad för <math> x = 0\, </math>. Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot <math> + \infty\, </math>, den andra mot <math> - \infty\, </math>. Detta beror förstås på uttrycket <math> {1 \over x} </math> som inte är definierad för <math> x = 0\, </math>. Vi har ett slags <strong><span style="color:red">oändlighetsställe</span></strong> i <math> x = 0\, </math> vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i <math> x = 0\, </math>. Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd.
+
Det finns även andra typer av diskontinuitet, men <b><span style="color:red">oändlighetsställe</span></b> och <b><span style="color:red">hopp</span></b> är de oftast förekommande hos kontinuerliga funktioner.
 +
</div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
  
  
−
<strong><span style="color:red">2)</span></strong> I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2|<strong><span style="color:blue">Exempel 2</span></strong>]] är Heavisidefunktionen inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math> därför att <math> H(x)\, </math> har ett <strong><span style="color:red">hopp</span></strong> i sitt förlopp just i <math> x = 0\, </math>. Den har ett väl definierat värde för <math> x = 0\, </math>, nämligen <math> H(0) = 0\, </math>. Men hoppet från <math> -1\, </math> till <math> 0\, </math> och vidare från <math> 0\, </math> till <math> 1\, </math> gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Exempel 1</span></strong>]] är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1]] är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt.
 
  
  
Rad 142: Rad 196:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 12 april 2021 kl. 17.22

        <<  Förra demoavsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


I genomgången sades att kontinuerlig betydde sammanhängande.

Som exempel på en kontinuerlig funktion ritades grafen till en linjär funktion med en sammanhängande rät linje. Kontinuerliga funktioners grafer kan man rita utan att lyfta pennan. Allt detta är fortfarande sant, men sådana resonemang är intuitiva.

Här följer en mer exakt matematisk definition för när en funktion är kontinuerlig och när den är diskontinuerlig:

Allmän definition för kontinuerliga funktioner


En funktion \( \, y = f(x) \, \) är   kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = a}} \)   om den är definierad för \( \, x = a \, \) och om:

\[ f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a \]

Om däremot \( \, f(x) \, \) är definierad för \( \, x = a \, \), men \( f(x) \) inte \( \to f(a) \; {\rm när} \; x \to a \)

är funktionen diskontinuerlig i \( \, x = a \).


Läs den andra raden i definitionen så här: \( \; {\rm " }f(x) \, \) går mot \( f(a)\, \) när \( x\, \) går mot \( a \, {\rm "} \).

Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig för ett visst \( {\color{Red} x}\, \)-värde nämligen för \( {\color{Red} {x = a}}\, \).

Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla \( \, x\, \). Då måste även kontinuitet prövas för varje \( \, x\, \).


Exempel 1

Låt oss titta på följande rationell funktion:

\( \displaystyle{y = {5 \over x \, - \, 1}} \)
          med grafen:           Y 5 div x 1.jpg


a)   Är denna funktion kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 1}} \, \) enligt definitionen ovan?

Vi ersätter \( \, {\color{Red} a} \, \) med \( \, {\color{Red} 1} \) i definitionen. Där stär: "... om den (funktionen) är definierad för \( \, x = a \, \) OCH ... ."

Men \( f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}\) är inte definierad för \( {\color{Red} {x = 1}} \, \). Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 1}} \, \).


b)   Är samma funktion kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}} \, \) enligt definitionen ovan?

I definitionen ersätter vi \( \, {\color{Red} a} \, \) med \( \, {\color{Red} 2} \) och \( \, f(x) \, \) med \( \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}\).

Definitionen säger: \( \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, \) är kontinuerlig för \( \, {\color{Red} {x = 2}}\, \) om \( \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(2) = \displaystyle{5 \over 2 \, - \, 1} = 5 \quad {\rm när} \quad x \to 2 \).

Vi kontrollerar detta i funktionsuttrycket: Låter vi \( \, x \, \) gå mot \( \, 2 \, \), går \( \, y \, \) mot värdet \( \, 5 \), och slutligen är \( \, f(2) = 5 \).

Detta visar också att \( \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \) är definierad för \( \, x = 2\, \). Därmed är kontinuitetens krav uppfyllt.

Slutsats:   Funktionen \( \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, \) är kontinuerlig för \( \, x = 2\, \).


På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( \, x \). Sammanfattningsvis blir resultatet:


Funktionen \( \; y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \; \) är kontinuerlig för alla \( \, x \, \) där den är definierad, dvs för alla \( \, x \, \neq \, 1 \, \).


Grafen visar samma resultat: Endast i \( \, x \, = \, 1 \, \) där funktionen inte är deifinierad, skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( \, + \infty\, \), den andra mot \( \, - \infty\, \). I funktionens definitionsområde (alla \( \, x \, \neq \, 1 \, \)) är kurvan sammanhängande.


Exempel 2 Teckenfunktionen

Även kallad Signumfunktionen som är definierad för alla reela tal \( \, x \, \):

\( y \, = \, sgn(x) \, = \, \begin{cases} -1 & \mbox{om } x < 0 \\ 0 & \mbox{om } x = 0 \qquad x \;\mbox{reellt tal} \\ 1 & \mbox{om } x > 0 \end{cases} \)
          med grafen:           Heaviside 80.jpg


De ihåliga ringarna i grafen vid \( \, y = 1 \, \) och \( \, y = -1 \, \) betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, dvs \( \, sgn(0) \, \neq \, 1 \, \) och \( \, sgn(0) \, \neq \, -1 \).

Den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden, dvs \( \, sgn(0) \, = \, 0 \).

Precis som hos Fibonaccis funktion är en och samma funktion definierad med olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd.

Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt):

\[\begin{array}{rcl} sgn(\mbox{negativa}\; x) & = & -1 \\ sgn(0) & = & 0 \\ sgn(\mbox{positiva}\; x) & = & 1 \end{array}\]

Dvs \( \, sgn(x) \, \) har för negativa \( \, x \, \) värdet \( \, -1 \, \), för \( \, x = 0 \, \) värdet \( \, 0 \, \) och för positiva \( \, x \, \) värdet \( \, 1 \, \).


Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Signumfunktionen är kontinuerlig för \( \, {\color{Red} {x = 0}} \).

Enligt definitionen borde då \( \; sgn(x) \to sgn(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \).

Närmar man sig \( \, 0 \, \) på \( \, x\)-axeln från höger närmar sig \( \, sgn(x) \, \) värdet \( \, 1 \).

Närmar man sig \( \, 0 \, \) från vänster närmar sig \( \, sgn(x) \, \) värdet \( \, -1 \).

Dvs \( \, sgn(x) \to 1 \, \) och \( \to -1\, \) när \( \, x \to 0 \).

Men \( \, sgn(0) = 0 \, \). \( \, sgn(x) \, \) går dock inte mot \( \, sgn(0) = 0 \, \) när \( \, x \to 0 \), vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för \( \, x = 0 \).

Därmed är kontinuitetens krav inte uppfyllt. Funktionen \( \, sgn(x) \, \) är inte kontinuerlig för \( \, x = 0 \).


Undersökar man vidare kontinuiteten för andra \( x\, \) kommer det att visa sig att \( sgn(x)\, \) är kontinuerlig för alla andra \( x\, \):


Funktionen \( \, sgn(x) \, \) är diskontinuerlig i \( \, x = 0 \).

Den är kontinuerlig för alla \( \, x \neq 0 \).


I sin helhet är Signumfunktionen \( \, sgn(x) \, \) diskontinuerlig, eftersom den är diskontinuerlig i sitt definitionsområde. Diskontinuiteten i \( \, x=0 \, \) tillhör nämligen funktionens definitionsområde.

Grafen visar samma resultat: Endast i \( \, x=0 \, \) har den ett hopp, annars är grafen sammanhängande.


Olika typer av diskontinuitet

Jämför man Exempel 1 med Exempel 2 kan man konstatera: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla \( \, x \, \) förutom för en isolerad punkt. Men funktionernas definition \(-\) och även graferna \(-\) visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i de isolerade punkterna:


Diskontinuitet av typ oändlighetsställe

I Exempel 1 är funktionen inte kontinuerlig för \( \, x = 1 \, \) därför att \( \, \displaystyle{y = {5 \over x \, - \, 1}} \, \) överhuvudtaget inte är definierad för \( x = 1\, \). Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot \( \, + \infty \, \), den andra mot \( \, - \infty \). Detta beror förstås på funktionsuttrycket som inte är definierad för \( \, x = 1 \). Vi har ett slags oändlighetsställe i \( x = 1\, \) vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i \( \, x = 1\, \). Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd.


Diskontinuitet av typ hopp

I Exempel 2 är Signumfunktionen inte kontinuerlig för \( \, x = 0\, \) därför att \( \, sgn(x) \, \) har ett hopp i sitt förlopp just i \( \, x = 0 \). Den har ett väl definierat värde för \( \, x = 0 \), nämligen \( \, sgn(0) = 0 \). Men hoppet från \( \, -1 \, \) till \( \, 0 \, \) och vidare från \( \, 0 \, \) till \( \, 1 \, \) gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i Exempel 1 är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1 är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt.

Det finns även andra typer av diskontinuitet, men oändlighetsställe och hopp är de oftast förekommande hos kontinuerliga funktioner.





Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner&oldid=29115"