Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→1. Övertäckningsmetoden) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (82 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 6: | Rad 6: | ||
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}} | {{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[3. | + | {{Not selected tab|[[3.6 Användning av ekvationer|Nästa demoavsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | = | + | <table> |
| + | <tr> | ||
| + | <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div> | ||
| + | <br> | ||
| + | <div class="ovnE"> | ||
| + | <b>Exempel på en textuppgift:</b> | ||
| + | <br> | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | :Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant. | ||
| − | <math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]] | + | :Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan). |
| − | + | ||
| + | :Hur mycket kostar flaskan? | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel. | ||
| + | |||
| + | <b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math> | ||
| + | |||
| + | ::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math> | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | ::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ | ||
| + | x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ | ||
| + | 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ | ||
| + | 2\,x \, & = & 4 \\ | ||
| + | x \, & = & {\color{Red} 2} | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <b>Svar:</b> Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]], | ||
| + | |||
| + | [[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]]. | ||
| + | </div> | ||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \;\; </math></td> | ||
| + | <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div> | ||
| + | <br> | ||
| + | <math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]] | ||
| + | <br> | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<big> | <big> | ||
| Rad 21: | Rad 63: | ||
har alltid formen VL = HL och innehåller | har alltid formen VL = HL och innehåller | ||
| − | + | minst en variabel, kallad <b>obekant</b>. | |
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math> | Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math> | ||
| Rad 29: | Rad 71: | ||
| − | :<big><big><b><span style="color:#931136"> | + | :<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big> |
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<big> | <big> | ||
| − | Sätt in lösningen i ekvationen. | + | <b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen. |
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math> | VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math> | ||
| Rad 39: | Rad 81: | ||
HL <math> \, = \, 18 </math> | HL <math> \, = \, 18 </math> | ||
| − | VL <math> = </math> HL <math> \, \ | + | <b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>. |
| − | </ | + | |
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b> | <b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b> | ||
| + | </big> | ||
</div> | </div> | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big> | ||
| + | <big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big> | ||
| − | |||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">1. Övertäckningsmetoden</span></b> = | |
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| Rad 66: | Rad 114: | ||
<math> \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x </math> | <math> \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x </math> | ||
| − | <math> \, 2 \, \cdot \; </math><div class="RedBoxx"><math> \quad </math></div> <math> \; = \;\, | + | <math> \, 2 \, \cdot \; </math><div class="RedBoxx"><math> \quad </math></div> <math> \; = \;\, 4 </math> |
<math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 </math> | <math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 </math> | ||
| Rad 77: | Rad 125: | ||
</big></div> | </big></div> | ||
| − | |||
| + | = <b><span style="color:#931136">2. Allmän metod</span></b> = | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big> | <big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big> | ||
| Rad 163: | Rad 211: | ||
Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>. | Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>. | ||
| − | + | HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck- | |
| − | + | net betyder att vågens skålar är i balans. | |
| − | Bibehåll balansen genom att | + | Bibehåll balansen genom att utföra<span style="color:black">:</span> |
| − | + | ||
| − | + | ||
<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b> | <math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b> | ||
| + | |||
| + | Välj alltid den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till den | ||
| + | |||
| + | operation som binder <math> \, x \, </math> till dess omgivning. | ||
</big></div> | </big></div> | ||
| Rad 227: | Rad 277: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 17 januari 2021 kl. 17.20
| Genomgång | Quiz | Övningar | Genomgång+ | Nästa demoavsnitt >> |
Varför ekvationer?
Exempel på en textuppgift:
Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel. Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)
Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod. |
\( \;\; \) | Vad är en ekvation?
En ekvation är en likhet mellan två uttryck, har alltid formen VL = HL och innehåller minst en variabel, kallad obekant. Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \) Ekvationens lösning: \( \quad\; \) \( x \; = \; {\color{Red} 2} \)
Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen. VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \) HL \( \, = \, 18 \) VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning. Kontroll kallas ibland även för prövning. |
Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.
Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:
1. Övertäckningsmetoden
Exemplet ovan:
\( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)
\( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, \Downarrow \)
\( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)
\( \, 2 \, \cdot \; \)\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)
\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)
\( \quad\;\;\; \Downarrow \)
2. Allmän metod
Exempel:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]
Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:
- Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.
Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:
- Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).
Den allmänna metoden steg för steg
Steg 1
Förenkla uttrycken i ekvationens båda led
så långt som möjligt. I exemplet ovan:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]
Steg 2
Utför samma operation på båda leden:
- \[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]
Vilken operation?
Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.
\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)
Steg 3
Utför samma operation på båda leden:
- \[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]
Vilken operation?
Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).
\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)
Den allmänna metodens filosofi:
Betrakta ekvationen som en våg i balans.
HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-
net betyder att vågens skålar är i balans.
Bibehåll balansen genom att utföra:
\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !
Välj alltid den inversa operationen till den
operation som binder \( \, x \, \) till dess omgivning.
När saknar en ekvation lösning?
Exempel:
\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)
\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.
När är alla tal lösningar till en ekvation?
Exempel:
\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)
\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:
\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
