Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(64 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__TOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Terasspunkter|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[Dessa övningar ingår inte i demon.|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|--> Nästa avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 32 Terasspunkter Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 32 Terasspunkter</span></strong>]]
+
<!-- [[Media: Lektion 25 Terasspunkter Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 25 Terasspunkter</span></b>]] -->
−
__NOTOC__
+
−
<big>
+
−
Även i detta avsnitt antar vi att alla behandlade funktioner <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> skall vara [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<strong><span style="color:blue">kontinuerliga</span></strong>]] i alla punkter av det betraktade området.
+
  
 +
<big>
 
==== <b><span style="color:#931136">Vad är en terasspunkt?</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Vad är en terasspunkt?</span></b> ====
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>[[Image: Kritiska punkter.jpg]]</td>
+
   <td>[[Image: Kritiska punkter.jpg]]
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
+
−
  <td>Bilden till vänster visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen <math> \, 0 </math>:
+
  
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
&nbsp;&nbsp;<big>Bilden visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen <math> \, 0 \, </math>:</big>
  
−
::::* Ett minimum i <math> \quad\;\, x = -2 \, </math>
 
  
−
::::* En <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \, x = 0 \, </math>
+
* &nbsp;&nbsp; <big>Ett minimum i <math> \, x = -2 \, </math> där gäller<span style="color:black">:</span> <math> \,\, f\,'(-2) \, = \, 0 </math>.</big>
  
−
::::* Ett maximum i <math> \quad\, x = 2 \, </math>
+
* <div class="ovnE">En <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = 0 \quad </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="color:black">:</span> <math> \, f\,'(0) \quad = \, 0 </math>.
−
 
+
</div>
−
 
+
−
* I minimipunkten <math> \;\, x = -2 \, </math> gäller<span style="color:black">:</span> <math> \, f\,'(-2) \, = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(-2) \, > \, 0 </math>, se [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna</span></strong>]].
+
  
−
* I <strong><span style="color:red">terasspunkten</span></strong> <math> \, x = 0 \quad </math> gäller<span style="color:black">:</span> <math> \, f\,'(0) \quad = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(0) \quad {\color {Red} =} \;\; 0 </math>.
+
* &nbsp;&nbsp; <big>Ett maximum i <math> \, x = 2 \, </math> där gäller&nbsp; <span style="color:black">:</span> <math> \,\, f\,'(2) \quad = \, 0 </math>.</big>
−
 
+
−
* I maximipunkten <math> \, x = 2 \quad </math> gäller<span style="color:black">:</span> <math> \, f\,'(2) \quad = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(2) \;\; < \;\, 0 </math>, se [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna</span></strong>]].
+
 
   </td>
 
   </td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
 +
 +
Generellt gäller:
 +
 
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med derivator</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med derivator</span></b> ====
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \; x = a \; </math>.
+
<math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; {\color {Red} {f\,'''(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \; x = a \; </math>.
 
----
 
----
−
Om <math> \; f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 \; </math> kan ett teckenstudium avgöra den <strong><span style="color:red">kritiska punktens</span></strong> typ.
+
Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt&nbsp; [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]]&nbsp; eller högre derivator avgöra saken.<br>
 
</div>
 
</div>
  
−
 
−
Med andra ord, i en terasspunkt måste första- och andraderivatan vara <math> \, = 0 </math>, men tredjederivatan <math> \, \neq 0 </math>.
 
  
 
Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.
 
Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.
−
 
−
Att tredjederivatan inte får vara <math> \, 0 \, </math> är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt.
 
  
 
==== <b><span style="color:#931136">Kritiska punkter</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Kritiska punkter</span></b> ====
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
En punkt <math> \, x = a \, </math> kallas för <strong><span style="color:red">kritisk punkt</span></strong> om <math> \, f\,'(a) = 0 \, </math>.  
+
En punkt <math> \, x = a \, </math> kallas för <b><span style="color:red">kritisk punkt</span></b> om <math> \, f\,'(a) = 0 \, </math>.  
 
----
 
----
−
En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt.
+
En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt, se grafen ovan.
 +
----
 +
Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens <b><span style="color:red">karaktär</span></b> eller <b><span style="color:red">typ</span></b>.
 
</div>
 
</div>
−
 
−
Ett annat namn för kritiska punkter är ''stationära punkter''. Stationära, därför att kurvan "stannar av" i dessa punkter, dvs lutningen är <math> \, 0</math><span style="color:black">:</span> Kurvan är varken växande eller avtagande.
 
  
  
Rad 77: Rad 73:
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
−
Vi ser att <math> \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, </math> och <math> \, f\,'''(0) \neq 0 </math>. Av regeln ovan följer att <math> \, f(x)\, </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \, x = 0 \, </math> som visas på bilden till vänster.
+
Vi ser att <math> \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, </math> och <math> \, f\,'''(0) \neq 0 </math>. Av regeln ovan följer att <math> \, f(x)\, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = 0 \, </math> som visas på bilden till vänster.
 
</small></div>
 
</small></div>
  
  
−
'''Bilden i mitten''' visar att derivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>. Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär <math> \, x</math>-axeln utan endast ''berör'' den. Med andra ord, <math> \, x = 0 \, </math> är en [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<strong><span style="color:blue">dubbelrot</span></strong>]] till andragradsfunktionen <math> \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, </math>. Detta innebär att derivatan inte byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math> dvs är positiv både till vänster och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv på båda sidor av sitt nollställe innebär i sin tur att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande både till vänster om och till höger om <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> vilket är ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av derivatans dubbelrot är att andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>:
+
'''Bilden i mitten''' visar att derivatan <math> \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, </math> endast har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math> som är en [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]]. Dvs kurvan skär inte <math> \, x</math>-axeln, utan ''berör'' den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken i <math> \, x = 0 \, </math> utan är positiv på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math>. Av detta följer att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math>.
 +
----
 +
<math> f\,(x) \, </math> är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt <math> \quad \Longrightarrow \quad  f\,'(x) \, </math> är ett andragradspolynom som
 +
 
 +
endast har <b><span style="color:red">ett</span></b> nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.
 +
</div>
  
−
'''Bilden till höger''' visar att även andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär <math> \, x</math>-axeln dvs byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math>. I självaste punkten <math> \, x = 0 \, </math> är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att <math> \, x = 0 \, </math> inte är någon extrempunkt för funktionen <math> \, f(x) = x^3 -</math> ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är <math> \, \neq 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>.
 
  
−
Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra ett teckenstudium för att känna igen en terasspunkt:
+
Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:
  
  
−
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med teckenstudium</span></b> ====
+
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med teckenstudie</span></b> ====
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> <strong><span style="color:red">inte</span></strong> byter tecken kring <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \; x = a \; </math>.
+
<math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> <b><span style="color:red">inte byter tecken</span></b> i <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \; x = a \; </math>.
 +
<br>
 
</div>
 
</div>
  
−
Med andra ord, i en terasspunkt <math> \, x=a </math> måste derivatan vara <math> \, 0 </math>, utan att byta tecken kring <math> \, a </math>, dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på <i>båda</i> sidor av <math> \, x=a </math>.  
+
Med andra ord, i en terasspunkt <math> \, x=a </math> måste derivatan vara <math> \, 0 </math>, utan att byta tecken i <math> \, a </math>, dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på <i>båda</i> sidor av <math> \, x=a </math>.  
  
  
 
<div class="ovnE"><small>
 
<div class="ovnE"><small>
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på terasspunkt med teckenstudium</span></b> ====
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på terasspunkt med teckenstudie</span></b> ====
−
Undersök med teckenstudium vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.
+
Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.
  
−
'''Lösning med teckenstudium:'''
+
'''Lösning med teckenstudie:'''
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
Rad 146: Rad 150:
 
   <tr>
 
   <tr>
 
     <td><math> \,f(x) </math></td>
 
     <td><math> \,f(x) </math></td>
−
     <td> <strong><big><big>&#8599;</big></big></strong> </td>
+
     <td> <b><big><big>&#8599;</big></big></b> </td>
−
     <td> <strong><span style="color:red">Terass</span></strong> </td>
+
     <td> <b><span style="color:red">Terass</span></b> </td>
−
     <td> <strong><big><big>&#8599;</big></big></strong> </td>
+
     <td> <b><big><big>&#8599;</big></big></b> </td>
 
   </tr>
 
   </tr>
 
</table>
 
</table>
Rad 159: Rad 163:
 
# Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.
 
# Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.
  
−
Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudium drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \, x = 0 </math>.
+
Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = 0 </math>.
 
</small></div>
 
</small></div>
  
  
−
Avgörande för att teckenstudium är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen vi gjorde inledningsvis, nämligen att <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<strong><span style="color:blue">kontinuerlig</span></strong>]] i alla punkter av det betraktade området.
+
Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen att <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">kontinuerlig</span></b>]] i alla punkter av det betraktade området.
  
  
Rad 196: Rad 200:
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
−
Dvs redan första kravet i [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkt med derivator</span></strong>]], nämligen att derivatan ska vara <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x  = 0 \, </math> är inte uppfyllt<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) \, </math> har ingen terasspunkt i <math> \, x  = 0 \, </math>. Grafen har lurat oss.
+
Dvs redan första kravet i [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<b><span style="color:blue">regeln om terasspunkt med derivator</span></b>]], nämligen att derivatan ska vara <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x  = 0 \, </math> är inte uppfyllt<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) \, </math> har ingen terasspunkt i <math> \, x  = 0 \, </math>. Grafen har lurat oss.
 
</div> <!-- forsmak -->
 
</div> <!-- forsmak -->
  
Rad 210: Rad 214:
 
'''Bilden i mitten''' visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>.
 
'''Bilden i mitten''' visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>.
  
−
'''Bilden till höger''' visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från <math> \, 0 \, </math>, men andraderivatan är <math> \, 0 \, </math>. Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara <math> \, 0 \, </math>. Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas <strong><span style="color:red">inflexionspunkt</span></strong>.
+
'''Bilden till höger''' visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från <math> \, 0 \, </math>, men andraderivatan är <math> \, 0 \, </math>. Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara <math> \, 0 \, </math>. Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas <b><span style="color:red">inflexionspunkt</span></b>.
−
 
+
  
 +
=== <b><span style="color:#931136">Inflexionspunkter</span></b> ===
 
<div class="ovnC"><small>
 
<div class="ovnC"><small>
−
==== <b><span style="color:#931136">Inflexionspunkter</span></b> ====
 
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
Rad 225: Rad 228:
 
<math> \, x = 2 \, </math>. Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.
 
<math> \, x = 2 \, </math>. Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.
  
−
Punkten i <math> \, x = 2 \, </math> där du byter svängriktning kallas för <strong><span style="color:red">inflexionspunkt</span></strong>.
+
Punkten i <math> \, x = 2 \, </math> där du byter svängriktning kallas för <b><span style="color:red">inflexionspunkt</span></b>.
  
 
Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng
 
Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng
Rad 247: Rad 250:
 
Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.
 
Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.
 
</small></div>
 
</small></div>
−
 
  
 
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om inflexionspunkter</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om inflexionspunkter</span></b> ====
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<math> f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> har en <strong><span style="color:red">inflexionspunkt</span></strong> i <math> \; x = a \; </math>.
+
<math> f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> har en <b><span style="color:red">inflexionspunkt</span></b> i <math> \; x = a \; </math>.
 
----
 
----
−
Om dessutom <math> \; f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> är <math> \; x = a \; </math> en terasspunkt. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (Samma som [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<strong><span style="color:blue">tidigare</span></strong>]])
+
Om dessutom <math> \; f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> är <math> \; x = a \; </math> en terasspunkt. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (Samma som [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<b><span style="color:blue">tidigare</span></b>]])
 
----
 
----
 
En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.
 
En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.
 
</div>
 
</div>
−
 
  
 
För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till <math> \, 0 \, </math> och beräknar<math> \, x </math>, dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från <math> \, 0 \, </math> för andraderivatans nollställen.
 
För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till <math> \, 0 \, </math> och beräknar<math> \, x </math>, dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från <math> \, 0 \, </math> för andraderivatans nollställen.
  
−
Dessutom gäller det: Om <math> \, f\,'''(a) > 0 \, </math> ("konkav") har vi en övergång från höger- till vänstersväng <math>-</math> som i grafen ovan. Om däremot <math> \, f\,'''(a) < 0 \, </math> ("konvex") går kurvan över från en vänster- till en högersväng.
+
I inflexionspunkter går funktionens graf över från en konkav kurva till en konvex kurva eller tvärtom. När är en funktion konvex eller konkav?
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <b><span style="color:#931136">Konvexa och konkava funktioner</span></b> ===
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> f\,''(x) > 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är <b><span style="color:red">konvex</span></b> i intervallet.
 +
 
 +
T.ex. är kurvan konvex till höger om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.  
 +
----
 +
<math> f\,''(x) < 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är <b><span style="color:red">konkav</span></b> i intervallet.
 +
 
 +
T.ex. är kurvan konkav till vänster om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
 +
----
 +
Allt sett från vänster och underifrån, dvs i axlarnas växande riktning.  
 +
</div>
 +
 
 
</big>
 
</big>
  
Rad 272: Rad 289:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2019 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 20 november 2020 kl. 11.36

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Vad är en terasspunkt?

Kritiska punkter.jpg     

  Bilden visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen \( \, 0 \, \):


  •    Ett minimum i \( \, x = -2 \, \) där gäller: \( \,\, f\,'(-2) \, = \, 0 \).
  • En terasspunkt i \( \, x = 0 \quad \)     : \( \, f\,'(0) \quad = \, 0 \).
  •    Ett maximum i \( \, x = 2 \, \) där gäller  : \( \,\, f\,'(2) \quad = \, 0 \).


Generellt gäller:

Regeln om terasspunkt med derivator

\( f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; {\color {Red} {f\,'''(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).

Om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, \) kan endast en korrekt  teckenstudie  eller högre derivator avgöra saken.


Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.

Kritiska punkter

En punkt \( \, x = a \, \) kallas för kritisk punkt om \( \, f\,'(a) = 0 \, \).

En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt, se grafen ovan.

Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens karaktär eller typ.


Exempel på terasspunkt med derivator

Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).


Lösning med derivator:

Terasspunkt 1.jpg      Terasspunkt 2.jpg      Terasspunkt 3.jpg

\[\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x\,^3 & & \\ f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\ f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\ f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0 \end{array}\]

Vi ser att \( \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, \) och \( \, f\,'''(0) \neq 0 \). Av regeln ovan följer att \( \, f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \) som visas på bilden till vänster.


Bilden i mitten visar att derivatan \( \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, \) endast har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \) som är en dubbelrot. Dvs kurvan skär inte \( \, x\)-axeln, utan berör den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken i \( \, x = 0 \, \) utan är positiv på båda sidor av \( \, x = 0 \, \). Av detta följer att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande på båda sidor av \( \, x = 0 \, \) \(-\) ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:

Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; \).

\( f\,(x) \, \) är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt \( \quad \Longrightarrow \quad f\,'(x) \, \) är ett andragradspolynom som

endast har ett nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.


Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:


Regeln om terasspunkt med teckenstudie

\( f\,'(a) = 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \) inte byter tecken i \( \, x=a \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).

Med andra ord, i en terasspunkt \( \, x=a \) måste derivatan vara \( \, 0 \), utan att byta tecken i \( \, a \), dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av \( \, x=a \).


Exempel på terasspunkt med teckenstudie

Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).

Lösning med teckenstudie:

Vi hade redan bestämt att

derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 0 \, \):


     
\[ f(x) = x^3 \]
\[ f'(x) = 3\,x^2 \]
\[ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 \]

Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 0 \).

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = -0,1 \) och \( \, x = 0,1 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
\[ f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
\(x\) \(-0,1\) \(0\) \(0,1\)
\( f\,'(x) \) \(+\) \(0\) \(+\)
\( \,f(x) \) ↗ Terass ↗

Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:

  1. \( \, f\,'(0) = 0 \, \)
  2. Derivatan har tecknet \(+\) till vänster och även \( + \) till höger om \( \, 0 \, \) dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.

Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).


Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen att \( \; y \, = \, f(x) \; \) är kontinuerlig i alla punkter av det betraktade området.


Hur grafen kan lura oss

Hur grafen kan lura oss.jpg        Har funktionen
\[ f(x) = x^3 + \, 0,5\,x \]

vars graf visas till vänster en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)?

Kurvan är av samma typ som \( g(x) = x^3 \) till höger.

Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens

display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att

även \( f(x) \) har en terasspunkt i \( x = 0 \) ligger nära.

Men \( f\,'(0) \neq 0 \) visar att detta inte är fallet:

       Hur grafen kan lura oss 2.jpg
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0 \end{array}\]

Dvs redan första kravet i regeln om terasspunkt med derivator, nämligen att derivatan ska vara \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \) är inte uppfyllt: \( \, f(x) \, \) har ingen terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Grafen har lurat oss.


Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 0 \, \). Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring \( \, x = 0 \, \):


Inflexionspunkt 1a.jpg      Inflexionspunkt 2a.jpg      Inflexionspunkt 3a.jpg


Bilden till vänster visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i \( \, x = 0 \). Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen \( \, 0 \). I beräkningen ovan hade vi fått: \( f'(x) = 0,5 \neq 0 \). Därmed är även tangentens lutning \( \, 0,5 \, \) och dess ekvation: \( y = 0,5\,x \). Därför föreligger i \( \, x = 0 \, \) inte en terasspunkt.

Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i \( x = 0 \) värdet \( \, 0,5 \, \). Om detta värde hade varit \( \, 0 \, \) hade funktionen haft en terasspunkt i \( x = 0 \).

Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \), där grafen skär \( \, x\)-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från \( \, 0 \, \), men andraderivatan är \( \, 0 \, \). Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara \( \, 0 \, \). Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.

Inflexionspunkter

Inflexionspunkt 4.jpg       Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,

svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt:

\( \, x = 2 \, \). Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.

Punkten i \( \, x = 2 \, \) där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt.

Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng

(konkav kurva) till en vänstersväng (konvex kurva) eller tvärtom \(-\)

allt sett från vänster och underifrån.

På bilden finns även tangenten ritad i \( \, x = 2 \, \) vars lutning är negativ.

Hade lutningen varit \( \, 0 \, \) hade \( \, x = 2 \, \) varit en terasspunkt. Därför:

Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.

Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.

Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen \( \, 0 \, \).

Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.

Regeln om inflexionspunkter

\( f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har en inflexionspunkt i \( \; x = a \; \).

Om dessutom \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) är \( \; x = a \; \) en terasspunkt.            (Samma som tidigare)

En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.

För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till \( \, 0 \, \) och beräknar\( \, x \), dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från \( \, 0 \, \) för andraderivatans nollställen.

I inflexionspunkter går funktionens graf över från en konkav kurva till en konvex kurva eller tvärtom. När är en funktion konvex eller konkav?


Konvexa och konkava funktioner

\( f\,''(x) > 0 \, \) i ett visst intervall \( \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \, y = f(x) \, \) är konvex i intervallet.

T.ex. är kurvan konvex till höger om inflexionspunkten \( \, x = 2 \, \) i grafen ovan.

\( f\,''(x) < 0 \, \) i ett visst intervall \( \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \, y = f(x) \, \) är konkav i intervallet.

T.ex. är kurvan konkav till vänster om inflexionspunkten \( \, x = 2 \, \) i grafen ovan.

Allt sett från vänster och underifrån, dvs i axlarnas växande riktning.





Copyright © 2011-2019 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.3_Terasspunkter&oldid=28975"