Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Exempel 1 Glasskiva)
m
 
(497 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Teori]]}}
+
{{Selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|--> Nästa avsnitt]]}}
 
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
 +
<!--
 +
[[Media: Lektion 27 Extremvardesproblem I Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 27 Extremvärdesproblem I</span></strong>]]
  
−
[[Media: Lektion 33 Extremvärdesproblem I Ruta.pdf|Lektion 33 Extremvärdesproblem I]]
+
[[Media: Lektion 28 Extremvardesproblem II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 28 Extremvärdesproblem II</span></strong>]]
 +
-->
  
−
[[Media: Lektion 34 Extremvärdesproblem II Ruta.pdf|Lektion 34 Extremvärdesproblem II]]
+
<big>
 +
<div class="ovnE"><small>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Rektangel i parabel</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:  
  
−
__TOC__
+
:::<math> y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \qquad {\rm med} \qquad y \, \geq \, 0 </math>
  
 +
Punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så
  
−
== Exempel 1 Glasskiva ==
+
att rektangelns area <math> \, A \, </math> blir <strong><span style="color:red">maximal</span></strong>.
  
−
En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:
 
  
−
:::[[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]
+
'''a)''' &nbsp; Ställ upp rektangelns area som en funktion av <math> \, x \, </math> dvs <math> \, A(x) \, </math>.
−
Ur skivan ska en rektangulär glasplatta skäras ut så att glasplattans area <math> \, A(x) \, </math> blir maximal.
+
  
−
a) Ställ upp arean <math> \, A(x) \, </math> som en funktion som endast beror av <math> \, x \, </math>.
+
'''b)''' &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att <math> \, A(x) \, </math> blir maximal.  
  
−
b) Bestäm <math> \, x \, </math> så att funktionen <math> \, A(x) \, </math> antar sitt maximum.  
+
'''c)''' &nbsp; Beräkna rektangelns maximala area.
 +
  </td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: 35 Rektangel i parabel.jpg]]
 +
 
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
&nbsp;'''d)''' &nbsp;Bestäm definitionsmängden till funktionen <math> \, A(x) \, </math> och rita grafen till <math> \, A(x) </math>. Markera maximipunkten från '''b)''' i grafen.
 +
 
 +
:Kontrollera algebraiskt om maximipunkten ligger inom definitionsmängden.
 +
</small></div>
  
−
c) Beräkna glasplattans maximala area.
 
  
 +
<div class="ovnE"><small>
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
a) &nbsp;  
+
'''a)''' &nbsp; Rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} </math>
  
−
Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som:
+
:Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av ''två'' variabler som vi inte kan hantera.
  
−
::::<math> A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} </math>
+
:Därför måste <math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> skrivas om till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast ''en'' variabel, nämligen <math> \, x </math>.
  
−
Men här är <math> \, A\,(x, {\color{Red} y}) \, </math> en funktion av två variabler som vi inte kan jobba med. För att skriva om den till en funktion av endast en variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste vi hitta ett samband mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math>. Dvs <math> \, {\color{Red} y} \, </math> måste uttryckas med <math> \, x \, </math> och på så sätt elimineras.
+
:Detta gör vi genom att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \, </math><span style="color:black">:</span> &nbsp; Vi utnyttjar sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> som är givet av parabelns ekvation.
  
−
Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa. Det hörnet måste ju alltid ligga på hypotenusan.
+
:Rektangelns "rörliga" hörn <math> \, (x,\,{\color{Red} y}) \, </math> måste alltid ligga på parabeln. Därför måste <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> uppfylla <strong><span style="color:red">parabelns ekvation</span></strong><span style="color:black">:</span>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 50px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math></strong></div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>Detta samband kallas för problemets <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong>.</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
 +
==== <b><span style="color:#931136">Bivillkor för ett extremvärdesproblem</span></b> ====
 +
<div class="border-divblue">
 +
Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong> är ett samband som bestäms av problemets givna geometriska
 +
 +
eller andra föreskrivna egenskaper.
 +
----
 +
 +
Bivillkoret sätter ''restriktioner'' (begränsningar, eng. ''constraints'') på punkten <math> (x,\,y)</math>:s rörelsefrihet. 
 +
</div>
 +
 +
 +
:I <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> är parabelns ekvation problemets bivillkor, därför att punkten <math> (x,\,y) </math> ''måste'' följa parabeln, se figuren ovan.
 +
 +
:Vi använder bivillkoret för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> till en funktion av en variabel <math> \, x </math>.
 +
 +
:Därför sätter vi in parabelns ekvation <math> \, \displaystyle {\color{Red} y} = -\,{\, x^2 \over 2} + 5 \, </math> i rektangelns area <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) = 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \, </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math>:
 +
 +
::::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>
 +
 +
:På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av <math> \, x </math>:
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, se bilden till höer:
+
   <td><div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 50px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>Denna funktion kallas för problemets <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
På så sätt blir hypotenusan del av en rät linje med negativ lutning.
 
  
−
Punkten <math> \, (x, y) \, </math> rör sig på denna rät linje.
+
==== <b><span style="color:#931136">Målfunktion för ett extremvärdesproblem</span></b> ====
 +
<div class="border-divblue">
 +
Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong> är alltid den funktion av endast ''en'' variabel som ska
  
−
Den räta linjens ekvation i <math>\,k</math>-form:
+
maximeras eller minimeras.
 +
----
 +
 
 +
Extremvärdesproblem består i regel av ett bivillkor och en målfunktion.
 +
----
 +
 
 +
Bivillkoret används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast ''en'' variabel.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
:I <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> är <math> A\,(x) </math> problemets målfunktion, därför att det är rektangelns area som ska maximeras.
 +
 
 +
I <math> A\,(x) </math> är parabelns ekvation redan "inbakad".
 +
 
 +
----
 +
 
 +
 
 +
'''b)''' &nbsp; För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi <math> \, A(x) \, </math> och bestämmer derivatans nollställen:
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
::<math> A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>
 +
 
 +
::<math> A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 </math>
 +
 
 +
::<math> A''(x) \, = \, -\,6\,x </math>
  
−
::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math>
 
  
−
Lutningen <math> \, k \, </math>:
 
  
−
::<math> k \, = \, {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} </math>
 
  
−
Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln:
 
  
−
::<math> m \, = \, 20 </math>
 
  
 
</td>
 
</td>
−
   <td>[[Image: Ovn 3_2_10a.jpg]]</td>
+
   <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>Derivatans nollställen:
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
<td><math>\begin{array}{rcrcl}  A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0      \\
 +
                                    &  &                10 & = & 3\,x^2 \\
 +
                                    &  &      {10 \over 3} & = & x^2    \\
 +
                                    &  &          x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\
 +
                                    &  &                x_1 & = & 1,83 \\
 +
                                    &  &                x_2 & = & -1,83
 +
        \end{array}</math>
 +
</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
<math> \quad\; x_2 = -1,83 \, </math> förkastas därför att arean och därmed <math> \, x \, </math> inte kan vara negativ, se även '''d)'''.
 +
 +
:Vi sätter in <math> \, x_1 = 1,83 \, </math> i andraderivatan och använder [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna om max/min</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>
 +
 +
<math> \qquad\quad A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \; \boxed{x \, = \, 1,83} \, </math>.
 +
 +
:För <math> \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.
 +
----
 +
 +
 +
'''c)''' &nbsp; För att bestämma rektangelns maximala area sätter vi in <math> \, x = 1,83 \, </math> i målfunktionen <math> \, A(x) </math>:
 +
 +
:::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>
 +
 +
:::<math> A(1,83) = -\,1,83\,^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 </math>
 +
 +
:Rektangelns maximala area är <math> \, 12,17 \, </math>.
 +
----
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td>
 +
'''d)''' &nbsp; Målfunktionen <math> \, A\,(x) = \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \, </math> har definitionsintervallet<span style="color:black">:
 +
 +
</span> <div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 150px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \, 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math></strong></div>
 +
 +
:Den vänstra ändan <math> \, 0 \, </math> är motiverad av att arean och därmed <math> \, x \, </math> inte kan vara negativ.
 +
 +
:Den högra ändan <math> \, \sqrt{10} \, </math> är parabelns högra rand i [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_1_Rektangel_i_parabel|<b><span style="color:blue">Exempel 1</span></b>]], dvs den positiva lös-
 +
 +
:ningen till ekvationen <math> \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 </math>. För <math> x > \sqrt{10} </math> blir <math> y < 0 </math>, vilket inte är tillåtet.
 +
 +
:Maximipunkten <math> \, x = 1,83 \, </math> ligger inom definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \, 0 \, < \, 1,83 \, < \, \sqrt{10} </math>.
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp; [[Image: Ex_1_Malfunktion.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
</small></div>
 +
 +
 +
<div class="ovnC"><small>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått<span style="color:black">:</span>
 +
 +
<math> \qquad\qquad\qquad\quad </math> Kortare kateten <math> \, = \, 20 \, </math> cm
 +
 +
<math> \qquad\qquad\qquad\quad </math> Längre kateten <math> \, = \, 30 \, </math> cm
 +
 +
En <b><span style="color:red">rektangulär glasplatta med maximal area</span></b> ska skäras ut ur skivan.
 +
 +
'''a)''' &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
 +
 +
'''b)''' &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd.
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
'''c)''' &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att glasplattans area <math> \, A(x) \, </math> maximeras.
 +
 +
'''d)''' &nbsp; Beräkna glasplattans maximala area.
 +
</small></div>
 +
 +
 +
<div class="ovnC"><small>
 +
'''Lösning:'''
 +
 +
'''a)''' &nbsp; Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} </math>
 +
 +
För att skriva om funktionen ovan till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast ''en'' variabel, nämligen <math> \, x \, </math>,
 +
 +
måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> uttryckas med <math> \, x \, </math>, så att <math> \, {\color{Red} y} \, </math> kan elimineras.
 +
 +
Sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa.
 +
 +
Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, se bilden:
 +
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje.
 +
 +
Punkten <math> \, (x, y) \, </math> rör sig på denna räta linje vars ekvation är:
 +
 +
::<math> {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m </math>
 +
 +
Lutningen <math> \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} </math>
 +
 +
Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span> <math> \quad m \, = \, 20 </math>
 +
 +
Den räta linjens ekvation blir då problemets bivillkor<span style="color:black">:</span>
 +
 +
:::<div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 52px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div>
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_10a.jpg]]
 +
 +
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
 +
'''b)''' &nbsp; Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av <math> \, x </math>:
 +
 +
::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Målfunktionen är<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 25px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math></strong></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad  0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,</math>.
 +
 +
 +
 +
'''c)''' &nbsp; För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi <math> \, A(x) \, </math> och bestämmer derivatans nollställen:
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
::<math> A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>
 +
 +
::<math> A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 </math>
 +
 +
::<math> A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} </math>
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>Derivatans nollställen:
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
<td><math>\begin{array}{rcrcl}  A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\
 +
                                    &  &                  20 & = & {4 \over 3}\,x \\
 +
                                    &  & {20 \, \cdot \, 3 \over 4} & = & x \\
 +
                                    &  &            x & = & 15 
 +
        \end{array}</math>
 +
 +
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> \, x = 15 \, </math> som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna om max/min</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \; \boxed{x \, = \, 15} \, </math>.
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För <math> \, x = 15 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.
 +
 +
 +
'''d)''' &nbsp; Eftersom rektangeln får sin största area för <math> \, x = 15 \, </math> sätter vi in <math> \, x = 15 \, </math> i målfunktionen för att få största arean:
 +
 +
::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>
 +
 +
::<math> A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Glasplattans största area blir <math> \, 150 \, {\rm cm}^2 \, </math>.
 +
</small></div>
 +
 +
 +
<div class="ovnA"><small>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Konservburk</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En cylinderformad konservburk ska produceras av en bit plåt. Vi antar:
 +
 +
Plåtens area <math> \, = \, </math> cylinderns begränsnings<b><span style="color:red">area</span></b> <math> \, {\color{Red} {= \, 500 \, {\rm cm}^2}} \, </math> efter spill.
 +
 +
Vilka mått på cylindern måste väljas så att <b><span style="color:red">volymen</span></b> blir <b><span style="color:red">maximal</span></b>&nbsp;?
 +
 +
 +
'''a)''' &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
 +
 +
'''b)''' &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion.
 +
 +
'''c)''' &nbsp; Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym
 +
 +
:blir maximal.</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>[[Image: Konservburk_40a.jpg]]
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
&nbsp;'''d)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;Ange målfunktionens definitionsmängd. Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen. Tolka graferna.
 +
 +
&nbsp;'''e)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;Beräkna konservburkens maximala volym.
 +
 +
&nbsp;'''f)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilket samband råder mellan cylinderns radie <math> \, r \, </math> och dess höjd <math> \, h \, </math> när volymen maximeras?
 +
</small></div>
 +
 +
 +
<div class="ovnA"><small>
 +
'''Lösning:'''
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>'''a)''' &nbsp; Begränsningsarean <math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math>
 +
 +
::<math>\begin{array}{rcl}  2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500  \\
 +
                                            2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2  \\
 +
                                                      h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\
 +
                                                      h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r
 +
        \end{array}</math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Därmed är bivillkoret: <div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 25px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math></strong></div>
 +
  </td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>[[Image: Zylinder01.gif]]
 +
 +
 +
 +
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
 +
'''b)''' &nbsp; Cylinderns volym <math> \, V \, </math> är basytan <math> \times </math> höjden dvs<span style="color:black">:</span> <math> \qquad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \qquad </math> Funktion av två variabler<span style="color:black">:</span> <math> \, r \, </math> och <math> \, {\color{Red} h} \, </math>.
 +
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att skriva om denna funktion till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från '''a)''' i <math> \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, </math> och eliminerar <math> \, {\color{Red} h} \, </math><span style="color:black">:</span>
 +
 +
:::<math> V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3  \, = \, 250 \cdot r  \, - \, \pi\,r^3 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Därmed blir målfunktionen: <div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 25px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math></strong></div>
 +
 +
 +
'''c)''' &nbsp; Målfunktionen maximeras:
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math>
 +
 +
::<math> V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 </math>
 +
 +
::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r </math>
 +
 +
 +
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>Derivatans nollställen:
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
<td><math>\begin{array}{rcrcl}  V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0      \\
 +
                                    &  &                    250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\
 +
                                    &  &      {250 \over 3\,\pi} & = & r^2    \\
 +
                                    &  &                r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\
 +
                                    &  &                      r & = & 5,15
 +
        \end{array}</math>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> r_2 = -5,15 \, </math> förkastas, för radien kan inte bli negativ. <math> \, r = 5,15 \, > \, 0 \, </math> sätts in i andraderivatan enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna om max/min</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 </math>.
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från '''a)'''<span style="color:black">:</span>
 +
 +
:::::<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15  \, = \, 10,30 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \quad \boxed{r = 5,15 \; {\rm cm}} \quad </math> och höjden <math> \quad \boxed{h = 10,30 \; {\rm cm}} \quad </math>.
 +
 +
 +
'''d)''' &nbsp; För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar undersöker vi bivillkoret<span style="color:black">:</span> <math> \qquad h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Av detta framgår att <math> \, r \, </math> inte får vara <math> \, 0 \, </math><span style="color:black">:</span> <math> \; r \, \neq \, 0 \; </math>. Därför är <math> \, 0 \, </math> en undre gräns för <math> \, r </math><span style="color:black">:</span> <math> \qquad r \, > \, 0 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för <math> \; r \; </math> tittar vi på cylinderns begränsningsarea<span style="color:black">:</span>
 +
 +
:::::<math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Pga begränsningsareans konstanta värde <math> \, 500 \, </math> blir cylinderns radie störst när höjden blir <math> \, 0 \, </math>.
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Därför får vi radiens störst möjliga värde om vi i formeln ovan väljer <math> \, h=0 </math><span style="color:black">:</span>
 +
 +
:::::<math> \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r\right)\,^2 \, = \, 500 \qquad \Longrightarrow \qquad r \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Därmed blir målfunktionens definitionsmängd<span style="color:black">:</span><math> \qquad\qquad </math><div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 25px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 </math></strong></div>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Grafen till vänster visar bivillkoret <math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math> och till höger målfunktionen <math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math>, båda med definitionsmängden ovan.
 +
 +
:[[Image: Konservburk Grafer.jpg]]
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Målfunktionens graf till höger bekräftar det algebraiska resultatet från '''c)''', nämligen att volymen blir maximal för <math> \, r = 5,15 </math>.
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Bivillkorets graf till vänster bekräftar att för <math> \, r = 5,15 \, </math> höjden blir <math> \, \approx \, 10 </math> och dessutom att <math> \, r \, </math> inte kan bli större än <math> \, 8,92 </math>.
 +
 +
 +
'''e)''' &nbsp; Resultaten från '''c)''' sätts in i målfunktionen för att få cylinderns största volym<span style="color:black">:</span>
 +
 +
::<math> V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Konservburkens maximala volym blir <math> \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; </math>.
 +
 +
 +
'''f)''' &nbsp; Följande samband råder mellan cylinderns radie <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och dess höjd <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm}</math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på <math> \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math>, maximeras<span style="color:black">:</span>
 +
 +
::::<div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 25px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 2 \; r \; = \; h </math></strong></div>
 +
</small></div>
 +
 +
 +
Återstår frågan som är föremål för undersökning i [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_9|<strong><span style="color:blue">övning 9</span></strong>]], om samma samband även råder <strong><span style="color:red">generellt</span></strong> mellan radien <math> \; r \; </math> och höjden <math> \; h \; </math> för alla konservburkar med vilken begränsningsarea som helst och maximal volym, nämligen<span style="color:black">:</span>
 +
 +
::<div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 70px !important;
 +
padding:10px 10px 10px 10px;
 +
-webkit-border-radius: 10px;"><strong> Diametern <math> \; = \; </math> Höjden </strong></div>
 +
 +
En annan intressant frågeställning är:
 +
 +
Råder även sambandet ovan om man utgår från en konservburk med fast given volym vars materialåtgång ska minimeras?
 +
 +
En närmare undersökning liknande lösningen till [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]] kommer att visa att detta är fallet.
 +
 +
Dvs sambandet ovan är alltid optimalt ur ekonomisk synpunkt.
 +
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">Ett ekonomiskt exempel</span></b> ==
 +
 +
 +
Se [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_7|<strong><span style="color:blue">övning 7</span></strong>]].
 +
</big>
 +
 +
  
−
Den räta linjens ekvation blir då:
 
  
−
::<math> y \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math>
 
  
−
Denna ekvation kan uppfattas som det samband mellan <math> \, y \,</math> och <math> \, x \, </math> som bestäms av att rektangelns "fria" hörn är bunden till rektangelns hypotenusa.
 
  
−
Vi använder sambandet ovan för att ställa upp ett uttryck för arean <math> \, A(x) \, </math> som endast beror av <math> \, x </math>:
 
  
−
::<math> A(x) \, = \, x \cdot y \, = \, x \cdot (-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 13 juni 2020 kl. 16.57

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar      


Exempel 1 Rektangel i parabel

En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:
\[ y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \qquad {\rm med} \qquad y \, \geq \, 0 \]

Punkten \( \, (x,\,y) \, \) rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så

att rektangelns area \( \, A \, \) blir maximal.


a)   Ställ upp rektangelns area som en funktion av \( \, x \, \) dvs \( \, A(x) \, \).

b)   Bestäm \( \, x \, \) så att \( \, A(x) \, \) blir maximal.

c)   Beräkna rektangelns maximala area.

       35 Rektangel i parabel.jpg

 d)  Bestäm definitionsmängden till funktionen \( \, A(x) \, \) och rita grafen till \( \, A(x) \). Markera maximipunkten från b) i grafen.

Kontrollera algebraiskt om maximipunkten ligger inom definitionsmängden.


Lösning:

a)   Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)

Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera.
Därför måste \( A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) skrivas om till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \).
Detta gör vi genom att eliminera \( \, {\color{Red} y} \, \):   Vi utnyttjar sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation.
Rektangelns "rörliga" hörn \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) måste alltid ligga på parabeln. Därför måste \( \, x \, \) och \( \, y \, \) uppfylla parabelns ekvation:
\( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \)
 \( \qquad \) Detta samband kallas för problemets bivillkor.

Bivillkor för ett extremvärdesproblem

Ett extremvärdesproblems bivillkor är ett samband som bestäms av problemets givna geometriska

eller andra föreskrivna egenskaper.

Bivillkoret sätter restriktioner (begränsningar, eng. constraints) på punkten \( (x,\,y)\):s rörelsefrihet.


I Exempel 1 är parabelns ekvation problemets bivillkor, därför att punkten \( (x,\,y) \) måste följa parabeln, se figuren ovan.
Vi använder bivillkoret för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler \( \, x \, \) och \( \, y \, \) till en funktion av en variabel \( \, x \).
Därför sätter vi in parabelns ekvation \( \, \displaystyle {\color{Red} y} = -\,{\, x^2 \over 2} + 5 \, \) i rektangelns area \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) = 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \, \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\):
\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av \( \, x \):
\( A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \)
 \( \qquad \) Denna funktion kallas för problemets målfunktion


Målfunktion för ett extremvärdesproblem

Ett extremvärdesproblems målfunktion är alltid den funktion av endast en variabel som ska

maximeras eller minimeras.

Extremvärdesproblem består i regel av ett bivillkor och en målfunktion.

Bivillkoret används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.


I Exempel 1 är \( A\,(x) \) problemets målfunktion, därför att det är rektangelns area som ska maximeras.

I \( A\,(x) \) är parabelns ekvation redan "inbakad".


b)   För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi \( \, A(x) \, \) och bestämmer derivatans nollställen:

\[ A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
\[ A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 \]
\[ A''(x) \, = \, -\,6\,x \]




\( \qquad \) Derivatans nollställen:






\( \qquad \) \(\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\)

\( \quad\; x_2 = -1,83 \, \) förkastas därför att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan vara negativ, se även d).

Vi sätter in \( \, x_1 = 1,83 \, \) i andraderivatan och använder reglerna om max/min:

\( \qquad\quad A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \; \boxed{x \, = \, 1,83} \, \).

För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.


c)   För att bestämma rektangelns maximala area sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen \( \, A(x) \):

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
\[ A(1,83) = -\,1,83\,^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]
Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).

d)   Målfunktionen \( \, A\,(x) = \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \, \) har definitionsintervallet:

\( \, 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} \)
Den vänstra ändan \( \, 0 \, \) är motiverad av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan vara negativ.
Den högra ändan \( \, \sqrt{10} \, \) är parabelns högra rand i Exempel 1, dvs den positiva lös-
ningen till ekvationen \( \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \). För \( x > \sqrt{10} \) blir \( y < 0 \), vilket inte är tillåtet.
Maximipunkten \( \, x = 1,83 \, \) ligger inom definitionsmängden: \( \, 0 \, < \, 1,83 \, < \, \sqrt{10} \).
  Ex 1 Malfunktion.jpg


Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)

En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått:

\( \qquad\qquad\qquad\quad \) Kortare kateten \( \, = \, 20 \, \) cm

\( \qquad\qquad\qquad\quad \) Längre kateten \( \, = \, 30 \, \) cm

En rektangulär glasplatta med maximal area ska skäras ut ur skivan.

a)   Formulera problemets bivillkor.

b)   Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd.

   Ovn 3 2 10 40.jpg

c)   Bestäm \( \, x \, \) så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) maximeras.

d)   Beräkna glasplattans maximala area.


Lösning:

a)   Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)

För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \),

måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras.

Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa.

Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, se bilden:

Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje.

Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är:

\[ {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m \]

Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \)

Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \)

Den räta linjens ekvation blir då problemets bivillkor:

\( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \)
        Ovn 3 2 10a.jpg



b)   Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\)

     och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
     Målfunktionen är:
\( A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \)
       med definitionsmängden: \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,\).


c)   För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi \( \, A(x) \, \) och bestämmer derivatans nollställen:

\[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
\[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]
\[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]
\( \qquad \) Derivatans nollställen:





\( \qquad \) \(\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \, \cdot \, 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\)


     \( \, x = 15 \, \) som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:

     \( A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \; \boxed{x \, = \, 15} \, \).

     För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.


d)   Eftersom rektangeln får sin största area för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
\[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]

     Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).


Exempel 3 Konservburk

En cylinderformad konservburk ska produceras av en bit plåt. Vi antar:

Plåtens area \( \, = \, \) cylinderns begränsningsarea \( \, {\color{Red} {= \, 500 \, {\rm cm}^2}} \, \) efter spill.

Vilka mått på cylindern måste väljas så att volymen blir maximal ?


a)   Formulera problemets bivillkor.

b)   Ställ upp problemets målfunktion.

c)   Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym

blir maximal.
      Konservburk 40a.jpg

 d)   Ange målfunktionens definitionsmängd. Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen. Tolka graferna.

 e)   Beräkna konservburkens maximala volym.

 f)    Vilket samband råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \) när volymen maximeras?


Lösning:

a)   Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \)
\[\begin{array}{rcl} 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500 \\ 2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2 \\ h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\ h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r \end{array}\]
       Därmed är bivillkoret:
\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)
       Zylinder01.gif




b)   Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \qquad \) Funktion av två variabler: \( \, r \, \) och \( \, {\color{Red} h} \, \).


       För att skriva om denna funktion till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):

\[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
       Därmed blir målfunktionen:
\( V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \)


c)   Målfunktionen maximeras:

\[ V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \]
\[ V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]
\[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]


\( \qquad \) Derivatans nollställen:





\( \qquad \) \(\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\)

       \( r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ. \( \, r = 5,15 \, > \, 0 \, \) sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:

       \( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \).

       För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):

\[ h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \]

       Cylinderns volym blir maximal för radien \( \quad \boxed{r = 5,15 \; {\rm cm}} \quad \) och höjden \( \quad \boxed{h = 10,30 \; {\rm cm}} \quad \).


d)   För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar undersöker vi bivillkoret: \( \qquad h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)

       Av detta framgår att \( \, r \, \) inte får vara \( \, 0 \, \): \( \; r \, \neq \, 0 \; \). Därför är \( \, 0 \, \) en undre gräns för \( \, r \): \( \qquad r \, > \, 0 \)

       För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för \( \; r \; \) tittar vi på cylinderns begränsningsarea:

\[ \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \]

       Pga begränsningsareans konstanta värde \( \, 500 \, \) blir cylinderns radie störst när höjden blir \( \, 0 \, \).

       Därför får vi radiens störst möjliga värde om vi i formeln ovan väljer \( \, h=0 \):

\[ \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r\right)\,^2 \, = \, 500 \qquad \Longrightarrow \qquad r \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 \]
       Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:\( \qquad\qquad \)
\( 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 \)

      Grafen till vänster visar bivillkoret \( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \) och till höger målfunktionen \( V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \), båda med definitionsmängden ovan.

Konservburk Grafer.jpg

      Målfunktionens graf till höger bekräftar det algebraiska resultatet från c), nämligen att volymen blir maximal för \( \, r = 5,15 \).

      Bivillkorets graf till vänster bekräftar att för \( \, r = 5,15 \, \) höjden blir \( \, \approx \, 10 \) och dessutom att \( \, r \, \) inte kan bli större än \( \, 8,92 \).


e)   Resultaten från c) sätts in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:

\[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]

       Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).


f)   Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm}\)

      när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \), maximeras:

\( 2 \; r \; = \; h \)


Återstår frågan som är föremål för undersökning i övning 9, om samma samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med vilken begränsningsarea som helst och maximal volym, nämligen:

Diametern \( \; = \; \) Höjden

En annan intressant frågeställning är:

Råder även sambandet ovan om man utgår från en konservburk med fast given volym vars materialåtgång ska minimeras?

En närmare undersökning liknande lösningen till Exempel 3 kommer att visa att detta är fallet.

Dvs sambandet ovan är alltid optimalt ur ekonomisk synpunkt.


Ett ekonomiskt exempel

Se övning 7.




Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.5_Extremvärdesproblem&oldid=28913"